ESFERA
1. (Espcex (Aman) 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm,
composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede:
a)
43 π
cm2
3
b)
43 π
cm2
9
c)
42 π
cm2
3
d)
42 π
cm2
9
e) 43 π cm2
2. (Ufpe 2013) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume
do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a
altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?
3. (Uem 2013) Considere uma esfera, um cilindro circular reto e um cone, todos com o mesmo
volume. Além disso, a altura do cilindro é igual à metade da altura do cone, e a altura do cone é
igual ao raio da esfera. Assinale o que for correto.
01) O raio da base do cone é menor do que o raio da base do cilindro.
02) O raio da base do cone é igual ao dobro do raio da esfera.
04) A altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera.
08) A área da superfície da esfera é igual ao triplo da área da base do cilindro.
16) Se o raio da esfera mede 5 cm, a geratriz do cone mede 5 cm.
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4. (Ufg 2013) A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a
estrutura interna da Terra em camadas concêntricas, da superfície ao centro, indicando as
profundidades aproximadas das transições entre as camadas.
Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas camadas é formada,
predominantemente, por minerais metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma
fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. A fração do volume da Terra ocupada por esta
camada está entre
1
1
a)
e
8
5
1
1
b)
e
4
5
1
1
c)
e
4
2
1
2
d)
e
2
3
3
2
e)
e
4
3
5. (Epcar (Afa) 2013) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até
7
8
de sua altura.
Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca
transbordamento de água é
a) uma esfera de raio 3 2 dm.
b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 30 cm.
c) um cone reto, cujo raio da base meça 3 dm e a altura 3 dm.
d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm.
6. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera
em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará
a) 60%
b) 63,2%
c) 66,4%
d) 69,6%
e) 72,8%
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7. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo
de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às
duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de
raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de
corte, conforme mostra a sequência de figuras.
Sabendo que a densidade da madeira
utilizada na confecção do porta-joias
era de 0,85 g/cm3 e admitindo π  3,
a massa aproximada do porta-joias,
em gramas, é
a) 636.
b) 634.
c) 630.
d) 632.
e) 638.
8. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é
plana, conforme ilustra o esquema:
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a
distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um
círculo cuja área tem a seguinte medida:
a)
πR 2
2
b)
3 πR 2
2
c)
3 πR 2
4
d)
4 πR 2
3
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9. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm3 , cabem exatamente três
bolas de tênis.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?
10. (Udesc 2012) Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um
plano, conforme figura.
Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16π cm2, então o volume desta
esfera é:
a) 36π cm3
b)
256π
cm3
3
c) 100π cm3
d) 16π cm3
e)
500 π
cm3
3
11. (G1 - ifpe 2012) Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças
criadas a esfera está inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual,
ele colocou na parte interna do cubo, e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro
desse líquido o designer pode confeccionar no máximo quantas peças?
a) 9
b) 12
c) 18
d) 24
e) 27
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12. (Uepa 2012) A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos
produtos do mercado, sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O “Cubo
Magnético” é um brinquedo constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse
brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, também no formato
de um cubo, com aresta igual a 30 mm, a razão entre o volume total das esferas que
constituem o “Cubo Magnético” e o volume da caixa que lhe serve de depósito é:
a)
b)
c)
d)
e)
π
6
π
5
π
4
π
3
π
2
13. (Ufsm 2012) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais
influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um
croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade
de Santa Maria.
Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por
12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma
lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta
necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π  3)
a) 20.
b) 26.
c) 40.
d) 52.
e) 60.
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14. (Ufg 2012) Considere que o planeta Terra é aproximadamente esférico, tendo a linha do
Equador um comprimento de, aproximadamente, 40.000 km e que 30% da área do planeta é
de terras emersas.
Dados:
Área da esfera = 4π r 2
Comprimento do círculo = 2π r
π  3,14
Aproximando a atual população da Terra para um número inteiro de bilhões de pessoas,
responda:
a) Qual é a densidade demográfica nas terras emersas do planeta?
b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras emersas fossem divididas
igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um número inteiro de milhares de
metros quadrados).
15. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada dia, viabilizando
produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo.
São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 100 nanômetros
(nm), sendo que 1 nm equivale a 10–9 m, ou seja, um bilionésimo de metro.
Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área
superficial total.
Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem
4  π cm2 e (4/3)  π cm3 , respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que
possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais
a) 10 vezes maior que a da esfera.
b) 103 vezes maior que a da esfera.
c) 105 vezes maior que a da esfera.
d) 107 vezes maior que a da esfera.
e) 109 vezes maior que a da esfera.
16. (Enem 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em
uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros
andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da
morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.
Na Figura 2, o ponto A está no
plano do chão onde está
colocado o globo da morte e o
segmento AB passa pelo centro
da esfera e é perpendicular ao
plano do chão. Suponha que há
um foco de luz direcionado para
o chão colocado no ponto B e
que um motoqueiro faça um
trajeto dentro da esfera,
percorrendo uma circunferência
que passa pelos pontos A e B.
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
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e)
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17. (Ufrn 2012) Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser
derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e
o artesão observa que as peças com esferas maiores são mais procuradas e resolve
desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para
cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói uma nova esfera.
O raio da nova esfera construída mede
a) 80,0 cm.
b) 14,2 cm.
c) 28,4 cm.
d) 20,0 cm.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A taça desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contém líquido até uma altura de
x cm.
O volume de líquido contido na taça, em cm3 , depende da altura atingida por esse líquido, em
cm. O gráfico a seguir mostra essa dependência, sendo que os pontos A e B correspondem à
taça totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.
18. (Insper 2012) De acordo com os dados do gráfico, a taça tem a forma de uma semiesfera
cujo raio mede
a) 3 cm.
b) 3,5 cm.
c) 4 cm.
d) 4,5 cm.
e) 5 cm.
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19. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m
de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e
soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo.
Sendo 3  1,73 , a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a:
a) 2,40 m
b) 2,80 m
c) 3,20 m
d) 3,40 m
e) 3,60 m
20. (Ufsm 2011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com
raio de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura metalizada
que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura
convencial que custa R$10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminária
e adotando o valor de π  3,14 o custo, em reais, da pintura de cada luminária é
a) 3,14.
b) 6,28.
c) 12,56.
d) 18,84.
e) 25,12.
21. (Pucsp 2011) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um
paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a
resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180
colares. Se cada conta tiver um 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas
50 contas, então, considerando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação
π  3 , a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados é
a) 1250.
b) 1480.
c) 1650.
d) 1720.
e) 1850.
22. (Ucpel 2011) Uma esfera metálica de 3 cm de raio é colocada em um congelador e, após
algum tempo, acumula uma camada de gelo de 3 cm de espessura, mantendo a forma
esférica. Então, o volume do gelo acumulado é
a) 198π cm3
b) 215π cm3
c) 252π cm3
d) 207π cm3
e) 225π cm3
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23. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes.
Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos
diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a
variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve
ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do
Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %.
Dessa forma, é correto afirmar que
a) x  [5,6).
b) x  [2,3).
c) x = 1.
d) x  [3,4).
e) x  [4,5).
24. (Fuvest 2011) A esfera  , de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano  . O plano  é
paralelo a  e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um
hexágono regular inscrito na intersecção de  com  e, como vértice, um ponto em  , é igual
a
3r 3
a)
4
5 3r 3
b)
16
c)
3 3r 3
8
d)
7 3r 3
16
e)
3r 3
2
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25. (Enem 2ª aplicação 2010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os
diâmetros delas seriam:
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da
esfera que corresponde à água doce do planeta é
a)
b)
c)
d)
e)
1
343
1
49
1
7
29
136
136
203
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
360° : 12° = 30°
A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois
semicírculos.
30  4 π  42
π  42
 2
360
2
16 π
A
 16 π
3
A
A
64 π 43 π

