Geometria Espacial - Esferas
1) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo
eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A=
4cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
2) (ITA) A circunferência inscrita num triângulo equilátero
com lados de 6cm de comprimento é a interseção de uma
esfera de raio igual a 4cm com o plano do triângulo. Então,
a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é
(em cm)
a) 3 3
b) 6.
c) 5.
d) 4.
e) 2 5
3) (AFA) A intersecção de 3 superfícies esféricas distintas
pode ser, somente, ou
a) 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência.
b) 1 ponto, ou vazia, ou 2 circunferências.
c) 1 segmento de reta, ou vazia, ou 1 circunferência.
d) 2 pontos, ou 1 ponto, ou vazia, ou 1 circunferência.
4) (Fatec) A intersecção de um plano com uma esfera de
raio R é a base comum de dois cones circulares retos,
como mostra a região sombreada da figura abaixo.
2R
d) 5
2R
e) 3
5) (Mack) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero
e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é:
1
3
1
b)
4
2
c)
3
d) 1
1
e)
2
a)
6) (Mack) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero
e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é:
1
3
1
b)
4
2
c)
3
d) 1
1
e)
2
a)
7) (Mack) A razão entre os volumes das esferas circunscrita
e inscrita a um mesmo cubo é:
a)
3
b) 2 3
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do
outro, a distância do plano ao centro O é igual a
c) 3 3
4 3
3
3 3
e)
2
d)
R
a) 5
R
b) 4
R
c) 3
8) (Faap) A razão na qual um comprimido de vitamina C
começa a dissolver-se depende da área da superfície do
1
comprimido. Uma marca de comprimido tem forma
cilíndrica, comprimento 2 centímetros, com hemisférios de
diâmetro 0,5 centímetro cada extremidade, conforme
figura a seguir. Uma segunda marca de comprimido vai ser
fabricada em forma cilíndrica, com 0,5 centímetro de
altura.
Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo
que o seu volume seja igual ao do primeiro comprimido.
a) 1
11
b) 12
c)
3
11
1
2
d)
3
e) 4
9) (AFA) A relação entre o raio da esfera inscrita, e o da
esfera circunscrita a um tetraedro regular é
a)
b)
1
3
3
4
1
c)
4
2
d)
3
10) (UERJ) A superfície de uma esfera pode ser calculada
através da fórmula: 4.π.R2, onde R é o raio da esfera. Sabe3
se que
da superfície do planeta Terra são cobertos por
4
1
água e
da superfície restante é coberto por desertos.
3
Considere o planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400
Km e use igual a 3.
A área dos desertos, em milhões de quilômetros
quadrados, é igual a:
a) 122,88
b) 81,92
c) 61,44
d) 40,96
11) (PUC-SP) A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando
levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro,
composto de duas esferas acopladas a um bastão
cilíndrico.
Suponha que cada esfera tenha 10,5 cm de diâmetro e que
o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro da base
medindo 1,4 cm. Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm 3,
quantos quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha
tentava levantar? (Use: π = 22/7 )
a) 18
b) 16
c) 15
d) 12
e) 10
12) (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a
sua superfície aumentará:
a) 21%.
b) 11%.
c) 31%.
d) 24%.
e) 30%.
13) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede
6 cm. Para este tetraedro, calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas
arestas que não têm ponto comum;
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.
14) (Mauá) Colocou-se uma bola de sorvete esférica, com
raio de 3 cm, numa casquinha com forma de cone reto
com raio de base igual a 3 cm e altura 12 cm. Imaginandose que o sorvete derreta, a casquinha comportará todo o
sorvete derretido? Justifique sua resposta.
2
3
b) 6 2 cm
3
c) 3 2 cm
d) 6 cm
15) (Vunesp) Com um recipiente de vidro fino transparente
na forma de um paralelepípedo reto-retângulo, que tem
como base um quadrado cujo lado mede 15cm e a aresta
da face lateral mede 40cm, Márcia montou um enfeite de
natal. Para tanto, colocou no interior desse recipiente 90
bolas coloridas maciças de 4cm de diâmetro cada e
completou todos os espaços vazios com um líquido
colorido transparente. Desprezando-se a espessura do
vidro e usando (para facilitar os cálculos) a aproximação
= 3,
a) dê, em cm2, a área lateral do recipiente e a área da
superfície de cada bola.
b) dê, em cm3, o volume do recipiente, o volume de cada
esfera e o volume do líquido dentro do recipiente.
