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1. (Insper 2012) De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro,
como exemplificado para um dos vértices do prisma desenhado a seguir.
O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das
três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro
obtido depois de terem sido retirados todos os tetraedros é
a) 24.
b) 20.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
2. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura
mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões
20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de
catetos de medida 1cm.
a) Calcule o volume da embalagem.
1
(um quinto) quando passa
5
do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse
sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não
transborde?
b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em
3. (Uerj 2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de
paralelepípedos retângulos semelhantes.
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Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área
total do maior pacote e a do menor é igual a:
a) 3 3
b) 3 4
c) 6
d)
8
4. (Uff 2012) O sistema de tratamento da rede de esgoto do bairro de lcaraí, em Niterói, tem a
capacidade de processar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 0,985 metros cúbicos de
esgoto por segundo.
Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tratamento processe o volume de
esgoto correspondente ao volume de uma piscina olímpica de 50 metros de comprimento, 25
metros de largura e 2 metros de profundidade, é correto afirmar que o valor de T está mais
próximo de
a) 3 segundos.
b) 4 minutos.
c) 1
hora.
2
d) 40 minutos.
e) 1 dia.
5. (Unicamp simulado 2011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada
entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.
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Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa
a) 1728 litros de água.
b) 1440 litros de água.
c) 1000 litros de água.
d) 572 litros de água.
6. (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura
abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm.
Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
2
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m e que
3 = 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
a) 0,50
b) 0,95
c) 1,50
d) 1,85
7. (Unicamp 2011) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de
figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da
figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no
topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3.
Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para
simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do
papel.
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a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine
as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção.
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua
profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função
das dimensões x e y da folha usada em sua produção.
8. (Ifsp 2011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a
base de um cilindro reto de altura 6 3 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a
medida, em centímetros, da altura da pirâmide é
a) 9π.
b) 12π.
c) 15π.
d) 18π.
e) 24π.
9. (Ita 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12
10
cm e a aresta da base mede
3cm. . Então o raio da esfera, em cm, é igual a
3
10
a)
3.
3
13
b)
.
3
15
.
4
d) 2 3.
10
e)
.
3
c)
10. (Fgv 2011) Após t horas do inicio de um vazamento de óleo de um barco em um oceano,
constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo
30 0,5
cujo raio r varia com o tempo t mediante a função r ( t ) =
t metros. A espessura da
π
mancha ao longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a área ocupada pelo barco na
mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4
horas e t = 9 horas foi de:
3
a) 12,5m
3
b) 15m
3
c) 17,5m
3
d) 20m
3
e) 22,5m
11. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas
pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é
importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar
para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três
vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O
excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de
se alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem
formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de
água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3 )
a) 20 mL.
b) 24 mL.
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c) 100 mL.
d) 120 mL.
e) 600 mL.
12. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre
uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja
base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
A altura do cone formado pela areia era igual a
3
a) da altura do cilindro.
4
1
b) da altura do cilindro.
2
2
c) da altura do cilindro.
3
1
d) da altura do cilindro.
3
13. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m
de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e
soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo.
Sendo 3
a) 2,40 m
b) 2,80 m
c) 3,20 m
d) 3,40 m
e) 3,60 m
≅ 1,73 , a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a:
14. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes.
Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos
diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a
variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve
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ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do
Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %.
Dessa forma, é correto afirmar que
a) x ∈ [5,6).
b) x ∈ [2,3).
c) x = 1.
d) x ∈ [3,4).
e) x ∈ [4,5).
15. (Uerj 2011) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material
homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre
o volume submerso e o volume do sólido será igual a:
1
a)
2
3
b)
4
5
c)
6
7
d)
8
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de
um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de
seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.
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16. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo
ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento l .
O volume desse sólido é igual a
a)
4 πS 2
.
3l
2πS2
.
3l
4πSl
c)
.
3
2πSl
d)
.
3
πSl
e)
.
3
b)
17. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus
convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha
culminou na quebra de grande parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2).
No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse
igual.
Considere:
4
1
Vesfera = − π R3 e Vcone = π R2h
3
3
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Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do
volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
a) 1,33.
b) 6,00.
c) 12,00.
d) 56,52.
e) 113,04.