cm2 .
3
3
Resposta da questão 2:
Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro.
Como h  4  2r  8r, segue que o volume do cilindro é igual a πr 2  8r  8πr 3 .
r
Sabendo que o raio de cada esfera mede , podemos concluir que o volume de uma esfera é
2
3
4 π   r   πr 3 .
 
3 2
6
3
Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 8 πr  48.
3
πr
6
Resposta da questão 3:
02 + 16 = 18.
Sabendo que os volumes são iguais, temos
4
1
3
2
2
  resf
   rcil
 hcil    rcon
 hcon .
3
3
Além disso, é dado que hcon  2  hcil  resf .
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[01] Incorreto. Temos
2
  rcil
 hcil 
1
3 2
2
2
  rcon
 2  hcil  rcon
 rcil
,
3
2
o que implica em rcon  rcil.
[02] Correto. Temos
4
1
3
2
  resf
   rcon
 resf  rcon  2  resf .
3
3
[04] Incorreto. Como 2  hcil  resf , segue que hcil 
resf D
  D, com D sendo o diâmetro da
2
4
esfera.
[08] Incorreto. Sabendo que
4
3 2
3
2 resf
2
  resf
   rcil

 resf
  rcil
,
3
2
8
tem-se que a área da superfície da esfera é igual a
2
4  resf
 4 
3 2 3
2
 rcil    rcil
.
8
2
3
2
2
2
 3    rcil
.
Por outro lado, a área da base do cilindro é   rcil
e, portanto,   rcil
2
[16] Correto. De (02), vem rcon  2 5 cm. Logo, sendo gcon a geratriz do cone, pelo Teorema
de Pitágoras, encontramos
2
gcon
 (2 5)2  ( 5)2  gcon  5cm.
Resposta da questão 4:
[A]
A camada terrestre descrita no problema é a barisfera, ou seja, uma esfera de raio r dado por:
r = 6350 – 2900 = 3450 km.
Admitindo o raio da esfera R = 6.350km, a razão entre o volume da barisfera e o volume da
terra será dada por:
4
3
3
π   3450 
 3450 
3

  0,15303
4
3
 6450 
π   6450 
3
Logo,
1
1
x .
8
5
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Resposta da questão 5:
[D]
Calculando agora o volume de cada sólido dado, temos:
Resposta da questão 6:
[E]
Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos
4π
4π 3
 (1,2  r)3 
r
3
3
 100%  (1,728  1)  100%
4π 3
r
3
 72,8%,
ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.
Resposta da questão 7:
[D]
V = Volume do porta-joias
Vc = Volume do cubo
Ve = Volume da esfera.
V = Vc - Ve
4
V  103   π  43
3
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V = 1000 – 256
V = 744 cm3
Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.
0,85 
m
 m  632,4 g
744
632 g
Resposta da questão 8:
[C]
No triângulo retângulo assinalado, temos:
2
3.R2
R
r 2     R2  r 2 
4
2
Logo, a área pedida será:
A  π.r 2  π
3.R2 3.π.R2

4
4
Resposta da questão 9:
a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.
Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h  6r, temos
πr 2  6r  5175  r 3 
1725
.
2π
Daí, segue que o volume de cada bola é igual a
4
4 1725
π  r3  π 
3
3
2π
 1150 cm3 .
Portanto, o resultado é 5175  3  1150  1725cm3 .
b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é
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3450 2
 .
5175 3
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Resposta da questão 10:
[E]
Considere a figura, em que O é o centro da esfera, C é o centro da seção e P um ponto de
interseção de S com a esfera.
Sabendo que a área da seção é igual a 16π cm2, temos que
2
π  CP  16π  CP  4 cm.
Desse modo, como OP é o raio da esfera e OC  3 cm, vem
2
2
2
2
OP  OC  CP  OP  32  42
 OP  5 cm.
Portanto, o volume da esfera é dado por
3
4 π  OP
4 π  53

