TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6. Estruturas p/ Sistemas Discretos
Dado um sistema LTI, caracterizado por uma EDCC.
Ex.:
b0 .z  b1 b0  b1.z 1
H ( z) 

za
1  a.z 1
Resposta ao impulso:
h[n]  b0 .a n .u[n]  b1.a n1.u[n 1]
Sistema IIR, logo a implementação usando o algoritmo
de convolução fica impossibilitado.
Podemos reescrever o sistema da forma recursiva:
y[n]  a. y[n 1]  b0 x[n]  b1 x[n 1]
Diversas formas de implementar um mesmo sistema.
Facilidade, precisão numérica, erro de quantização...
1
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.1. Diagrama em blocos de EDCC:
Elementos Básicos:
x2[n]
Somador:
Multiplicação
por constante:
Atrasador unitário:
x1[n]
x[n]
x[n]
+
x1[n]+x2[n]
a
z-1
a.x[n]
x[n-1]
2
TE-810 Processamento Digital de Sinais
Ex.:
-
UFPR
y[n]  a1 y[n 1]  a2 y[n  2]  b0 x[n]
b0
b0 z 2
H ( z) 
 2
1
2
1  a1 z  a2 z
z  a1 z  a2
x[n]
b0
y[n]
+
+
a1
z-1
y[n-1]
a2
z-1
y[n-2]
Define: -Software
-Hardware
3
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Generalização:
N
M
k 1
k 0
y[n]   ak y[n  k ]   bk x[n  k ]
M
H ( z) 
k
b
z
k
k 0
N
1   ak z  k
k 1
4
TE-810 Processamento Digital de Sinais
N
M
k 1
k 0
-
UFPR
y[n]   ak y[n  k ]   bk x[n  k ]
Forma Direta I
5
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Rearrajando os blocos:
6
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Forma Direta II
7
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.2. Diagrama de Fluxo de Sinal
8
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.3. Estruturas Básicas p/ Sistemas IIR
Fatores a considerar:
-Complexidade Computacional
-Número de elementos multiplicadores e memórias
-Sensibilidade à precisão finita das operações e memória
-Modularidade: VLSI
-Particionamento do algoritmo e comunicação: Paralelo
9
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.3.1. Formas Diretas
Forma Direta I
Forma Direta II
10
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.3.2. Cascata de Biquadradas
b0k  b1k z 1  b2k z 2
H ( z)  
1
2
k 1 1  a1k z  a2 k z
Ns
Há (Ns!)2 diferentes combinações quanto:
-pareamento pólo/zero
-ordem das biquadradas
Facilidade de ajuste da faixa dinâmica, saturação
11
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.3.3. Forma Paralela
1
N2
A
e

e
z
k
0k
1k
H ( z )   Ck z 1  


1
1
2
1

c
.
z
1

a
z

a
z
k 0
k 1
k 1
k
1k
2k
Np
N1
12
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.3.4. Realimentação em Sistemas IIR
-Sistemas sem realimentação (loop) indicam
que a resposta ao impulso depende apenas de
um numero finito de amostras atrasadas da entrada: FIR
-Realimentação é uma condição necessária (mas não
suficiente) para um sistema ser IIR.



1  a 2 .z 2 1  a.z 1 1  a.z 1
1
H ( z) 


