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Mais algumas propriedades:
3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z
x1 [ n ]  X 1 ( z )
Z
x 2 [ n ]  X 2 ( z )
Z
x1 [ n ]. x 2 [ n ] 
Z
1
2 j

1
1
X 1 ( v ). X 2 ( z .v ).v .dv
c
1
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3.4.10. Teorema de Parseval
Forma Geral:


x1 [ n ]. x [ n ] 
*
2
n  
1
2 j

*

X 1 ( v ). X 2 1 / v
*

1
.v .dv
c
P/ x1[n]=x2[n] sinal real


n  
x [n] 
2
1
2 j

 
X ( v ). X v
1
1
.v .dv
c
Energia do sinal pode ser calculada tanto no
domínio n quanto no domínio Z
2
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3.4.11. Teorema do Valor Final
Seja: x[n]=0, n<0
lim
n 
 x[ n ]   lim ( z  1). X ( z ) 
z 1
3.4.12. Somatório
x [ n ]  X ( z )
Z
n

x [ k ] 
Z
k  
z
z 1
X (z)
Ex.: [n]
3.4.13. Sinais Periódicos
x p [n]  ~
x [ n  m .N ]
X p (z) 
z
z
N
N
1
~
X (z)
3
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5. Análise de Sistemas LTI
Através da Transformada Z
Seja um sistema discreto LTI:
x[n]
h[n]
X(z)
H(z)
y[n]
Y(z)=X(z).H(z)
h[n]: Resposta ao impulso do sistema
H(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=ej
Função de Transferência
H (z) 
Y (z)
X (z)
4
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5.1. Resposta em Frequência
de Sistemas LTI
Y ( z )  H ( z ). X ( z )
p/ z e
j
Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT)
 Resposta em Frequência
Y (  )  H (  ). X (  )
Função complexa:
Y ( )  H ( ) . X ( )
 Y ( )   H ( )   X ( )
5
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5.1.1. Filtros Seletivos Ideais
Passa-Baixas ideal:

1,    c
H lp (  )  

0,  c    
hlp [ n ] 
sin  c n 
n
Vimos que:
,   n
Passa-Altas ideal:

0,    c
H hp (  )  

1,  c    
h hp [ n ]   [ n ] 
sin  c n 
n
H hp (  )  1  H lp (  )
,   n
6
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Observações:
•Filtros Não-Causais:
Logo irrealizáveis computacionalmente
•Fase nula!
7
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5.1.2. Distorção de Fase e Atraso
Considere o sistema de atraso ideal:
hid [ n ]   [ n  n d ]
c/ resposta em frequência:
H id (  )  e
 j n d
Notação polar: H id (  )  1
 H id (  )    .n d ,
 
Visto que esta distorção linear de fase causa apenas um
atraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é,
o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.
8
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Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como:
 j . n d

e
,   c

H lp (  )  

0,  c    
E sua resposta ao impulso:
hlp [ n ] 
sin  c ( n  n d ) 
 (n  nd )
,   n
O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais.
Note: Por maior que seja nd será sempre um filtro não-causal.
9
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Medida conveniente da linearidade da fase é
o Atraso de Grupo.
Definido por:
 (  )  grd  H (  )   
d
d
 arg  H (  ) 
Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivada
da fase de uma H(). Fase contínua.
Atraso de grupo ideal: Constante
10
Ex.: Dado o Sistema:
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11
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E o sinal de entrada:
0 .2 5 
0 .5 
0 .8 5 
12
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13
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5.2. Função de Transferência para sistemas
Caracterizados por EDCC
Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC:
N
a
k 0
M
k
. y[ n  k ] 
b
k
. x[ n  k ]
k 0
Calculando a Transformada Z de ambos os lados:
 N

M

Z   a k . y [ n  k ]  Z   b k . x[ n  k ]
 k 0

 k 0

14
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 N

M

Z   a k . y [ n  k ]  Z   b k . x[ n  k ]
 k 0

 k 0

N
a
k
.Z  y [ n  k ] 
k 0
b
k
.Z x [ n  k ]
k 0
N

M
a k .z
k
M
.Y ( z ) 
k 0

bk . z
k
.X ( z)
k 0
N
Y ( z ).  a k . z
k 0
k
M
 X ( z ).  b k . z
k 0
M
H (z) 
Y (z)
X (z)
k


bk .z

a k .z
k 0
N
k
k
k 0
15
TE-072 Processamento Digital de Sinais I M
Y (z)
H (z) 

X (z)

bk .z

a k .z
k 0
N
UFPR
k
k
k 0
H (z) 
H (z) 
b0  b1 . z
1
a 0  a1 . z
z
N
z
M

1
 b2 . z
2
 a 2 .z
 ...  b M 1 . z
2
 M 1
 bM .z
M
 N 1
 a N .z
N
 ...  a N 1 . z
b 0 . z M  b1 . z
M 1
 b2 . z
M 2
 ...  b M 1 . z  b M
 a1 . z
N 1
 a 2 .z
N 2
 ...  a N 1 . z  a N
a 0 .z
N
E a ROC??? Depende da causalidade do sistema
16
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H (z) 
Ex:
H (z) 