19) (UFPE) Considere um tanque com a forma de um cone
invertido de raio da base 6m e altura 8m. Deixa-se cair
dentro do tanque uma esfera de raio 3m. Assinale a
alternativa correspondente à distância do centro da esfera
ao vértice do cone.
a) 4m
b) 2m
c) 5m
d) 10m
e) 6m
20) (Fatec) Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si
estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco,
como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera
tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do
paralelepípedo.
16) (Unicamp) Como deve ser alterado o raio de uma cesta
de basquete se o volume da bola for alterado por um fator
multiplicativo  ? Não leve em conta a folga existente
entre a cesta e a bola.
17) (Unicamp - modificado) Como deve ser alterado o raio
de uma cesta de basquete se o volume da bola for
duplicado ? Não leve em conta a folga existente entre a
cesta e a bola.
18) (UNIUBE) Considere um cone reto inscrito em uma
semi-esfera de raio R, em que P Q̂ O = π /2 radianos e cuja
base do cone tenha diâmetro PO, como na figura abaixo.
Se o volume do cone é igual a 18 2 π cm3, então a
medida de R é igual a:
O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está
preenchido com um líquido. Se a aresta da base do
paralelepípedo mede 6 cm, o volume do líquido nele
contido, em litros, é aproximadamente igual a
a) 0,144
b) 0,206
c) 1,44
d) 2,06
e) 20,6
21) (Vunesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e
altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço
1
R
6
de raio r, fazendo com que o nível da água suba
,
conforme mostra a figura.
a) 12 cm
3
23) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as
faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito
arestas são iguais a 1.
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.
b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da
pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também
tangencia as arestas laterais.
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada
face lateral da pirâmide.
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da
3
esfera ser mergulhada, a água ocupava
da altura do
4
cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada
podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água
atinja o topo do cilindro sem transbordar.
22) (UNICAMP) Em uma bandeja retangular, uma pessoa
dispôs brigadeiros formando n colunas, cada qual com m
brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros
foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais
próximos das bordas da bandeja foram postos em
forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da
bandeja foram postos em forminhas vermelhas.
24) (UEL) Na figura a seguir são dados uma esfera de
centro O, uma reta que contém O e intercepta superfície
esférica nos pontos A e B e um ponto C na superfície
esférica. Em relação às medidas dos segmentos
determinados na figura é sempre verdade que:
a) OC < OA
b) OB > OA
c) AC = OC
d) OB = OC/2
e) AB = 2.OC
25) (Fuvest) No jogo de bocha, disputado num terreno
plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o
mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num
lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas
bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura
abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas
tocam o chão, é:
a) 8
b) 6 2
3n
a) Sabendo que m = 4 e que a pessoa gastou o mesmo
número de forminhas vermelhas e azuis, determine o
número de brigadeiros da bandeja.
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em
latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o
chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma
esfera de 2cm de diâmetro, quantas latas ela tem que
comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se
que 1 litro corresponde a 1000 cm3.
c) 8 2
d) 4 3
e) 6 3
26) (PUC-SP) Normalmente, quando andamos sob chuva,
as gotas que caem não nos machucam. Isso ocorre porque
as gotas d’água não estão em queda livre, mas sujeitas a
um movimento no qual a resistência do ar não pode ser
desconsiderada.
A resistência do ar é uma força cujo sentido é sempre
contrário ao sentido do movimento do objeto e seu valor é
tanto maior quanto maior for a velocidade do corpo em
4
movimento. Para uma gota em queda, a velocidade
aumenta até um valor máximo denominado velocidade
limite. Como as gotas têm, em geral, pequena massa e
baixa velocidade limite - em média 18km/h - o impacto,
normalmente, não nos causa sensação dolorosa.
Os textos abaixo se relacionam com o descrito.
Leia-os com atenção e responda o que se solicita.
TEXTO 1 CORTANDO O AR
“Vencer a resistência do ar ao deslocamento do carro é
função da aerodinâmica. A forma ideal de qualquer
modelo seria a criada pela natureza na gota d’água”,
explica o chefe de Design da Volkswagen do Brasil, Luiz
Alberto Veiga (que preparou para o jornal “O Estado de S.
Paulo” os desenhos do quadro abaixo).
