Aula Teorica 8
LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES
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Adição de pólos e zeros ao LGR
O Contorno das raízes
O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão de amortização
Projecto de Controladores pelo metodo do LGR
Efeitos de adicionar pólos e zeros ao GH
Em aulas posteriores aprenderemos a desenhar controladores usando o
LGR e esse é um problema de modificar o lugar com adição de pólos e
zeros por isso na aula de hoje veremos estes efeitos
A adição de pólos
(Explicaremos através de um exemplo)
Considere a função
LGR
GH ( s ) 
K
S (S  a)
a0
Se agora introduzir um polo s   b aonde b  a
GH ( s ) 
K
S ( S  a )( S  b )
Mudanças que se produzem:
O ângulo das assíntotas troca de  90 o até  60 o
A intercessão das assíntotas se move desde 
a
2
até 
(a  b)
sobre o eixo real
2
Observe que
O sistema antes era estável para qualquer
valor de K
Agora há um valor crítico de K que pode
fazê-lo instável
Se agora introduzir um polo s   c aonde c b
GH ( s ) 
K
S ( S  a )( S  b )( S  c )
O ângulo das assíntotas troca até
 45
o
Concluindo
A adição de pólos ao GH(s) tem o efeito
de mover a porção dominante do LGR
para a direita
A adição de zeros
(Explicaremos através de um exemplo)
Se sobre o mesmo sistema anterior colocamos agora um zero em s   b
GH ( s ) 
K (S  b)
S (S  a)
As partes conjugadas do LGR se
movem para as esquerda e formam
um círculo
b a
Se se colocarem um par de ceros complexos
Muito útil para desenhar PID
Concluindo
A adição de zeros ao GH(s) tem o efeito
de mover a porção dominante do LGR
para a esquerda
GH ( s ) 
K ( S  1)
S (S  b)
2
variante
1
2
3
4
5
6
b
10 8
6
4
2
1
2
efeito de mover
um pólo
1
3
4
5
6
GH ( s ) 
K (S  a)
S ( S  1)
2
variante
1
2
3
*
*
a
5
2
0.5 0.2 *
*
efeito de mover
um zero
4
4
3
2
1
Contorno das raízes
Até agora so vimos o LGR variando um parâmetro somente
No desenho de controladores muitas vezes terá que se analisar a variação
de mais de um parâmetro
Isso se chama Contorno das Raízes
Suponha uma equação característica
P e Q são polinômios
K1 e K2 são parâmetros variáveis
entre zero e infinito
O procedimento é
Primeiro faz um dos dois parâmetros zero K2=0
Dividindo tudo por P
Logo traça o LGR variando K1(0→α) e estabelece dentro do lugar o
valor que deseja que tenha K1
Depois restaura o valor de K2 enquanto considera que K1 está fixo
traça o LGR variando K2 (0→α)
(Explicaremos através de um exemplo)
Considere que a equação característica de um sistema é:
onde K1 e K2 são os parâmetros variáveis
Considere primeiro que K2 é zero e ficará
Suponha que escolhe um
valor de K1
A equação é agora
K1 é o valor que escolhemos
(é um número)
A seguir mostraremos o LGR
e o CR com várias
seleções de K1
GH ( s ) 
1
K 1  0 . 25
K 2S
2
S  K 1S  K 1
3
2
3
K1  1
K1  3
3
Assim o pode ver mais
claro se o obtiver no
MATLAB
2
1
1
2
3
O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão
de amortização
Um sistema de segunda ordem típica como este tem dois
parâmetros que podem variar

Wn
Analisemos a variação das raízes quando varia
1
Wn

2
S ( S  2 Wn )
Arrumando para ter a forma
0
1
Q (s)
P(S )
0
1
Wn
2
S ( S  2 Wn )
0
S ( S  2 Wn )  Wn
2
0
S ( S  2 Wn )
S ( S  2 Wn )  Wn
S  2 WnS  Wn
2
1
2WnS
S  Wn
2
2
2
0
2
0
0
Esta é a equação com que faremos
o LGR com 
variando entre zero e infinito
1
2WnS
S  Wn
2
zero
polos
2
0
S 0
S   jWn
S   jWn
LGR sobre o eixo real
Número de ramos
Numero de assíntotas
2
P-Z=1
em 180o
Ponto de chegada ao eixo real
2WnS
1

S  Wn
2
2WnS
S  Wn
2
 1
2
 S  Wn
2
 
0
2
2
2WnS
d
2WnS (  2 S )  (  S  Wn ) 2Wn
2

2
dS
4Wn S

 4WnS
2
 2WnS
2
4Wn S

 2WnS
2
 2Wn
2
4Wn S
2
2
2
2
 2Wn
2
3
 2WnS
2Wn
3
0
3
2
 2Wn
 2WnS
S   Wn
S   Wn
2
3
0
LGR com

Quanto vale
variando entre zero e infinito

aqui?
Substituindo o valor de S na equação de
 S  Wn
2
 
2WnS
2
1
S  W n

Uma raiz complexa qualquer se pode representar assim sobre o lugar
P    Wn  jWn
  cos
1
1