1  14 . z
1  2 .z
1  .z
X ( z ) 1  2 .z
1
1  2 .z
1
4
1
z
1
1
2
2
1
1
z
2
2
 .z
3
8
2
 83 . z
z
2
UFPR

Y (z)
  Y ( z ) 1 
X (z)
1
4
.z
1
 83 . z
1
2

2
Y ( z )  14 . z .Y ( z )  83 . z .Y ( z )  X ( z )  2 . z . X ( z )  z . X ( z )
y[ n ] 
1
4
y [ n  1]  83 . y [ n  2 ]  x[ n ]  2 . x[ n  1]  x[ n  2 ]
17
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.2.1. Estabilidade e Causalidade
• Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve conter
a circunferência unitária, p/ que exista a H() e
por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável.
• Se o sistema é Causal a ROC deve ser a região
fora do circulo definido pelo maior pólo.
18
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
Im{z}
Im{z}
z
-1
1
-1
z
1
Re{z}
Im{z}
-1
Re{z}
Im{z}
z
1
UFPR
-1
z
1
Re{z}
19
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.2.2. Sistema Inverso
Hi(z) é inverso de H(z) se:
y[n]
x[n]
h [n]
hi[n]
x[n]
g [ n ]  h [ n ] * hi [ n ]   [ n ]
G ( z )  H ( z ). H i ( z )  1
Logo:
H i (z) 
1
H (z)
Pólos de H(z) são zeros de Hi(z)
Zeros de H(z) são polos de Hi(z)
20
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Conclusões:
Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistema
Inverso Hi(z) Estável e Causal se e somente se
os pólos E zeros de H(z) estiverem no interior
do circulo unitário.
Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA
21
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.2.3. Resposta ao Impulso para
Funções de Transferência Racionais
H (z) 
Dado: H(z) racional:
N (z)
D(z)
Podemos expandi-la em frações parciais em z-1
M N
H (z) 
B
r
.z
r
N

r 0
Ak
 1 d
k 1
.z
k
1
p/ pólos simples e H(z) causal:
M N
h[ n ] 

r 0
N
B r . [ n  r ] 

n
A k .d k .u [ n ]
k 1
22
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Primeiro caso:
Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nulo
Teremos que h[n] terá duração infinita.
Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response)
N
h[ n ] 

n
A k .d k .u [ n ]
k 1
Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem
(z=0) o sistema será IIR.
N
H (z) 
Ak
 1 d
k 1
.z
k
1
23
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Segundo caso:
Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem,
M
H (z) 

bk .z
k
k 0
M
Isto é, h[n] será na forma:
h[ n ] 
b
k
. [ n  k ]
k 0
h[n] terá duração finita M.
Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response)
Saída y[n] pode ser calculada como:
M
y[ n ] 
b
k
. x[ n  k ]
k 0
Convolução com os coeficientes da H(z)
24
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.3. Resposta em Frequência de funções de
Transferências Racionais
Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional,
Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:
M
H (z) 

bk .z

a k .z
k 0
N
k
com z  e
j
k
k 0
M
H ( ) 
b
k
.e
k 0
N
a
k
.e
 j k
 j k
k 0
25
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Observações:
H (  )  Re{ H (  )}  j . Im{ H (  )}  H (  ) .e
j H (  )
Módulo:
H ( ) 
Re{ H (  )}  Im{ H (  )}
2
2
Módulo em dB: Diagrama de Bode
H ( )
Fase:
dB
 20 log  H (  ) 
 Im{ H (  )} 
 H (  )  arctan 

Re{
H
(

)}


Cuidar que geralmente a função arctan(x) retorna
Apenas o valor principal, isto é, entre [-,], fica
parecendo que a fase possui descontinuidades.
26
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.3.1. Resposta em Frequência
de um Pólo e Zero Simples
Revisão:
Z1

Z2
Z 1 .e
Z 2 .e
Soma de Vetores:



R  V1  V 2
Subtração de Vetores



R  V1  V 2
j Z 1
j Z 2

Z1
.e
j  Z1   Z 2

Z2

R

V1

V2

V1

R

V2
27
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
Ex.1:
H (z) 
UFPR
z
z  0 .5
Método Analítico:
e
H ( ) 
e
Assim:
H ( ) 
j
j
 0 .5

cos(  )  j .sin (  )
cos(  )  j .sin (  )  0 . 5
1
cos(  )  0 . 5 2  sin (  ) 2
 sin (  ) 
  arctan
 H (  )  arctan 
 cos(  ) 


sin (  )


 cos(  )  0 . 5 


sin (  )

 H (  )    arctan 
 cos(  )  0 . 5 
28
Matlab: Funções bodez.m e tf.m
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
Magnitude
2
1.5
1
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
Phase (degrees)
40
20
0
-20
Group delay (samples)
-40
1
0.5
0
-0.5
29
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
Método Gráfico:
H (z) 