TEXTO 2 CALCULANDO A FORÇA DE RESISTÊNCIA DO AR
Qualquer objeto em movimento com velocidade v sujeito à
resistência do ar (Fres), tem a ele associado um número
chamado coeficiente de arrasto aerodinâmico, indicado
por Cx . Quanto menor o coeficiente, melhor a
aerodinâmica. O Cx é uma grandeza adimensional e seu
valor para automóveis, normalmente, varia entre 0,3 e 0,9.
A área (A) do objeto, voltada para o movimento, também,
tem uma influência importante na resistência do ar.
Para entender que área é essa, observe-a, por exemplo, na
figura ao lado:
Outro fator importante a considerar é a densidade do ar
(d). Um mesmo objeto, movimentando-se a uma mesma
velocidade, sofre menor resistência em um local em que o
ar seja menos denso.
Há uma fórmula que relaciona todas as grandezas que
discutimos até aqui e que permite calcular o valor da força
de resistência do ar que atua sobre os objetos na maioria
das situações:
1
2
|Fres| = d . A . Cx . v2
QUESTÕES
A) De acordo com as informações contidas nos textos e
figuras, analise as ilustrações abaixo e identifique qual dos
veículos possui o maior valor para o coeficiente de arrasto
aerodinâmico. Justifique.
B) Suponha uma gota de chuva, em queda livre, após
desprender-se de uma nuvem situada a 1280m de altura.
Calcule a velocidade da gota ao atingir o solo e determine
quantas vezes o valor encontrado é maior do que a
velocidade limite citada no texto de introdução. Considere
a gota inicialmente em repouso em relação ao solo.
C) O fato de as gotas de chuva atingirem a velocidade
limite indica uma situação em que foi atingido o equilíbrio
dinâmico. Quais forças se equilibram, a partir desse
momento? Identifique o tipo de movimento que será
executado pela gota a partir desse instante, justificando
sua resposta.
D) Considere uma gota de chuva de massa 0,2g, em
situação de equilíbrio dinâmico. Para a expressão dada no
1
2
texto 2, assuma o produto
-4
(unidades do Sistema
Internacional).
Calcule o valor de Cx para a gota de chuva considerando
que a velocidade limite em sua queda é de 5m/s.
E) Numa boa aproximação, uma gota d’água pode ser
considerada como o resultado da união de dois sólidos:
uma semi-esfera e um cone (veja a figura seguinte).
Calcule a relação entre a altura (h) do cone e o raio (R) da
semi-esfera, considerando que seus volumes são iguais.
27) (Fuvest) Numa caixa em forma de paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve
ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O
5
maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas
na caixa é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
28) (Vunesp) O trato respiratório de uma pessoa é
composto de várias partes, dentre elas os alvéolos
pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca
de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada
alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro
médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02cm. Se o
volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1618cm 3,
o número aproximado de alvéolos dessa pessoa,
considerando  = 3, é:
a) 1618 - 103.
b) 1618 - 104.
c) 5393 - 102.
d) 4045 - 104.
e) 4045 - 105.
a) H/2
b) H/3
c) H/4
d) H/5
e) H/6.
31) (SpeedSoft) Obtenha o volume do sólido gerado pela
rotação do semicírculo “furado” da figura abaixo em torno
do eixo e:
29) (Unicamp) O volume V de uma bola de raio r é dado
4
pela fórmula V= 3 π r3.
3
a) Calcule o volume de uma bola de raio r = 4 cm. Para
facilitar os cálculos você deve substituir π pelo número
22
7 .
3
b) Se uma bola de raio r = 4 cm é feita com um material
cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo
volume) é de 5,6g/cm3, qual será a sua massa?
30) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, um cone reto e
um cilindro de bases comuns estão inscritos em uma
esfera. O volume do cilindro é igual ao volume do cone. A
distância do centro da esfera à base comum, em função da
altura H do cone, é:
32) (UFC) Os centros de três esferas não são colineares.
Assinale a opção que corresponde ao maior número
possível de planos tangentes a todas elas.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
33) (UEL) Para representar recipientes de cerâmica
encontrados por arqueólogos em escavações, usa-se fazer
a vista lateral dos objetos, tirando-lhes um quarto. Dessa
maneira, mostram-se a face interna e externa, bem como
o corte transversal da parede do recipiente. Na figura que
segue vê-se, em perspectiva, um modelo de tal
representação mostrando um recipiente em forma de
hemisfério ou semi-esfera.
