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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km
de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102,
também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a
R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante
120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade
Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é
a) 250.
b) 240.
c) 225.
d) 200.
e) 180.
2. Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado:
AM = 4 cm
NA = 6 cm
a) 2,4 cm
b) 2,0 cm
c) 1,6 cm
d) 1,4 cm
3. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos
pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem,
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
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A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros.
b) 4,5 metros.
c) 5 metros.
d) 5,2 metros.
e) 5,5 metros.
4. A área do quadrado assinalado na figura é igual a
a) 15
b) 20
c) 12
d) 18
e) 16
5. Na figura abaixo, O é o centro de uma circunferência que tangencia o segmento BQ no
ponto T. Considerando também que o segmento BA é perpendicular ao segmento AO, que M é
^
o ponto médio do segmento AO e que BM = 4.MT , determine a medida do ângulo TMO
6. Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa
rente à rede, a uma altura de 9 dm.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico,
considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à
rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em
metros, ela atingirá o outro lado da quadra?
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7. Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é
necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam
separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado
uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois
pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os
perceba separados, é
8. A figura abaixo representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma
Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada
por um círculo de centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC mede 24 cm e altura
relativa a esse lado mede 16 cm
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta
cinza para pintar 5400 cm2 .
Adote π
3
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o
círculo em todas as camisetas é igual a
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
9. Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D
pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa
AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE =
3
, então a área do
2
paralelogramo DECF vale
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a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
10. As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol
(FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo 18 m
de comprimento por 9 m de largura.
A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de 2,43 m
para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque,
desenhada a 3 m de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a
seguir.
Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando
sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto H,
fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto R,
tocando a quadra exatamente num ponto B, pertencente à linha de fundo do campo adversário.
Segundo as condições descritas, calcule a altura, AH, que o jogador alcançou para conseguir
fazer o ponto.
11. Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros de altura, um gavião casaca-de-couro,
no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e
parou preocupado no ponto B, bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao
chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de
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comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de
comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros
em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa
verticalmente de A para B?
12. A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR, sendo
RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm . A medida do cateto PQ, em centímetros, é
a) 7,5.
b) 8,2.
c) 8,6.
d) 9,0.
e) 9,2.
13. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse
edifício, está instalada uma antena de 20 metros.
Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu
aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas
medidas e construiu o seguinte esquema:
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• O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE ;
• o segmento AB representa a antena;
• o segmento BC representa a altura do prédio;
• ponto D pertence ao segmento CE ;
• o ponto F pertence ao segmento AE ;
• o ponto B pertence ao segmento AC ;
• os segmentos BC e FD são congruentes;
• a medida do segmento BF é 12 m;
• a medida do segmento DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros,
a) 45.
b) 50.
c) 60.
d) 65.
e) 70.
14. No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos
lados AB e AC .
O segmento MN mede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
a) 18 3 cm2
b) 24 2 cm2
c) 30 2 cm2
d) 30 3 cm2
e) 36 3 cm2
15. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma
altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da
rampa é
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Determinando o valor de k no triângulo XZP:
2
2
2
K = 120 + 160
K = 200 km.
ΔXZP  ΔXDY
200 120
2d
300
d
360
d 180km
Resposta da questão 2:
[A]
ΔMBC ΔMAN
4 x x
4x
4
6
24 6x
10x
24
x
12
5
Portanto, x = 2,4.
Resposta da questão 3:
[D]
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Traçando DF  AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA.
Se HE x, vem:
x 12
x 1,2 m.
2 20
Assim, a altura do suporte em B é:
4 x 4 1,2 5,2 m.
Resposta da questão 4:
[A]
Δ1 ~ Δ2
3
x
x
5
x2
15
Logo, a área do Quadrado é 15 unid
2
Resposta da questão 5:
Os triângulos MTO e MAB são semelhantes, logo:
k
a
a
4k
a2
4k 2
a
2k .
