MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
1. ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das arestas AD, AE, EF, FG, CG
e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros, é igual a
a) 6 2.
b) 9 2.
c) 12 2.
d) 15 2.
e) 18 2.
Resposta: C
O polígono formado é um hexágono regular de lado a.
a2
22
a
8
a
2 2
22
Portanto o perímetro do hexágono regular é:
P
6.2 2
P
12 2
2. Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja
especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1,2 metros
de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água,
o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com
cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm.
Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de
3
efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm ,:
a) 1,08
b) 10,8
c) 108
d) 1.080
e) 10.800
1
Resposta: C
Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi colocado
no aquário.
Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado.
3
3
V =1,2 · 0,6 · 0,15 = 0,108m = 108dm .
3. As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos
retângulos semelhantes.
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume
do menor, a razão entre a medida da área total do
maior pacote e a do menor é igual a:
a)
3
3
b)
3
4
6
8
c)
d)
Resposta: B
A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é k 3 2 ;
A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas dos pacotes é
k2
4. Nesta figura estão
octaedro MNOPQR.
representados
dois
3
2
2
3
4.
poliedros
de
Platão:
o
cubo
ABCDEFGH
e
o
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos centrais das faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do octaedro medem, respectivamente:
a)
72 3 cm2 e 54 cm3
b)
36 3 cm2 e 18 cm3
c) 36 3 cm2 e 36 cm3
d) 18 2 cm2 e 36 cm3
e) 36 2 cm2 e 18 cm3
2
Resposta: C
Seja J o ponto médio da aresta BG.
Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON 3 2 cm.
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que a sua área
lateral é
2
8
ON
3
4
2 (3 2)2
3
36 3 cm2 .
O volume do octaedro é dado por
2
2
1
ON JG
3
2
1
(3 2)2 3
3
36cm3 .
5. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua
altura à metade, o volume desta pirâmide
a) será reduzido à quarta parte.
b) será reduzido à metade.
c) permanecerá inalterado.
d) será duplicado.
e) aumentará quatro vezes.
Resposta: D
VPirâmide
Area da base Altura
.
3
Portanto:
V1
L2 H
3
(2L)2
e
V2
3
H
2
2
L2 H
.
3
Logo:
V2
2 V1 (O dobro do volume inicial).
6. Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato circular com 16 m de diâmetro.
Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1
m de largura por 0,1 m de altura, conforme figura
ao lado:
3
a)
Supondo que o preço médio do m da calçada a ser
construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com a construção da calçada
será, aproximadamente, de:
685,30 reais
b) 653,80 reais
c) 583,30 reais
d) 533,80 reais
e) 835,30 reais
3
Resposta: D
V = Ab · h
2
2
V = π (9 – 8 ) · 0,1
V = 3,14 · (81 – 64) · 0,1
V = 3,14 · 17 · 0,1
3
V = 5,338m
7. A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos produtos do mercado,
sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O “Cubo Magnético” é um brinquedo
constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado
perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, também no formato de um cubo, com aresta igual a
30 mm, a razão entre o volume total das esferas que constituem o “Cubo Magnético” e o volume da
caixa que lhe serve de depósito é:
a)
b)
c)
d)
e)
π
6
π
5
π
4
π
3
π
2
Resposta: A
Considere r como sendo o Raio da esfera.
6 2r
Volume de cada esfera: V
4
π
3
5
2
3
30. Logo, r
5/2.
125 π
.
6
Razão entre os volumes das 216 esferas e o volume da caixa:
125π
216
4500π
5π
6
30 30 30 3 30 30 30
π
.
6
8. Dois faraós do antigo Egito mandaram construir seus túmulos, ambos na forma de pirâmides
quadrangulares regulares, num mesmo terreno plano, com os centros de suas bases distando 120 m.
As duas pirâmides têm o mesmo volume, mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base
da outra. Se a pirâmide mais alta tem 100 m de altura, então a distância entre os vértices das duas
pirâmides, em metros, é igual a
a) 100.
b) 120.
c) 130.
d) 150.
e) 160.
4
Resposta: C
Sejam A1 e A2, as áreas das bases das pirâmides.
