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Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas
1. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo
reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE  2cm,
AD  4cm e AB  5cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4
do volume da
3
pirâmide SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
2. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um
plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo
representa o cubo com a água.
Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com
área igual a 32 5 dm2 .
Determine o volume total, em dm3 , de água contida nesse cubo.
3. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a
largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%?
a) Não se altera
b) Aumenta aproximadamente 3%
c) Diminui aproximadamente 3%
d) Aumenta aproximadamente 8%
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e) Diminui aproximadamente 8%
4. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no
canto de um depósito.
Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é
de:
a) 0,513
b) 0,729
c) 0,810
d) 0,837
e) 0,864
5. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo
para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a
mesma capacidade.
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ,
perpendicular ao plano horizontal β.
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente
cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade
H
da altura do funil , , o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na
2
geratriz AB.
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:
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a)
b)
c)
d)
6. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma
esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm3 ) é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
π.
3
2
π.
3
4
π.
3
8
π.
3
3π .
7. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual
a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta
igual a 10 metros.
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório
cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere π  3 )
a) 5,76m.
b) 4, 43m.
c) 6,38m.
d) 8,74m.
8. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la
no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais
comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado
na figura.
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Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada
metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a
silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2m3 desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012
(adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
9. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as
dimensões, em centímetros, mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as
dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em
a) 14,4%
b) 20%
c) 32,0%
d) 36,0%
e) 64,0%
10. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então
podemos afirmar que
a) a altura é igual a 3 3 m.
b) a altura é igual a 3 6 m.
c) a altura é igual a 4,5 m.
27 3 3
m .
d) o volume é igual a
2
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e) o volume é igual a 18 2 m3 .
11. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela
metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro
a) é reduzido em 50%.
b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo.
d) é reduzido em 25%.
12. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de
revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra
a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a
7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.
Considerando-se π  3, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a
a) 0,212.
b) 0,333.
c) 0,478.
d) 0,536.
13. (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um
bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os
vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE,
as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,
respectivamente,
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a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes, reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
14. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou
seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade.
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
15. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de
metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa,
um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares,
conforme sugere a figura a seguir:
O volume, em dm3 , da caixa assim obtida é
a) 80x  36x2  4x3
b) 80x  36x2  4x3
c) 80x  18x2  x3
d) 80x  18x2  x3
e) 20x  9x2  x3
16. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r  3 e altura h  2 3 é iluminado pelo sol a
um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir.
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A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da
base do cone nos pontos A e B, respectivamente.
Com base nessas informações,
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo.
ˆ
b) DETERMINE o ângulo AOB.
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.
17. (Pucrj 2013) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo
arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB,
como nas figuras abaixo.
Não use aproximações para π e determine:
a) o perímetro da base do cone;
b) o raio da base do cone;
c) o volume do cone.
18. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera
em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará
a) 60%
b) 63,2%
c) 66,4%
d) 69,6%
e) 72,8%
19. (Mackenzie 2012)
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O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem
completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é
a) 64
b) 90
c) 48
d) 125
e) 100
20. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus
mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da
década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na
Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser
efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto
A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta
que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4)
deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
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e)
21. (Ufsj 2012) Se o volume de um tetraedro regular é (2 2)/3 cm3 , a medida de sua aresta
é, em centímetros:
a) 3
b) 2/3
c) 6
d) 2
22. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da
base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.
23. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem
6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre
elas é de:
a) 5,34 cm
b) 8,12 cm
c) 5,78 cm
d) 7,66 cm
e) 6,72 cm
24. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm3 , cabem exatamente três
bolas de tênis.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?
25. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre
uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja
base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
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A altura do cone formado pela areia era igual a
3
a) da altura do cilindro.
4
1
b) da altura do cilindro.
2
2
c) da altura do cilindro.
3
1
d) da altura do cilindro.
3
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF  AB e EH  AD. Portanto, segue
que o resultado pedido é dado por
[SABCD]  [ABCDHEFG] 
4
1
4 1
 [SEFGH]   SA  AE   (AE  SA)
3
3
3 3
 3  SA  9  2  4  (2  SA)
 SA  10cm.
Resposta da questão 2:
No retângulo ABCD: : 8x  32 5  x  4 5dm
No triângulo AED: (4 5)2  82  y2  y2  16  y  4
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por:
488
V
 128 dm3
2
Resposta da questão 3:
[C]
V(inicial)  a  b  c
V(final)  1,1 a  1,1 b  0,8  c  0,968  V(inicial)
V(final)  V(inicial)  0,032V(inicial) , portanto houve uma redução de aproximadamente 3%.
Resposta da questão 4:
[E]
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Volume de cada cubo em m3  V  (0,3)3  0,027m3
Total de cubos na figura: 4  4  9  4  3  32
Volume Total: 32  0,027  0,864m3
Resposta da questão 5:
[A]
Volume do cilindro: V
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi
Daí, temos:
3
H
Vi  2 
V
    Vi 
V H
8
 
