# Secção: Círculo de raio r
Eixo
r
Meridia
nos
# Esfera / Elementos
Polo
d
O
R
Raio
Equador
Paralelo
Por Pitágoras: R 2  r 2  d2
Polo
# Fuso Esférico: Intersecção da
superfície esférica com um diedro cuja
aresta contem um diâmetro dessa
superfície esférica
# Cunha Esférica: Intersecção de uma
esfera com um diedro cuja aresta contém
o diâmetro da esfera.


Sendo: R o raio da esfera e  o ângulo (em graus) de abertura do fuso e da cunha:
Área da Superfície Esférica  A  4 π R 2
Volume  V 
4
π R3
3
2
Área do Fuso Esférico

Volume da Cunha Esférica

πR α
360o  4 πR 2 
  A Fuso 
α  A Fuso 
90 o
4

πR 3 
πR 3 α

V

3

Cunha

270o
α  VCunha

360o  V 
1
 ATIVIDADES 
 PARTE A 
1) Uma esfera têm raio 3cm. Calcule:
a) a área total
b) o volume
c) o comprimento de um círculo máximo
d) a área de um fuso de 30o
e) o volume de uma cunha de 30o
f) a área de uma cunha de 30o
g) a área da secção obtida pela intersecção da esfera com um plano que dista 2 cm de seu centro.
2) Qual o volume de uma esfera de cuja área de sua superfície é 400 cm2?
3) Uma esfera tem o volume de 288 cm3 e está inscrita em um cubo. Determine a diagonal do cubo.
 PARTE B 
4) Uma esfera têm raio 2cm. Calcule:
a) a área total
b) o volume
c) o comprimento de um círculo máximo
d) a área de um fuso de 60o
e) o volume de uma cunha de 60o
f) a área de uma cunha de 60o
g) a área da secção obtida pela intersecção da esfera com um plano que dista 1 cm de seu centro.
5) (ENEM 2014) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de
um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades.
Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10mm
de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se
produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a
reprogramação da máquina que produz essas pílulas. (Use 3 como valor aproximado para π. )
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
a) 168.
b) 304.
c) 306.
d) 378.
e) 514.
6) (ACAFE 2014) Um tubo cilíndrico reto de volume 128 π cm3 , contém oito bolinhas de tênis de mesa
congruentes entre si e tangentes externamente.
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado
pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de:
a) 75.
b) 50.
c) 33.
d) 66.
2
7) (CEFET MG 2014) Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume total V constituída de
uma semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do
cone, de acordo com a figura abaixo.
Para seu funcionamento, o artesão depositará na ampulheta areia que corresponda a 25% de V.
Portanto o volume de areia, em cm3, é
a) 16π.
b)
64 π
.
3
c) 32π.
d)
128 π
.
3
e) 64π.
8) (FGV 2014) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um
cone circular reto (casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a
casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele
ocupa quando está congelado.
Calcule a altura da casquinha.
9) (ESPECEX - AMAN 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm,
composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede:
a)
43 π
cm2
3
b)
43 π
cm2
9
c)
42 π
cm2
3
d)
42 π
cm2
9
e) 43 π cm2
10) (UFRGS 2014) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume
igual ao do cilindro.
Com essas condições, o raio da esfera é
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
11) (PUCRS 2014) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cubo cujo volume, em cm3 , é
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 16
12) (UECE 2014) Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume
V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em
a) 100,0 %.
b) 125,0 %.
c) 215,0 %.
d) 237,5 %.
13) (PUCRS 2014) Resolver a questão com base na regra 2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de
futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68cm a 70cm.
Considerando a mesma circunferência de 70cm, o volume da bola referida na questão anterior é _____
cm3.
a)
4  70 2
3π
b)
4  703
3π 2
c)
4  35 2
3π3
d)
4  352
3π 2
e)
4  353
3π 2
3
14) (UEMA 2014) Um clube de futebol, para agradar a sua torcida e a seus jogadores, resolveu
homenagear os jogadores que mais se destacaram no clube na última temporada. Para isso,
confeccionaram-se dezesseis troféus do mesmo tamanho, em formato de bola de futebol, com raio igual
a 6. Determine (use π  3,14)
a) a área total das superfícies consideradas.
b) o volume total dos troféus.
15) (UNEB 2014) “Sua bexiga é um saco muscular elástico que pode segurar até 500ml de fluido. A
incontinência urinária, no entanto, tende a ficar mais comum à medida que envelhecemos, apesar de
poder afetar pessoas de qualquer idade; ela também é mais comum em mulheres que em homens
(principalmente por causa do parto, mas também em virtude da anatomia do assoalho pélvico).
(BREWER. 2013, p. 76).”
Considerando-se que a bexiga, completamente cheia, fosse uma esfera e que π  3, pode-se afirmar
que o círculo máximo dessa esfera seria delimitado por uma circunferência de comprimento, em cm,
igual a
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
16) (UFPE 2013) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do
cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do
cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?
17) (UERN 2013) Uma esfera e um cilindro possuem volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é
igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura do cilindro, em unidades, é
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 8.
18) (UERN 2013) Uma fruta em formato esférico com um caroço também esférico no centro apresenta
7/8 de seu volume ocupado pela polpa. Desprezando-se a espessura da casca, considerando que o raio
da esfera referente à fruta inteira é de 12 cm, então a superfície do caroço apresenta uma área de
a) 121π cm2 .
b) 144 π cm2 .
c) 169 π cm2 .
d) 196 π cm2 .
19) (EPCAR – AFA - 2013) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até
7
de
8
sua altura.
Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento
de água é
a) uma esfera de raio
3
2 dm.
b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 30 cm.
c) um cone reto, cujo raio da base meça
3 dm e a altura 3 dm.
d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm.
20) (UNESP 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de
madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces
horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que
4
seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a
sequência de figuras.
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm3 e
admitindo π  3, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é
a) 636.
b) 634.
c) 630.
d) 632.
e) 638.
21) (FGV 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em
20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará
a) 60%
b) 63,2%
c) 66,4%
d) 69,6%
e) 72,8%
22) (FGVRJ 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm3 , cabem exatamente três bolas
de tênis.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?
 RESPOSTAS / SOLUÇÕES 
 PARTE B 
4) a) 16π cm 2
b)
32π
cm 3
3
c) 4π cm
d)
8π
3
cm 2
e)
16π
cm 3
9
f)
20π
cm 2
g) 3π cm 2
3
5
5) Alternativa E.
Solução: O volume
π  r 2  10 
de
uma
pílula
de
raio
r,
em
milímetros
cúbicos,
é
dado
por
4
 π  r 3  2r 2 (15  2r).
3
Portanto, o resultado pedido é igual a 2  52  (15  2  5)  2  42  (15  2  4)  1250  736  514mm3 .
6) Alternativa D.
Solução: Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que
πr 2  16r  128 π  r  2cm.
O volume ocupado pelas bolinhas é igual a
8
4 π 3 256 π
2 
cm3 .
3
3
Portanto, o resultado pedido é
256 π
3  100%  67%.
128 π
7) Alternativa A.
Solução: O resultado pedido é dado por
 1 4π 3 1
 1
0,25   
 4   π  42  4    64 π
2
3
3