18. (Uerj 2010) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de
hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o
recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
19. (Uff 2010) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler
estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro
do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com
as razões harmônicas dos poliedros regulares.
A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio
da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém
todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada
uma das faces do poliedro.
A razão harmônica de qualquer cubo é igual a:
a) 1
b) 2
c) 2
d)
e)
3
3
2
20. (Uerj 2010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza
circular que tangencia as faces do prisma.
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Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida
do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a:
a) 2 2
3 2
4
2 +1
c)
2
d) 2 2 − 1
b)
(
)
21. (Uerj 2009) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis
faces numeradas de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de
cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo.
Considerando π= 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das
semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a:
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
22. (Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), construído em plástico inflável, cujos
vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.
A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada
face do icosaedro.
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície
de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na
figura 2.
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova
estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. (Fig. 3)
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O número de arestas dessa estrutura é igual a:
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
23. (Ufjf 2007) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo.
O número de vértices deste poliedro é:
a) 12.
b) 14.
c) 16.
d) 20.
e) 22.
24. (Uerj 2002) Leia os quadrinhos:
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Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao
do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um
paralelepípedo retângulo.
3
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm , igual
a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
O prisma triangular regular possui 12 vértices e oito faces. Acrescentando-se uma nova face
em cada vértice, teremos um total de 8 + 12 = 20 faces.
Resposta da questão 2:
a) Área da base (área do retângulo menos 4 vezes a área do triângulo):
A = 20 ⋅ 10 − 4 ⋅
1⋅ 1
2
A = 198cm2
Portanto, seu volume será:
V = 198 ⋅ 10 = 1980cm3
b) x = volume inicial do sorvete líquido
Portanto,
x
x + = 1980
5
6
⋅ x = 1980 ⇔ x = 1650cm3
5
Resposta da questão 3:
[B]
A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é
k = 32;
A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas
2
dos pacotes é k 2 = 3 2 = 3 4 .
Resposta da questão 4:
[D]
3
Volume da piscina em m = 50.25.2=2500m
2500
Loto T =
; 2538s ; 40min
0,985
3
Resposta da questão 5:
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[A]
ΔCDE − ΔCAB
1,5 − x x
= ⇔ 1,5 x = 9 − 6 x ⇔ 7,5 x = 9 ⇔ x = 1,2m
1,5
6
3
3
Logo V = (1,2) = 1,728m = 1728L
Resposta da questão 6:
[B]
Área do pentágono = área do triângulo maior (lado 30) menos duas vezes a área do triângulo
menor (lado 10)
A=
30 2 . 3 2.10 2 . 3 900 3 − 200 3
−
=
= 175 3
4
4
4
2
Área da superfície da caixa: A = 2. 175 3 + (10 + 10 + 20 + 20 + 10).5 = 955,5 cm = 0,09555
2
m.
2
Como o m de papelão custa 10 reais, o valor de cada caixa será aproximadamente R$ 0,95.
Resposta da questão 7:
a) Considere a figura.
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Sabendo que a profundidade da caixa mede 2l = 7cm, temos que:
y = 20 + 2l = 20 + 7 = 27cm.
Por outro lado, a dimensão x é o perímetro da base da caixa final, ou seja,
x = 2 ⋅ (7,2 + 2l ) = 2 ⋅ (7,2 + 7) = 28,4cm.
b) De forma análoga ao item (a), temos que a aresta da base da caixa final é
x
cm e sua altura
4
x ⎞
⎛
vale ⎜ y − ⎟ cm. Portanto, o volume da caixa final em função das dimensões x e y é dado
4 ⎠
⎝
2
x ⎞ x 2 ⎛
x ⎞
⎛ x ⎞ ⎛
por: ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ y − ⎟ =
⋅ ⎜ y − ⎟ cm3 .
4 ⎠ 16 ⎝
4 ⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝
Resposta da questão 8:
[B]
A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência.
Logo, temos
1 6.r 2 . 3
.h = π.r 2 .6 3 ⇔ h = 12π
3 4
Resposta da questão 9:
[E]
Aresta da base a =
10 3 3
.