6
a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como ponto
médio.
b) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r.
c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r.
d) uma esfera de centro P e raio r.
e) um círculo de centro P e raio r.
Para pintar as superfícies interna, externa e as bordas do
recipiente semi-esférico, a área total a ser coberta de tinta
será de:
a) 450 cm2
b) 506 cm2
c) 744 cm2
d) 844 cm2
e) 900 cm2
34) (SpeedSoft) Qual o volume, em cm3, da esfera inscrita
em um cone reto, cuja altura é 8 cm e diâmetro da base é
10 cm ?
35) (AFA) Qual o volume, em cm3, da esfera inscrita em um
cone reto, cuja altura e diâmetro da base são,
respectivamente, 16 cm e 24 cm.?
38) (UFPB) Sendo o volume de uma esfera de raio R
numericamente igual a 33 vezes a sua área, calcular o valor
de R, em unidades de comprimento.
39) (FAZU) Um cilindro circular reto de 3m de raio da base
e 6m de altura está completamente cheio. Uma esfera de
4m de diâmetro é introduzida no seu interior. Determine
aproximadamente a porcentagem de água que permanece
no interior do cilindro.
a) 76,25%
b) 82,48%
c) 78,36%
d) 80,25%
e) 80,46%
40) (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da
base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em
cm:
10
3
7
b)
4
12
c)
5
d) 3
e) 2
a)
a) 27
500
b) 3
c) 288
d) 686
36) (Mack) Seja 36 π o volume de uma esfera circunscrita a
um cubo. Então a razão entre o volume da esfera e o
volume do cubo é:
a)
3

3

c) 2
3

2
b) 8
d)
3
e)
3
41) (Fuvest) Um cubo de aresta m está inscrito em uma
semi-esfera de raio R de tal modo que os vértices de uma
das faces pertencem ao plano equatorial da semi-esfera e
os demais vértices pertencem à superfície da semi-esfera.
Então, m é igual a:
a) R

4
37) (Vunesp) Seja r um número real positivo e P um ponto
do espaço. O conjunto formado por todos os pontos do
espaço, que estão a uma distância de P menor ou igual a r,
é:
2
3
2
b) R 2
3
c) R 3
d) R
e) R
3
2
7
42) (Mack) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área
total do cubo é 8, o volume da esfera é:
a) 8 π /3
b) 4 π /3
c) 16 π /3
d) 12 π
e) 8 π
43) (FUVEST) Um fabricante de cristais produz três tipos de
taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato
de uma semi-esfera de raio r; a outra, no formato de um
cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última,
no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e
altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a mesma quantidade
x
de vinho, é correto afirmar que a razão
é igual a
h
3
a)
6
3
b)
3
2 3
c)
3
d)
3
e)
4 3
3
45) (Vunesp) Um paciente internado em um hospital tem
que receber uma certa quantidade de medicamento
injetável (tipo soro). O frasco do medicamento tem a
forma de um cilindro circular reto de raio 2cm e altura
8cm. Serão administradas ao paciente 30 gotas por
minuto. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio
0,2cm, determine:
a) o volume, em cm3, do frasco e de cada gota (em função
de π).
b) o volume administrado em cada minuto (considerando a
quantidade de gotas por minuto) e o tempo gasto para o
paciente receber toda a medicação.
46) (Fuvest) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é
6cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço
é colocada no interior do recipiente ficando totalmente
submersa. Se a água subiu 1cm, então o raio da esfera é:
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
47) (Mack) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base
igual a 4cm, contém água até a metade de sua altura. Uma
esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente
submersa, elevando a altura da água em 2cm. O raio da
esfera é:
3
a) 2 3
b) 4
3
c) 3 2
3
44) (Unifesp) Um inseto vai se deslocar sobre uma
superfície esférica de raio 50cm, desde um ponto A até um
ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura. O
menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem
comprimento igual a:
5
2
d)
e) 2
48) (UFMG) Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas
arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado
desse recipiente, estão os seguintes sólidos, todos de aço
maciço:
• uma esfera de raio

a) 2 m
b) m
3
c) 2 m
d) 2 m
e) 3 m
3
2 dm ;
• um cilindro circular reto com raio da base
altura
2 dm e
2 dm ;
• um paralelepípedo retangular de dimensões
3 dm e
7 dm ; e
• uma pirâmide reta de altura
com lado
3 dm,
5 dm e de base quadrada
12 dm .