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Logo, no triângulo MTO, temos: cos α
k
2k
1
2
α
60o .
Resposta da questão 6:
Considere a figura abaixo.
Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA.
Portanto, sabendo que AB 21dm, DE 9dm e BE 120dm, vem
AB
DE
BC
EC
21
9
120 EC
EC
7 EC 360 3 EC
EC
90 dm
9 m.
Resposta da questão 7:
[C]
1
0,005
x
15
x
15
0,005
x
3000mm 3m
Resposta da questão 8:
[A]
AC2
162 122
ΔAOD ~ ΔACM
AC 20
R
12
16 R
20
R
6
Área que será pintada.
450.3.62 48600cm2
48600
9
Número de potes =
5400
A= A
450.π.R2
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Resposta da questão 9:
[A]
2
2
2
(AC) = 4 + 3
AC = 5
3
x y 2
∆DBE ~ ∆ABC
x = 1,2 e y = 0,9
4 3 5
A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2
Logo sua área será A = 2,1. 1,2 =
Resposta
21 12
10 10
252
100
63
25
da
questão
10:
Como AC  PD, pelo Teorema de Tales segue que
AP
PB
CD
DB
AP
PB
3
9
1
.
3
Os triângulos HAB e RPB são semelhantes. Portanto,
HA
RP
AB
PB
HA
RP
AP PB
PB
HA
2,43
4
3
HA
3,24 m.
Resposta da questão 11:
Cálculo da medida da sombra da árvore.
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10,2
x
14,4
36
x
25,5m
Aplicando teorema de Tales, temos:
d
16
d 6,4m
10,2 255
Resposta da questão 12:
[A]
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos:
z2
32
52
z
4.
ΔRST ~ ΔRPQ , logo:
3
x
4
6 4
4x
30
x
7,5
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Portanto, PQ = 7,5 cm.
Resposta da questão 13:
[C]
Considerando x a altura do prédio, temos:
ΔABF ~ ΔACE
20
12
20 x 12 36
20
1
20 x 4
x 60 m
Resposta da questão 14:
[E]
AMN ~ ABC
logo, BC = 2.6 = 12
12 2 3
2
Área do ABC =
= 36 3 cm
4
Resposta da questão 15:
[D]
3,2
3,2 x
0,8
2,2
0,8(3,2 x)
2,2.3,2
x
5,6m
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
27/03/2012 às 22:22
Click - semelhança de triângulos
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1 ................. 109416 ............ Matemática ........ Insper/2012............................. Múltipla escolha
2 ................. 107065 ............ Matemática ........ Eewb/2011.............................. Múltipla escolha
3 ................. 100769 ............ Matemática ........ Ufpr/2011 ................................ Múltipla escolha
4 ................. 103960 ............ Matemática ........ Mackenzie/2011 ..................... Múltipla escolha
5 ................. 106384 ............ Matemática ........ G1 - ccampos/2011 ................ Analítica
6 ................. 106396 ............ Matemática ........ Unesp/2011 ............................ Analítica
7 ................. 100543 ............ Matemática ........ Unesp/2011 ............................ Analítica
8 ................. 104951 ............ Matemática ........ G1 - epcar (Cpcar)/2011 ........ Múltipla escolha
9 ................. 90534 .............. Matemática ........ Fuvest/2010 ............................ Múltipla escolha
10 ............... 103223 ............ Matemática ........ Ufg/2010 ................................. Analítica
11 ............... 91365 .............. Matemática ........ Fgv/2010................................. Analítica
12 ............... 95747 .............. Matemática ........ G1 - cps/2010 ......................... Múltipla escolha
13 ............... 95897 .............. Matemática ........ G1 - cps/2010 ......................... Múltipla escolha
14 ............... 97216 .............. Matemática ........ Unemat/2010 .......................... Múltipla escolha
15 ............... 90616 .............. Matemática ........ Enem/2009 ............................. Múltipla escolha
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