Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2004
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•
Sistemas
–
–
Aula
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propriedades
sistemas lineares e
invariantes no tempo
•
Sistemas em
MATLAB
•
Resposta no tempo de
sistemas
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Sistemas
Os sinais, que estudamos até agora,
são apenas metade da história...
ver capítulo 4 de Rosen & Howell
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O que são sistemas
• De uma forma simples:
– algo que executa uma operação ou transformação
de um sinal de entrada para produzir um sinal de
saída
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Exemplos de sistemas
• Amplificador
– ex: saída(t) = 2 x entrada(t)
– Este sistema não tem memória: a saída em cada
instante só depende da entrada nesse instante
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Exemplos de sistemas
• Integrador
– Este sistema tem memória: a saída em cada
instante depende da entrada nesse instante e do
passado
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Propriedades
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Homogeneidade
• Se ao sinal de entrada inp(t) corresponde out(t)
– representado por inp(t)  out(t)
• então
k x inp(t)  k x out(t)
• Se sabemos a saída de um sistema homogéneo
a uma sinusóide de amplitude 1 V a 300 Hz
também sabemos a resposta a uma sinusóide
de 2 V e 300 Hz.
– Basta multiplicar a saída do primeiro por 2
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• A homogeneidade implica que a amplitude da
saída tem de ser proporcional à da entrada.
saída
entrada
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Exemplos
• O sistema que converte a pressão no tímpano e o
movimento do ossículo “stapes” é homogéneo
– Medições efectuadas em gatos, sinusóide de 315 Hz
• O movimento da membrana basilar em resposta a
alterações de pressão já não é homogéneo
• Na zona de funcionamento normal o gravador de
cassetes é linear
– A níveis elevados de sinal uma sinusóide não é
posteriormente reproduzida como sinusóide, não existe
homogeneidade
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Aditividade
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Aditividade
• Se
inp1(t)  out1(t)
inp2(t)  out2(t)
• Então
inp1(t) + inp2(t)  out1(t) + out2(t)
• Se um sistema é aditivo, conhecendo a saída
para dois sinais também se conhece a saída
para a soma de ambos, que é a soma das duas
saídas
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Linearidade
• Linearidade = Homogeneidade + Aditividade
• inp1(t)  out1(t)
• inp2(t)  out2(t)
• então
a x inp1(t) + b x inp2(t)  a x out1(t)+b x out2(t)
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Invariância temporal
• Dado
inp(t)  out(t)
• Então
inp(t) atrasado d segundos  out(t) atrasado de d
segundos
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• inp(t) out(t)
• inp(t-d)  out(t-d)
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Sistemas LTI
• LTI = Linear Time Invariant
– sistemas e que se verifica simultaneamente as duas
propriedades de linearidade e invariância temporal
– classe de sistemas para os quais existem ferramentas
poderosas de análise
– Sistemas não lineares são muitas vezes aproximados por
sistemas lineares
– Em certas zonas um sinal não invariante no tempo pode ser
considerado como aproximadamente invariante no tempo
• Um exemplo é o sinal de voz que varia continuamente mas que
numa escala da ordem das dezenas de milisegundos é considerado
geralmente como invariante
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Outras propriedades
• Memória
– já vimos no integrador
• Estabilidade
– Um sistema é estável se responde a um sinal
limitado em amplitude com um sinal limitado em
amplitude.
• Invertibilidade
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Sistemas em MATLAB - funções
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Funções
• Corresponde ao conceito de programa ou
subprograma com entradas/saídas definidas
formalmente
• Uma função aceita argumentos de entrada e
devolve argumentos na saída
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Função como ficheiro “.m”
• Um ficheiro “.m” onde se pretende definir uma
função deve obedecer à seguinte organização
mínima
–
–
–
–
–
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Linha de definição
1ª linha informativa
Texto de help
Corpo da função
Comentários
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Definição de funções
• Linha de definição (caso mais simples)
function f = fibo(n)
Argumento de Entrada
Nome da Função
Argumento de Saída
Palavra Chave
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Definição de funções
• Linha de definição (caso geral)
function [y w z]
= qqcoisa(x,u,v)
Argumentos de Entrada
Nome da Função
Argumentos de Saída
Palavra Chave
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Documentação
1ª linha: Informação
sumária. Utilizada
pelo lookfor
Informação
sinóptica para o
“help”
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Corpo da função
Corpo da
função
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Exemplos
Invocação
deficiente
Objectos privados da
função.