8
Qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO
fará com que a água transborde?
a) A pirâmide
b) O cilindro
c) O paralelepípedo
d) A esfera
49) (Unifesp) Um recipiente, contendo água, tem a forma
de um cilindro circular reto de altura h = 50cm e raio r =
15cm. Este recipiente contém 1 litro de água a menos que
sua capacidade total.
a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use π =
3,14).
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que,
introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça
transbordarem exatamente 2 litros de água?
50) (Mack) Um tanque de gás tem a forma de um cilindro
de 4m de comprimento, acrescido de duas semi-esferas de
raio 2m, uma em cada extremidade, como mostra a figura.
Adotando  = 3, a capacidade total do tanque, em m3, é
a) 80.
b) 70.
c) 60.
d) 55.
e) 50.
51) (UFPE) Um triângulo eqüilátero tem lado 18 3 cm e é
a base de um prisma reto de altura 48cm. Calcule o raio da
maior esfera contida neste prisma.
52) (VUNESP) Um troféu para um campeonato de futebol
tem a forma de uma esfera de raio R = 10cm cortada por
um plano situado a uma distância 5 3 cm de do centro da
esfera, determinando uma circunferência de raio rcm, e
sobreposta a um cilindro circular reto de 20cm de altura e
raio rcm, como na figura (não em escala).
O volume do cilindro, em cm3, é
a) 100 π.
b) 200 π.
c) 250 π.
d) 500 π.
e) 750 π.
53) (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem
medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água
até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes
do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior
número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que
podemos colocar no vaso a fim de que a água não
transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
54) (Mack) Uma bóia marítima construída de uma
determinada liga metálica tem o formato de uma gota que,
separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e em
uma semi-esfera, conforme a figura ao lado, na qual r =
50cm. Se o preço do m2 da liga metálica é 1200 reais,
adotando-se π = 3 , o custo da superfície da bóia é, em
reais, igual a
9
r 2
aritmética de razão 45 . Se o volume da menor cunha
r 3
for igual a 18 , então n é igual a
a) 4.
b) 3.
c) 6.
d) 5.
e) 7.
a) 4200
b) 5700
c) 4500
d) 5200
e) 3800
55) (UERJ) Uma cuba de superfície semi-esférica, com
diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma
bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm,
encontra-se sob essa cuba.
58) (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um
cilindro. O volume do cilindro é igual a:
a) π r3/3.
b) 2 π r3/3.
c) π r3.
d) 2r3.
e) 2 π r3.
59) (UFPB) Uma esfera rígida é submersa num cilindro, de
3
9m de altura e 4m de raio, com água até
de sua altura.
4
Qual o maior raio, em metros, da esfera, de modo que a
água não transborde ?
60) (UEL) Uma esfera tem centro O. Um plano , contendo
O, intercepta a esfera. A intersecção é um círculo de área
16 π cm2. O volume da esfera, em centímetros cúbicos, é
igual a:
a)
Desprezando a espessura do material usado para fabricar a
cuba, determine:
a) a maior área, em cm2, pela qual a bola de gude poderá
se deslocar na superfície da mesa;
b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser
colocada embaixo dessa cuba.
32
3
b) 32 π
c)
64
3
d) 64 π
e)
256
3
56) (NOVO ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de
aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de
um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então
o número máximo de esferas que podem ser
transportadas em uma caixa é igual a
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 24.
e) 32.
61) (Cesgranrio) Uma laranja pode ser considerada uma
esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente
iguais. A superfície total de cada gomo mede:
a) 2 π R2
b) 4 π R2
3
c) 4 π R2
d) 3 π R2
4
e) 3 π R2
57) (ITA) Uma esfera de raio r é seccionada por n planos
meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas
contidas em uma semi-esfera formam uma progressão
62) (UFRS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro
está completamente cheia de massa para doce, sem
exceder sua altura de 16 cm. O número de doces em
10
formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter
com toda a massa é:
a) 300
b) 250
c) 200
d) 150
e) 100
63) (Vunesp) Uma quitanda vende fatias de melancia
embaladas em plástico transparente. Uma melancia com
forma esférica de raio de medida Rcm foi cortada em 12
fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha
esférica, como representado na figura.