1

a
.
z
1  a.z 1
1  a.z 1
-Loops devem conter atrasos para que possam ser
computados:
13
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.4. Formas Transpostas
Pelo Teorema de Mason p/ diagramas de fluxo de sinal
podemos transpor uma estrutura fazendo:
-inverter as direções de todos os ramos
-trocar entrada pela saída
A nova estrutura implementa o mesmo sistema original.
Ex.:
14
Formas Diretas Transpostas:
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Forma Direta I
Transposta
Forma Direta II
Transposta
15
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.5 Estruturas básicas para sistemas FIR
M
y[n]   bk .x[n  k ]  h[n] * x[n]
k 0
bn n  0,1,2,...,M
h[n]  
0 outros
6.5.1. Forma Direta
Transposta:
16
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.5.2. Forma em Cascata
17
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.5.3. Estruturas para sistemas FIR com fase linear
-Simetria da resposta ao impulso.
h[ M  n]  h[n] n  0,1,2,...,M
h[ M  n]  h[n] n  0,1,2,....,M
Estrutura p/
M par
Estrutura p/
M ímpar
18
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.6. Efeitos da Precisão Finita
Efeito não linear : sistema linear torna-se não-linear
• Conversão A/D: Quantização do Sinal de Entrada
•Quantização dos coeficientes
•Precisão finita dos multiplicadores, somadores e memórias
19
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Representação Numérica:
• Ponto Fixo:
•Hardware simples
•Problemas c/ overflow
•Ponto Flutuante
•Hardware mais complexo
•Problemas c/ faixa dinâmica reduzidos
20
TE-810 Processamento Digital de Sinais
• Ponto Fixo
-
UFPR
Exemplo:
Decimal
Sinal e
Magnitude
Complemento
de 1
Complemento
de 2
+3
011
011
011
+2
010
010
010
+1
001
001
001
+0
000
000
000
-0
100
111
-
-1
101
110
111
-2
110
101
110
-3
111
100
101
-4
-
-
100
Faixa dinâmica: +3 a –3 (-4)
Sem casas decimais: Q0
21
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Representação de casas decimais em complemento de 2:
Ex.: 8 bits
4
3
2
6
5
4
1
0
1
2
3
Q3: 2 2 2 2 2 , 2 2 2
Menor valor: 100000000 -24=-16
Maior valor: 011111111 23+ 22+ 21+ 20+2-1+ 2-2 + 2-3=15,875
Q1:
3
2
0
2 2 2 2 2 2 2 ,2
Menor valor: 100000000
Maior valor: 011111111
Q7:
1
1
-26=-64
25+ 24+ 23+ 22+21+ 20 + 2-1=63,5
20 , 21 22 23 24 25 26 27
Menor valor: 100000000
Maior valor: 011111111
-20=-1
2-1+ 2-2+ 2-3+ 2-4+2-5+ 2-6 + 2-7=0.9921875
22
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Característica do complemento de 2:
Desvantagem: Erro de overflow cresce abruptamente
Solução: Usar saturação
Vantagem: Propriedade: Se o resultado da soma de vários números em
complemento de 2 não gerar overflow, o resultado é correto mesmo que as
parcelas intermediárias o gerem.
23
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
• Ponto Flutuante
xˆ B .2
c
c: Característica : fator de escala
xB: Mantissa: 0,5 a 1
Representados em ponto fixo
Operações mais complexas:
Multiplicação: multiplica mantissa e soma características
Soma: Necessita de ajuste p/ mesma característica
Representando a mantissa e seu equivalente
em ponto-fixo com o mesmo número de bits
a representação em ponto flutuante gera maior SNR
24
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.7. Quantização dos coeficientes
M
Ideal: H ( z ) 
 b .z
k 0
N
M
k
k
1   ak .z
Quantizado: Hˆ ( z ) 
k
k 1
ˆ .z  k
b
k
k 0
N
1   aˆ k .z  k
k 1
Altera a posição dos pólos e zeros!
Alterando os coeficientes de um polinômio:
Todas as raízes deste polinômio são afetadas
Formas Diretas
Nas estruturas em cascata e paralelo, o erro de quantização
de cada parcela não influencia nas outras:
Estruturas menos sensíveis.
25
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Ex.: Filtro Elíptico Passa faixas
Não-quantizado
Não-quantizado
Cascata
16 bits
Paralelo
16 bits
Forma
direta
16 bits
26
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.7.3. Influência nas seções de 2a ordem
1
1
H ( z)  2
 2
z  a1 z  a2 z  2R cos .z  R 2
Forma Direta
4 bits
7 bits
27
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
Outra estrutura com os mesmos pólos
R. sen  .z 1
H ( z) 
1  2 R cos .z 1  R 2 .z 2
4 bits
7 bits
28
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.7.5. Exemplo de quantização em filtro FIR
29
TE-810 Processamento Digital de Sinais
-
UFPR
6.9. Ciclos limites com entrada zero em sistemas IIR
Ex.: yˆ[n]  Qa. yˆ[n 1]  x[n]
Estruturas baseadas em espaço de estados, FIR
30