REGIME DE CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA
No regime de Capitalização Composta, os juros prodzidos ao final de um
dado período n se agregam ao capital, passando ambos a integrar a nova base
de cálculo para o período subsequente n+1 e assim sucessivamente.
Exemplo:
Uma pessoa aplicou R$ 500,00 em uma caderneta de poupança que
paga juros de 4% a.m. Determine o saldo de sua conta no final de um
semestre.
MÊS
BASE
DE JUROS
MONTANTE
CÁLCULO
0
R$ 500,00
R$ 0,00
R$ 500,00
1
R$ 500,00
R$ 20,00
R$ 520,00
2
R$ 520,00
R$ 20,80
R$ 540,80
3
R$ 540,80
R$ 21,63
R$ 562,43
4
R$ 562,43
R$ 22,50
R$ 584,93
5
R$ 584,93
R$ 23,40
R$ 608,33
6
R$ 608,33
R$ 24,33
R$ 632,66
Note que este regime tem comportamento diferente da capitalização
simples no que tange ao crescimento do principal, pois, nesse caso, a
incorporação dos juros ao capital ocorre em progressões geométricas.
CÁLCULO DO MONTANTE
Podemos colocar o exemplo acima em termos matemáticos, lembrando
que o Montante é o Capital acrescido dos Juros. Sendo assim, aplicando-se o
capital C por um período ou por uma série de períodos n, a uma taxa i, obtémse um montante M.
Exemplo:
Aplicou-se R$ 800,00 em uma caderneta de poupança durante quatro
meses à taxa de 8% ao mês. Qual o montante final?
Observação: o fator
é chamado fator de acumulação de
capital por operação única e pode ser denominada (F.A.C). para efeito
ilustrativo tem-se, para alguns níveis de taxa i e de períodos n, esse fator
calculado e tabelado.
Exemplos:
Uma pessoa faz uma aplicação de R$ 200,00 a juros compostos, a qual
remunera o capital à 1,8% ao mês. Qual o montante ao final de um ano?
Quantos períodos devo deixar R$ 850,00 aplicados, à razão de 3% a.p.,
de modo a atingir o montante de R$ 1.100,00 pelo regime composto?
Qual a taxa trimestral composta que devo aplicar um certo capital, de
modo a dobrá-lo no final de 18 meses?
APURAÇÃO DOS JUROS
Muitas vezes, necessitamos apurar monetariamente os juros produzidos
em uma dada operação. Para tanto, lembrando que juros é a diferença entre o
montante e o capital, temos:
TAXA DE JUROS NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
TAXAS EQUIVALENTES: Conforme vimos, taxas equivalentes são
aquelas que aplicadas ao mesmo capital, durante mesmo espaço de tempo,
produzem montantes iguais.
Vamos imaginar a seguinte situação: um certo capital C foi aplicado
durante o certo período de tempo n, à razão de uma taxa de juros i produzindo
um certo montante M. concomitantemente a essa aplicação, imagine que ume
mesmo capital C tenha sido aplicado durante um período de tempo NE,
equivalente ao primeiro, à uma taxa de juros ie produzindo um mesmo
montante Me. Então:
Exemplo:
Qual a taxa de juros mensal equivalente a 60% ao ano?
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não
coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se R$1000,00 a
juros compostos por três meses à taxa de 70% ao ano, capitalizados
mensalmente. Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a
capitalização se dá em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma
taxa nominal anual quando, efetivamente, a remuneração do capital se dá em
termos mensais. Para tanto, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal
e taxa efetiva.
Taxa Nominal: É aquela cuja unidade do período a que se refere não
coincide com a unidade do período de capitalização.
Taxa Efetiva: É aquela que efetivamente grava uma operação
financeira.
Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o cálculo da
respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de maneira igual a do sistema
de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa
à unidade de tempo mencionada para a capitalização, e, posteriormente apurase exponencialmente a taxa efetiva à nominal. Matematicamente, temos:
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL
ou
1- (Banco do Brasil – 2010) Mário deseja aplicar certa quantia em um fundo de investimento a uma
taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quanto deverá aplicar hoje para ter um montante de R$ 6
655,00 daqui a 3 anos?
(A) R$ 5 600,00.
(B) R$ 5 120,00.
(C) R$ 5 060,00.
(D) R$ 5 000,00.
(E) R$ 4 920,00.
2- (Banco do Brasil – 2010) André deseja comprar uma moto à vista e decidiu poupar mensalmente
da seguinte maneira:
No dia 1º de julho de 2010 depositará R$ 2 500,00. No dia 1º de agosto de 2010 depositará
R$ 2 000,00. No dia 1º de setembro de 2010 depositará R$ 2 500,00. Se a taxa de juros é de 0,8% ao
mês, qual a quantia que ele terá no dia 1º de setembro de 2010?
(A) R$ 7 016,00.
(B) R$ 7 036,16.
(C) R$ 7 056,16.
(D) R$ 7 076,16.
(E) R$ 7 576,00.
3- (Banco do Brasil – 1999) Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofre uma
desvalorização de 20% ao ano. O seu valor, em reais, após 3 anos será:
(A) 10.240,00
(B) 8.192,00
(C) 6.553,60
(D) 5.242,88
(E) 4.194,30
4- (CEF – 2010) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e
iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador
correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso,
considerando-se 0,582 como valor aproximado para
, se a primeira prestação for
paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a:
(A) R$ 2.050,00.
(B) R$ 2.060,00.
(C) R$ 2.070,00.
(D) R$ 2.080,00.
(E) R$ 2.090,00.
5- (CEF – 2008) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$
100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será
resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento
é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será:
(A) 1200,00 (B) 1224,00
(C) 1241,21 (D) 1368,03
(E) 2128,81
6- (Banco do Brasil – 2012) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos
de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse
pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais,
aproximadamente:
(A) 240,00
(B) 330,00
(C) 429,00
(D) 489,00
(E) 538,00
7- (Banco do Brasil – 2008) Para a venda de notebooks, uma loja de informática oferece
vários planos de financiamento e, em todos eles, a taxa básica de juros é de 3%
compostos ao mês. Nessa situação, julgue os itens seguintes, considerando 1,2 como
valor aproximando para
.
1- Se, em uma venda, ficar acordado que o pagamento será feito de uma única vez, ao final do
6.º mês após a compra do notebook, cujo valor à vista é de R$ 3.600,00, nesse caso, no
pagamento, o cliente desembolsará mais de R$ 4.200,00.
2- Se o financiamento for feito em 6 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 720,00,
com a primeira vencendo um mês após a compra, então o montante dessa série de
pagamentos, logo após aquitação da 6.ª prestação, será superior a R$ 4.500,00.
3- Caso um cliente escolha financiar a compra de um notebook em 12 prestações
postecipadas, mensais, consecutivas e iguais a R$ 360,00, nesse caso, considerando 0,70
como valor aproximado para
, é correto concluir que o preço do notebook, à vista, é
inferior a R$ 3.800,00.
4- Se, na compra de um notebook, o financiamento for feito com base no sistema francês de
amortização, em 6 prestações postecipadas,mensais, consecutivas e iguais a R$ 900,00, e a
taxa de juros compostos cobrados nesse financiamento for de 3% ao mês, nesse caso, se a
amortização no pagamento da 1.ª prestação for igual a R$ 756,00, então a amortização no
pagamento da 2.ª prestação será superior a R$ 785,00.
5- Se, em determinado mês, a taxa de inflação foi de 1%, então, nesse mês, a taxa real de
juros de um financiamento foi superior a 2%.
(CEF – 2008) Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos
com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente
a 2% da dívida original. Sabendo-se que
e
e utilizando-se
para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo
necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida
original.
(A) 24 (B) 23,5 (C) 13 (D) 11,5 (E) 10