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R
cm é 4 π R2 cm2, determine, em função de π e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar
cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas
de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de
cada fatia.
64) (Fuvest) Uma superfície esférica de raio 13cm é
cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do
centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência.
O raio desta circunferência, em cm é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
11
Gabarito
1) a) 2cm
b) 4cm
b) 2 latas
2) Alternativa: C
23) a) h =
3) Alternativa: D
4) Alternativa: C
5) Alternativa: D
6) Alternativa: D
7) Alternativa: C
8) Alternativa: B
9) Alternativa: A
10) Alternativa: D
2
2
eV=
2
6
b) Basta mostrar que a distância do centro da base é a
mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às
1
4 arestas da base é R = . Além disso, a distância do
2
2
centro da base à qualquer vértice é
pois essa distância
2
ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base.
Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a
2
2
,
e 1, que
2
2
1
além de tudo é retângulo. Essa altura vale
também.
2
altura do triângulo isósceles de lados
c) R =
3
6
11) Alternativa: E
24) Alternativa: E
12) Alternativa: A
25) Alternativa: C
13) a) 3 2 cm
6 cm
2
b) r =
26) carro A
32 vezes maior
14) Resposta: Os dois volumes são exatamente iguais,
portanto, do ponto de vista puramente matemático, a
casquinha é capaz de conter todo o sorvete derretido.
15) a) 2400cm2 e 48cm2.
b) 9000cm3, 32cm3 e 6120cm3.
16)
3
17)
3

2
Cx = 0,1
h = 2R
18) Alternativa: D
19) Alternativa: C
20) Alternativa: B
R
21) a) r =
2
b) 6 esferas
22) a) m = 6 e n = 8; 48 brigadeiros
27) Alternativa: D
28) Alternativa: E
99
29) a) V = 56 cm3
b) m = 9,9g
12
30) Alternativa: D
46) Alternativa: C
31) 36 π – 8 π = 28 π
47) Alternativa: A
32) Alternativa: D
Solução: Um plano qualquer divide o espaço em dois semiespaços. Há, então, duas possibilidades para um plano que
tangencie as três esferas:
• planos que deixam as três esferas em um mesmo semiespaço: como os centros dessas esferas não são colineares,
há no máximo 2 tais planos;
• planos que deixam duas esferas em um mesmo semiespaço e a terceira no outro: para cada possibilidade de
escolha de duas das três esferas, há no máximo dois
desses planos. Como há três modos de escolhermos duas
das três esferas, há no máximo 3 x 2 = 6 tais planos.
Somando as possibilidades acima, concluímos que há no
máximo 2 + 6 = 8 planos satisfazendo as condições do
enunciado.
É imediato verificar que existem várias configurações de
três esferas de centros não-colineares
para as quais a cota superior de 8 planos é atingida. Um
exemplo é fornecido por três esferas de raio 1, com
centros situados nos vértices de um triângulo equilátero
de lado 3.
48) Alternativa: C
49) a) 34 325 cm3
9
b) R = 10. 4 cm
3
50) Alternativa: A
51) R = 9cm
52) Alternativa: D
53) Alternativa: E
54) Alternativa: C
55) a)
x2 + 12 = 32
33) Alternativa: D
34) V = 36 π cm3
35) Alternativa: C
x2 = 8
36) Alternativa: A
37) Alternativa: D
38) 99 u.c.
39) Alternativa: D
40) Alternativa: A
41) Alternativa: A
42) Alternativa: B
43) Alternativa: E
44) Alternativa: A
45) a) frasco: 32 π cm3
gota: 4 π /375 cm3
b) o volume de medicamento por minuto é de 8 π /25 cm3
e o tempo gasto para administrar todo o medicamento é
100 min (1h 40min)
Área   x 2  8 cm 2
b) A maior esfera teria raio igual a metade do raio da cuba
r = 2cm
V
4
32
  23 
cm 3
3
3
56) Alternativa: B
57) Alternativa: C
58) Alternativa: E
59) 3m
60) Alternativa: E
61) Alternativa: E
62) Alternativa: D
13
63) a) A área da casca será 1/12 da área da esfera,
portanto
2
4R 2 R
A = 12 = 3
b) Além da área da casca, gasta-se mais 2 semicírculos para
R 2
R 2
cobrir as laterais da melancia. Assim, A = 3 + 2. 2
4R 2
= 3
64) Alternativa: E
14