Como os volumes são iguais, temos
1
1
A1 O1V1
A 2 O2 V2
3
3
Dado que A1
A1 O1V1
A 2 O2 V2.
2 A2, vem
2 A2 O1V1
A2 O2V2
O2V2
Assim, a pirâmide mais alta tem a base menor e, portanto,
O2 V2 100 m O1V1
2 O1V1.
50 m.
Como o terreno é plano, segue que V1P  O1P, sendo P o pé da perpendicular baixada de V1 sobre O2 V2.
Daí, V1P O1O2
120 m e V2P 100 50 50 m.
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo V1PV2, obtemos
V1V2
2
502 1202
V1V2
130 m.
9. Observe a seguir as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regular; a
base de outra é um triângulo equilátero.
Se os retângulos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, então a razão dos volumes da primeira e da segunda
caixa é
2
1
3
a) .
b) .
c) 1.
d) .
e) 2.
3
2
2
Resposta: D
V(hexagonal)
V(triangular)
5
6x 2 . 3
4
(2x)2 3
4
6
4
3
2
10. A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de
raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em centímetros quadrados, da área da base deste
cone é
a) 144 π .
b) 72 π .
c) 36 π .
d) 16 π .
Resposta: D
2 ·R
R
2 · 12
3
4
A
· 42
a
16 cm2
11. Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que
corresponde à água doce do planeta é
a)
1
343
b)
1
49
c)
1
7
d)
29
136
e)
136
203
Resposta: A
Sejam Vds e Vd, respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume
da esfera que corresponde à água doce do planeta.
V
A razão pedida é dada por ds
Vd
4
3
4
3
rds3
rd3
rds
rd
3
29
203
6
3
1
7
3
1
.
343
12. Um copo de base quadrada está com 80% de sua capacidade com água. O maior ângulo possível que
esse copo pode ser inclinado, sem que a água se derrame é
°
a) 45
Resposta: A
°
b) 30
°
°
c) 60
d) 15
13. Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por
motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de
um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o
volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício.
É correto afirmar que o valor "L" do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a:
a) 20 2 cm
b) 40 2 cm
c) 50 2 cm
d) 60 2 cm
e) 80 2 cm
Resposta: B
14. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões
de papel retangulares de 20cm 10cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados
opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche
completamente com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo
da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
Resposta: B
Sejam VI e VII os volumes das velas de cada tipo.
Temos que
VI
10
2
10
1000
cm3
e
VII
5
2
20
7
500
cm3 .
Se o custo é diretamente proporcional ao volume, então
C k V,
em que C é o custo, k é a constante de proporcionalidade e V é o volume.
Desse modo,
1000
CI k
CI
2
CI 2 CII,
500
CII
CII k
ou seja, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro.
15. Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na
confecção de um cilindro circular e de um cone circular, ambos maciços com raio da base r cm e altura
também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a
a) 4 cm.
b) 8 cm.
c) 5 cm.
d) 10 cm.
Resposta: D
16. Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode
confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não
houve perda de ouro durante o derretimento.
a) 3
b) 9
c) 18
d) 21
e) 27
Resposta: E
17. Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de
modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era
a)
b)
c)
d)
e)
27
cm
8
19
cm
6
18
cm
5
10
cm
3
7
cm
2
Resposta: D
8
18. Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o
2
revestimento total do piso, utilizou-se 78,5m de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na
cobertura completa do galpão?
(Considerar =3,14).
a) 31,4
b) 80
c) 157
d) 208,2
e) 261,66
Resposta: C
19. Um copo de papel, em forma de cone, é formado enrolando-se um semicírculo que tem um raio de
12 cm. O volume do copo é de, aproximadamente:
3
a) 390 cm
3
b) 350 cm
3
c) 300 cm
3
d) 260 cm
3
e) 230 cm
Resposta: A
20. Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo
vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte
de baixo. Ao ser colocado para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35
minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo
que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em
quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?
a)
b)
c)
d)
e)
5 minutos.
10 minutos.
15 minutos.
20 minutos.
30 minutos.
Resposta: A
9