 
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: V 
V 7V

, ou seja,
8
8
87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada.
Resposta da questão 6:
[D]
Considerando O o centro da esfera, temos:
No triângulo AOD, temos: AD2  12  32  AD  8cm
ΔADO  ΔABC 
8 1
4
 r 
cm
4
r
8
Portanto, o volume V do cone será dado por:
2
V
 4 
1
1
8π 3
 π  R2  h   π  
cm
 4 
3
3
3
 8
Resposta da questão 7:
[A]
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O volume de água no reservatório cônico é igual a
1
   82  9  576 m3 .
3
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será
102  h  576  h  5,76 m.
Resposta da questão 8:
[A]
Como h  2 m, segue-se que b  6  2  0,5  5 m. Logo, segue que o volume total do silo é
65
3
igual a 
  20  220 m . Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa
 2 
220
 110 toneladas.
2 m3 , podemos concluir que o resultado pedido é
2
Resposta da questão 9:
[D]
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 242  Hcm3 . Agora, sabendo que as
dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova
2
16
5

lata, temos   24   h  242  H  h 
 H  h  64%  H, isto é, a altura da lata atual deve
4

25
ser reduzida em 100%  64%  36%.
Resposta da questão 10:
[E]
A altura do tetraedro regular é igual a
63 2
6 6
 18 2 m3 .
 2 6 m, e seu volume é
12
3
Resposta da questão 11:
[A]
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como
V  π  r 2  h, segue-se que a variação percentual pedida é dada por
2
r
π     2h  π  r 2  h
2
 100%  50%,
π  r2  h
isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro.
Resposta da questão 12:
[B]
Volume da embalagem em cm : V  Vcilindro  2Vcone
3
V  π  32  15  2 
1
 π  32  4  135π  24π  111π  333cm3  0,333L
3
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Resposta da questão 13:
[E]
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB e GE são
concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco.
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG e HI são
concorrentes.
Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que
AD e GK são reversas.
Resposta da questão 14:
O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões
0,9cm  3cm  7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da
base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é
dada por
0,9  3  7,2 
3  0,6
 7,2  25,92cm3 .
2
Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm3  106 m3 , segue que a medida real da
capacidade do depósito é
25,92  5003
10
6
 3240 m3 .
Resposta da questão 15:
[A]
O volume da caixa é dado por
x  (8  2x)  (10  2x)  x  (80  16x  20x  4x 2 )
 80x  36x 2  4x3 .
Resposta da questão 16:
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a) O ΔPOT é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1)
b) No ΔPOA (figura 2), temos:
3
1
  α  60  AÔB  2α  120
2 3 2
c) Sendo A = área da sombra do cone, temos:
A  APAOB  A setor(120)
cos α 
A  2
1
π 3
 3  2 3  sen60 
2
3
2
 3 3  π.
Resposta da questão 17:
a) O perímetro da base do cone é dado por
2  6  13  (12  13) u.c.
b) Seja r o raio da base do cone. Do item (a), sabemos que o perímetro da base do cone mede
12  13. Logo,
2  r  12  13  r 
12  13
u.c.
2
c) Como CA  6 corresponde à geratriz do cone e r 
12  13
, segue que a altura do cone é
2
dada por
2
13  (24  13)
 12  13 
62  
u.c.
 