Não existem no
“workspace” genérico
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Nomes de funções
• Os nomes de funções seguem as mesmas regras de
nomeação de variáveis.
• Aceitam-se no máximo 31 caracteres incluindo “_”.
O primeiro caracter tem de ser uma letra.
• O nome do ficheiro “.m” que contém a função deverá
ser gravado como “nome_da_função.m”
Eg.
function y = aveg(x)...
=>
ficheiro aveg.m
• Caso assim não seja o nome interno é ignorado.
• Esta prática é fortemente desaconselhada
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Caracterização no tempo de
sistemas
Da resposta impulsional à convolução
ver capítulo 9 de Rosen & Howell
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Resposta a um impulso
• Comecemos assumindo que se conhece a
resposta de um sistema (sistema Z) a um
impulso rectangular de amplitude 3 mV e de
duração 1 milisegundo
– obtido experimentalmente ou dado por alguém
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• Termos a resposta a um sinal em particular não
parece levar-nos muito longe !
• Precisamos de uma forma eficiente de
caracterizar a resposta de sistemas por forma a
“prever” a sua saída para qualquer sinal
• Sendo o sistema LTI a situação não é assim tão
má. Vejamos ...
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Utilizando a homogeneidade
• Com base na homogeneidade (decorrente da
linearidade) podemos saber a resposta a
impulsos de qualquer amplitude
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Usando a invariância temporal
• Com base na invariância temporal podemos
saber a resposta a impulsos em qualquer
posição temporal
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Usando a aditividade
• Conseguimos saber a saída para a soma dos
dois impulsos anteriores
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• Podemos generalizar para a soma de um
qualquer número de sinais de entrada
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Problemas !
• Infelizmente nem todos os sinais (nem mesmo
a maioria) pode ser perfeitamente aproximado
por impulsos de 1/3 ms
– por exemplo o sinal triangular seguinte
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Resultado para a onda triangular
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Melhorar o processo ..
• Usar impulsos mais estreitos ...
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Melhorar (II)
• Ainda mais estreitos ...
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Impulso de duração infinitesimal
• Não existe razão para não
continuar o processo
• Chega-se a um impulso tão
estreito que não tem duração
!! Para ter energia terá de ser
de amplitude imfinita !!
• Como não podemos variar a
amplitude
– já é infinita
• fala-se em variar a área , ou
energia
– que é o que aparece agora no
eixo dos yy
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O impulso
• A este sinal da largura/duração infinitesimal,
inifinito em amplitude e de energia finita
chama-se IMPULSO
– em Engª é conhecido por delta (de Dirac)
• [n] para o caso discreto
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Generalização a outros sinais
• Qualquer sinal pode ser
representado como a
soma de impulsos
adequadamente
alterados em termos de
amplitude e de posição
no tempo.
• Ex: um ciclo de uma
sinosóide de 1 kHz
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Convolução
• Como qualquer sinal pode ser expresso como a soma
de impulsos, conhecendo a resposta de um sistema
LTI a um impulso significa que podemos obter a
saída para qualquer sinal.
• Portanto, os sistemas LTI são caracterizados
completamente pela sua resposta impulsional
• Não se utiliza a técnica apresentada para obter a
saída
– como os impulsos são infinitesimais seria necessário um
número infinito deles para representar qualquer sinal
– A FORMA DE CALCULAR passa pela utilização de uma
operação designada por CONVOLUÇÃO
• Demo 
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TPC 
•
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•
Convolução
•
filter
Aula
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