3
3
500 π

cm3 .
3
Resposta da questão 11:
[A]
V(líquido) = V(cubo) – V(esfera)
4 π.33
(considerando π  3,14 )
3
3
V(líquido) = 102,96cm
V(líquido) = 63 
Número de peças com 1 Litro =
1000cm3
102,96cm3
9,7
Resposta: No máximo 9 peças.
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Resposta da questão 12:
[A]
Considere r como sendo o Raio da esfera.
6  2r  30. Logo, r  5/2.
3
Volume de cada esfera: V 
4
125 π
5
 π  
.
3
6
2
Razão entre os volumes das 216 esferas e o volume da caixa:
125 π
6  4500 π  5 π  π .
30  30  30 3  30  30 30 6
216 
Resposta da questão 13:
[B]
A = área da semiesfera de raio 14 m: A 
4  π  142
 392π m2 .
2
A’ = área de cada semicírculo lateral: A ' 
π  32 9 π 2

m .
2
2
Área que será pintada: A – A’ = 392 π  12 
9π
 338 π
2
Número de latas de tinta:
1014( π  3).
1014
 26.
39
Resposta da questão 14:
População aproximada da terra = 7.10 9 habitantes.
40000
Raio da terra=
2 π
2
 40000 
8
2
Área emersa do planeta: 0,30  4  π  
  1,5  10 km
 2 π 
a)
b)
7  109
8
1,5  10
1,5  108
9
7  10
 47 habitantes por km2
 21000 m2
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Resposta da questão 15:
[D]
Raio de uma nanoesfera em cm: 10–9 m = 10–7 cm.
Volume da nanoesfera em cm3: V 


3
4
4
 π. 107   π.1021cm3 .
3
3
Número n de nanoesferas necessárias para se obter o volume de uma esfera de 1 cm de raio:
n.
4
 π.1021cm3 = (4/3)  π  n  1021.
3

Área superficial das n = 1021 nanoesferas: 1021  4 π  107

2
 4 π  107 , portanto, [D] – 10
7
vezes maior que a da esfera de raio 1 cm.
Resposta da questão 16:
[E]
O plano que contém o trajeto do motociclista é perpendicular ao plano do chão, portanto a
projeção ortogonal do trajeto do motociclista no plano do chão é um segmento de reta.
Resposta da questão 17:
[D]
4
 π  103 cm3 de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse
3
material ele poderá construir uma esfera de raio r, tal que
4
4
3
 π  r 3  8   π  103  r  23  103  r  20cm.
3
3
O artesão disporá de 8 
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Resposta da questão 18:
[D]
Volume da semiesfera da taça
1 4  π  R3

 60,75 π
2
3
R3  91,125
R  4,5 cm.
Resposta da questão 19:
[C]
Considere a figura abaixo.
Queremos calcular h  PO'  OO'  OP.
4
AD 10

 5 m e OB   2 m  O 'C.
2
2
2
Logo, AC  O ' A  O 'C  5  2  3 m.
Temos que O' A 
ˆ  BC  BC  3  tg60  3 3  3  1,73  5,19 m.
Do triângulo ABC, vem que tgBAC
AC
Portanto, h  5,19  2  3,19  3,20 m.
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Resposta da questão 20:
[C]
Área de cada uma das partes (interna e externa):
A  2.3,14.(0,2)2  0,2512
Logo, o valor total será:
0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56.
Resposta da questão 21:
[C]
Número de esferas = 180  50  9000
3
Volume total das esferas = 9000 
4
 1
 π     4500cm3 (considerando π  3 )
3
2
Volume do bloco = x  x  20
Logo,
20x 2  4500
x 2  225
x  15cm
Calculando a área total, temos:
A  2  15  15  15  20  15  20   1650
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Resposta da questão 22:
[C]
4
  63  288cm3
3
4
Volume da esfera menor: v    33  36cm3
3
Volume da esfera maior: V 
Volume da camada de gelo: V  v  252cm3
Resposta da questão 23:
[D]
O volume (V) de uma esfera, em função do seu diâmetro (D), é dado por
 3
D .
6
Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa esfera passa a valer


V '   (1,01 D)3  1,030301  D3  1,030301 V.
6
6
V
V
Portanto,
1,030301 V  V
0,030301  V
x% 
 100% 
 3,03%  [3, 4).
V
V
Resposta da questão 24:
[E]
V=
1
A b .h
3
V=
1 6.r 3 3
.
.r
3
4
V=
r3 3
2
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Resposta da questão 25:
[A]
Sejam Vds e Vd , respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce
superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta.
4
3
3
3
   rds3
Vds 3
1
r 
 29 
 1
A razão pedida é dada por

  ds   

.
  

4
Vd
r
203

7

343


3
 d 
   rd
3
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