2
 2 
Portanto, o volume do cone é igual a
2
2
13  (24  13)
 12  13 
1
1  12  13 



 
  13  (24  13)  u.v.
3
2

2

24





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Resposta da questão 18:
[E]
Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos
4π
4π 3
 (1,2  r)3 
r
3
3
 100%  (1,728  1)  100%
4π 3
r
3
 72,8%,
ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.
Resposta da questão 19:
[B]
A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o
paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 36, 20)  4. Portanto, o resultado pedido
é dado por
8 36 20


 2  9  5  90.
4 4 4
Resposta da questão 20:
[C]
A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.
Portanto, alternativa [C] está correta.
Resposta da questão 21:
[D]
Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a:
V
a3 2
12
a3 2 2 2

 a3  8  a  2
12
3
Resposta da questão 22:
[D]
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Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
Queremos calcular a medida do ângulo VMO.
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que
2
AB  VM
 2  AB
2
 VM  AB.
A  2  Ab  4 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos
AB
cos VMO 
 cos VMO  2
VM
AB
1
 cos VMO 
2
OM
 cos VMO  cos 60
 VMO  60.
Resposta da questão 23:
[E]
π.32.x  π.42.y
9x  16y
 9x  16y
resolvendo o sistema 
,x  15,36 e y  8,64
 x  y  24
fazendo x  y,temos: 15,36  8,64  6,72.
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Resposta da questão 24:
a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.
Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h  6r, temos
πr 2  6r  5175  r 3 
1725
.
2π
Daí, segue que o volume de cada bola é igual a
4
4 1725
π  r3  π 
3
3
2π
 1150cm3 .
Portanto, o resultado é 5175  3  1150  1725cm3 .
b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é
3450 2
 .
5175 3
Resposta da questão 25:
[A]
Como o volume de areia é o mesmo, segue que:
1
1
2
2
   rcon
 hcon    rcil
 hcil   (2R)2  hcon  R2  hcil
3
3
3
 hcon   hcil.
4
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
28/04/2015 às 19:48
Pris.
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 135922 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha
2 ............. 137067 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica
3 ............. 135427 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
4 ............. 135445 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
5 ............. 132710 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha
6 ............. 134945 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2015 ........... Múltipla escolha
7 ............. 137587 ..... Baixa ............. Matemática ... Uemg/2015 .......................... Múltipla escolha
8 ............. 135547 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014........................... Múltipla escolha
9 ............. 135574 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014........................... Múltipla escolha
10 ........... 131036 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2014 ................... Múltipla escolha
11 ........... 128174 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha
12 ........... 131151 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha
13 ........... 120722 ..... Baixa ............. Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha
14 ........... 125952 ..... Média ............ Matemática ... Fgv/2013 .............................. Analítica
15 ........... 121147 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgvrj/2013 ............................ Múltipla escolha
16 ........... 123863 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufmg/2013 ........................... Analítica
17 ........... 121535 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2013 ............................ Analítica
18 ........... 125940 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2013 .............................. Múltipla escolha
19 ........... 111846 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2012 ................... Múltipla escolha
20 ........... 127157 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 ................... Múltipla escolha
21 ........... 117313 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2012 .............................. Múltipla escolha
22 ........... 115721 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2012 .......................... Múltipla escolha
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23 ........... 114756 ..... Média ............ Matemática ... Espm/2012 ........................... Múltipla escolha
24 ........... 109838 ..... Média ............ Matemática ... Fgvrj/2012 ............................ Analítica
25 ........... 100784 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2011 ...................... Múltipla escolha
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