 4
 16 π cm3 .
8) Solução:
Seja h a altura que o sorvete derretido atinge na casquinha. Tem-se que
1
80 4 π 3
 π  32  h 

 3  h  9,6 cm.
3
100 3
9) Alternativa A.
Solução:
360° : 12° = 30°
A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois semicírculos.
6
30  4 π  42
π  42
 2
360
2
16 π
A
 16 π
3
A
A
64 π 43 π

cm2 .
3
3
10) Alternativa B.
Solução: Volume do cilindro: VC  π  32  32  288
Volume da esfera de raio r: Ve 
4  π  r3
3
Fazendo Ve  VC , temos:
4  π  r3
 288  r 3  216  r  6
3
11) Alternativa D.
Solução:
A aresta do cubo será a = 2cm. Portanto, o volume V do cubo será dado por:
V = 23 = 8 cm3
12) Alternativa D.
Solução: Volume da esfera de raio R:
Volume da esfera de raio 1,5 R:
4 π  R3
.
3
(1 )
4 π  (1,5R)3
4 π  R3
 3,375 
3
3
(2 ).
O aumento será calculado pela diferença entre o volume da esfera de raio aumentado (2) e o volume da
esfera original (1):
3,375 
Portanto, o aumento será de 2,375 
4 π  R3 4 π  R3
4 π  R3

 2,375 
3
3
3
4π  R3
, ou seja, de 237,5%.
3
13) Alternativa E.
3
Solução: O volume V da bola (esfera) será dado por: V 
4
4  353
 35 
 π   
.
3
 π 
3  π2
14) Solução:
a) A área total pedida é dada por
7
16  4 π  62  64  3,14  36  7.234,56 u.a.
b) O volume total dos troféus é igual a
16 
4π 3
 6  64  3,14  72  14.469,12 u.v.
3
15) Alternativa C.
Solução: R = raio da bexiga.
500 
4π  R3
4  3  R3
 500 
 R 3  125  R  5cm.
3
3
Comprimento do círculo máximo: C  2  π  R  2  3  5  30cm.
16) Solução:Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro.
Como h  4  2r  8r, segue que o volume do cilindro é igual a πr 2  8r  8πr 3 .
Sabendo que o raio de cada esfera mede
r
, podemos concluir que o volume de uma esfera é
2
3
4 π   r   πr 3 .
 
3 2
6
3
Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 8πr3  48.
πr
6
17) Alternativa C.
Solução: Sabendo que o cilindro e a esfera possuem volumes iguais e raios iguais, temos
π  r2  h 
4
4
 π  r 3  h   r,
3
3
com h sendo a altura do cilindro.
Além disso, como o raio da esfera ao cubo é igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro, vem
r 3  3  r 2  r 2  (r  3)  0  r  3 u.c.
Portanto, h 
4
 3  4 u.c.
3
18) Alternativa B.
Solução: O volume total da fruta é igual a
4
 π  123 cm3 .
3
Logo, se r é o raio do caroço, então
4
1 4
 12 
 π  r 3    π  123  r 3   
3
8 3
 2 
 r  6 cm.
3
Portanto, o resultado pedido é 4 π  62  144 π cm 2 .
19) Alternativa D.
Solução: Calculando agora o volume de cada sólido dado, temos:
8
20) Alternativa D.
Solução: V = Volume do porta-joias
Vc = Volume do cubo
V = Vc - Ve
V  103 
Ve = Volume da esfera.
4
 π  43
3
V = 1000 – 256
V = 744 cm3
Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.
0,85 
m
 m  632,4 g ; 632 g
744
21) Alternativa E.
Solução: Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos
4π
4π 3
 (1,2  r)3 
r
3
3
 100%  (1,728  1)  100%
4π 3
r
3
 72,8%,
ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.
22) Solução:a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.
Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h  6r, temos
9
πr 2  6r  5175  r 3 
1725
.
2π
Daí, segue que o volume de cada bola é igual a
4
4 1725
π  r3  π 
3
3
2π
 1150 cm3 .
Portanto, o resultado é 5175  3  1150  1725 cm3 .
b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é
3450 2
 .
5175 3
10