V1
z
z  0 .5
ze
j
UFPR
 

V1  V 2
Z


V1
Neste caso:
-1

V2

R
0.5
1

V1  1 p /  


R  varia
R  0 .5   0

R  1 .5   
30
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
Fase:
 H (  )   Num   Den
Z


V1
Neste caso:

R
 Num   p /  
 Den Varia
 0 0
-1

V2
0.5
1
   0
31
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
Ex.2:
zr
H (z) 
z
Z


R
-1
-0.5

V1

V2
1
32
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
Generalizando:
H (z)
Distâncias


 Distâncias
H (z) 
  ( Zeros
dos Zeros
dos Pólos
)
  ( Pólos
)
33
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
z 1
2
z  0 . 8 . z  0 . 64
2
Magnitude (dB)
20
Ex.3:
H (z) 
0
-20
-40
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Normalized Frequency (´ rad/sample)
1.6
1.8
2
0
-50
Group delay (samples)
Z
1
0.2
50
-100

0
100
Phase (degrees)
Zeros: -1 e 1
Polos: 0.8/3 60°
-1
UFPR
6
4
2
0
-2
34
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
Ex.5.10: IIR 3ª ordem
35
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.5. Sistemas Passa-tudo
H (z) 
z
1
a
1  a.z
*
1
 a 
*
z 1/ a
*
za
36
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
5.6. Sistemas de Fase Mínima
5.6.1. Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em:
H ( z )  H min ( z ). H ap ( z )
Isto é, uma função fase mínima cascateada com
um sistema all-pass para ajuste da fase.
5.6.2. Uso de filtros all-pass em compensação da resposta
em frequência de sistemas fase não-mínima (sistema
inverso é instável).
Hd(z)
H d ( z )  H d m in ( z ). H ap ( z )
Hc(z)
H c (z) 
1
H d m in ( z )
37
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
5.7. Sistemas com Fase Linear
Considere o sistema atraso ideal com  Real,
não necessariamente inteiro
H id (  )  e
Logo:
 j 
,
 
H id (  )  1
 H id (  )    
grd  H id (  )   
A transformada inversa é a resposta ao impulso:
hid [ n ] 
sin   n   
 n   
,   n
38
hid [ n ] 
sin   n   
 n   
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
,   n
Se: =nd inteiro então voltamos a: hid [ n ]   [ n  n d ]
Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear
 j 

e
,   c

H lp (  )  

0,  c    
hlp [ n ] 
sin  c  n   
 n   
39
TE-072 Processamento Digital de Sinais I
Se  é um inteiro nd , a resposta ao impulso
é simétrica em n=nd
-
UFPR
hlp [ 2 .n d  n ]  h lp [ n ]
Porém, se 2 for um inteiro teremos
simetria em relação à n= 
hlp [ 2 .  n ]  hlp [ n ]
Caso contrário o filtro terá fase
Linear porém h[n] não será simétrica
40
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
UFPR
5.7.2. Fase Linear Generalizada:
Condição suficiente para que um sistema tenha
Fase linear:
h [ 2  n ]  h [ n ]
h [ 2  n ]   h [ n ]
Onde 2 é um número inteiro.
41
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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5.7.3. Sistemas c/ fase linear causais
Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0
Considerando também as condições anteriores p/ fase linear,
Temos que h[n]=0 n>M
Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta ao
Impulso com comprimento M+1 amostras
 h[ M  n ] ,
h[ n ]  
 0 , outros
E:
H (  )  Ae (  ). e
0nM
 j M / 2
Ae() Função real, par e periódica
42
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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OU:
  h[ M  n ] ,
h[ n ]  
 0 , outros
E:
H (  )  Ao (  ). e
0nM
 j (  M / 2  / 2 )
Ao() Função real, impar e periódica
Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemas
com fase linear. Existem sistemas com H(z) não racional
que possuem fase linear e não obedecem a estas condições.
43
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Ex.5.17: Tipo I
h[ n ]  h[ M  n ]
M par
44
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Ex.5.18: Tipo II
h[ n ]  h[ M  n ]
M ímpar
45
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Ex.5.19: Tipo III
h[ n ]   h[ M  n ] M par
46
TE-072 Processamento Digital de Sinais I -
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Ex.5.20: Tipo IV
h[ n ]   h[ M  n ] M ímpar
47
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Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear
Tipo I
Tipo II
Tipo III
Tipo IV
Zeros: Sobre circulo unitário
Fora do circulo unitário aos pares simétricos
48
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UFPR
Exercícios:
1) Calcule a H(z) do sistema:
y[ n ] 
1
2
y [ n  1]  x[ n ] 
1
3
x[ n  1]
2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e
Classifique os sistemas em FIR ou IIR
a n , 0  n  M
a ) h[ n ]  
 0 , outros
b ) y [ n ]  a . y [ n  1]  x [ n ]
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