2
Concluindo
Este conteúdo é útil no desenho de controladores que posteriormente
veremos
Nunca faremos estes traços à mãos, aprenderemos a fazê-lo no
MATLAB
Intervalo
Recordar que
Suponha
graficamente
Observações importantes
Quando desejamos modificar o desempenho transitivo do sistema, as raízes da
equação característica devem trocar portanto terá que modificar o LGR para que
passe pelo ponto indicado conforme sejam as especificações
Quando desejamos modificar o desempenho em estado estável, so utilizaremos o
ganho do controlador sem variar muito o LGR
Só coloca um zero no LGR
Projetar um PD é colocar adequadamente um zero
Estabelecimento
≥2.17
Aplicando a condição de fase
GH ( s )
 1  1 . 95 j
 180
2 K (s  z)
s
o
 (s  z)
2
 1  1 . 95 j
 s
 1  1 . 95 j
2
 1  1 . 95 j
 180
 1  1 . 95 j  z  (  1  1 . 95 j )  180
2
tan
tan
-1
-1
 3 .9 
 1 . 95 
-1 

tan



  180
 z 1
  2 . 8025 
 1 . 95 

  (  125 . 71 )  180
 z 1
-1  1 . 95 
tan 
  54 . 29
 z 1
 1 . 95 

  tan( 54 . 29 )
 z 1
z
1.95
tan( 54 . 29 )
z  2.40
1
Gc  Kc ( s  2 . 41 )
Que valor tomará Kc?
Aplicando a condição de magnitude
2 Kc ( s  z )
s
1
2
1  1 . 9 5 j
2 Kc s  z
1  1 . 9 5 j
s
2
1
1  1 . 9 5 j
2 Kc  1  1 . 95 j  2 . 40
(  1  1 . 95 j )
2 Kc
1 . 40 
  2 . 8025 
Kc  1
2
2
1
2
 1 . 95 
2
  3 .9 
1
2
Agora
Gc  ( s  2 . 41 )
Como fazer isto com o Matlab?
G=tf(2,[1 0 0])
pd=-1+1.95*j
angcero=pi+angle(pd^2)
zero=imag(pd)/tan(angcero)-real(pd)
G1=tf(2*[1 zero],[1 0 0])
rlocus(G1)
para achar o zero
para achar Kd
Gc  Kd ( s 
Kp
)
Kd
Gc  ( s  2 . 41 )
Kp
 2.41
Kd
Kp  2 . 41 * 1
Kp  2 . 41
Verificando se se satisfazem os requisitos
Não satisfaz
Kd=1
Lc=feedback(Kd*G1,1)
step(Lc)
Aumentando Kc a um valor ligeiramente maior que 2.5 se obtêm os requisitos
Kc  3
Coloca um pólo na origem
e um zero em
S
Ki
Kp
Sobre a origem não temos alternativas portanto o projeto se apóia em se localizar o zero
Tenha em conta que:
Para que o estado transitório não se afete muito os pólos de laço fechado dominantes
devem manter-se
Quais são?
2
Devido a que
C (s)
R (s)

2
S (S  2)
 2
2
S  2S  2
1
S (S  2)
P1, 2    1  j
DEVEM
MANTER-SE
Este é o LGR do sistema antes de pôr o PI
GH ( s ) 
Agora
2 Kc ( S  z )
S (S  2)
2
O pólo do sistema está em - 2 portanto uma primeira aproximação pode ser
colocar o zero do controlador em -0.2
GH ( s ) 
2 Kc ( S  0 . 2 )
S (S  2)
2
LGR agora
LGR antes
Não passa por -1+j portanto
se o deixarmos assim o
comportamento transitório
pode variar com respeito ao
anterior
Uma segunda aproximação pode ser colocar o zero do controlador em -0.1
Agora
GH ( s ) 
2 Kc ( S  0 . 1)
S (S  2)
2
Não se consegue acontecer
LGR antes
LGR agora
exatamente por -1+j mas
pode aceitar-se essa
aproximação -0.95+0.95jou
continuar afastando o zero
Gc ( s ) 
( S  0 . 1)
S
Resposta a entrada rampa
Ess=0
Resposta a entrada rampa
agora
antes
resposta ao degrau unitário
agora
antes
Se o mas importante era
o zero erro em regime
esta variação não é importante
Coloca um pólo na origem e dois zeros
Não é a única
GH ( s ) 
Kc ( s  a )
2
S ( S  1)
2
GH ( s )
1 
K (s  z)
3j
 180
GH ( s ) s   1 
o
K (s  z)
2
s ( s  1)
 180
2
1 
2
s ( s  1)
1
2
3j
Kc  2 . 37
z  0 .8
Gc ( s ) 
3j
1
2 . 37 ( s  0 . 8 )( s  0 . 8 )
s
s   1
3j
Em próxima atividade continuaremos com este tema mas em aula prática.
Tragam os vossos computadores com MATLAB instalado