=5
3
2
Por semelhança de triângulos, temos
12 − r r
= ⇔ r = 10 / 3cm
13
5
Resposta da questão 10:
[E]
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A mancha de óleo tem a forma de um cilindro circular reto de raio r(t) e altura 0,5cm. Logo, se
V(t) indica o volume de óleo, em m3 , que vazou até o instante t, t em horas, segue que
V(t) = π ⋅ [r(t)]2 ⋅ 0,005
2
⎛ 30 0,5 ⎞
= π ⋅ ⎜
t ⎟ ⋅ 0,005
⎝ π
⎠
= 4,5t.
Portanto, o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de
V(9) − V(4) = 4,5 ⋅ 9 − 4,5 ⋅ 4 = 4,5 ⋅ (9 − 4) = 22,5 m3.
Resposta da questão 11:
[C]
Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo.
De acordo com o texto, temos:
Volume de água = 5x
Volume de água = x
Volume do copo = π.22.10 = 3.22.10 = 120cm3
Então x + 5x = 120 ⇔ 6x = 120 ⇔ x = 20cm3
Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm3 = 100 mL.
Resposta da questão 12:
[A]
Como o volume de areia é o mesmo, segue que:
1
1
2
2
⋅ π ⋅ rcon
⋅ hcon = π ⋅ rcil
⋅ hcil ⇔ ⋅ (2R)2 ⋅ hcon = R2 ⋅ hcil
3
3
3
⇔ hcon = ⋅ hcil.
4
Resposta da questão 13:
[C]
Considere a figura abaixo.
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Queremos calcular h = PO' = OO' − OP.
Temos que O' A =
4
AD 10
=
= 5 m e OB = = 2 m = O'C.
2
2
2
Logo, AC = O' A − O'C = 5 − 2 = 3 m.
ˆ = BC ⇔ BC = 3 ⋅ tg60° = 3 3 ≅ 3 ⋅ 1,73 = 5,19 m.
Do triângulo ABC, vem que tgBAC
AC
Portanto, h = 5,19 − 2 = 3,19 ≅ 3,20 m.
Resposta da questão 14:
[D]
O volume (V) de uma esfera, em função do seu diâmetro (D), é dado por
V=
π 3
⋅D .
6
Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa esfera passa a valer
π
π
V ' = ⋅ (1,01⋅ D)3 = 1,030301⋅ ⋅ D3 = 1,030301⋅ V.
6
6
{
V
Portanto,
x% =
1,030301⋅ V − V
0,030301⋅ V
⋅ 100% =
≅ 3,03% ∈ [3, 4).
V
V
Resposta da questão 15:
[D]
Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma geratriz do sólido. Segue que
g 1
= = k,
G 2
com k sendo a constante de proporcionalidade.
Assim, se v é o volume emerso e V é o volume do sólido, temos
3
v
v ⎛ 1 ⎞
1
V
= k 3 ⇒ = ⎜ ⎟ = ⇒ v = .
V
V ⎝ 2 ⎠
8
8
Seja Vs o volume submerso.
Vs = V − v = V −
V 7V
=
.
8
8
Portanto, a razão pedida é
7V
Vs
7
= 8 = .
V
V
8
Resposta da questão 16:
[A]
Uma rotação completa do triângulo ABC em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido
abaixo, constituído de dois cones.
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Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que
(ABC) =
l ⋅r
2S
=S⇔r =
.
2
l
Portanto, o volume pedido é dado por
1
1
1
⋅ πr 2 ⋅ x + ⋅ πr 2 ⋅ (l − x) = ⋅ πr 2 ⋅ (x + l − x)
3
3
3
1
= ⋅ πr 2 ⋅ l
3
2
=
1
⎛ 2S ⎞
⋅ π ⋅ ⎜
⎟ ⋅ l
3
⎝ l ⎠
=
4πS2
.
3l
Resposta da questão 17:
[B]
2
1
.π.33 = π.32.h ⇔ 3h = 18 ⇔ h = 6cm
3
3
Resposta da questão 18:
[B]
1 2
πr ⋅ 12 cm3 , em que r é o raio do cone menor
3
1
definido pelo nível do líquido. O recipiente tem volume igual a πR2 ⋅ H cm3 , em que R é o
3
raio do recipiente e H é a sua altura.
A solução inicial ocupa um volume igual a
Como os cones são semelhantes, segue que:
r 12
12R
=
⇔r =
.
R H
H
Por outro lado, do enunciado vem:
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2
1
1
⎛ 12R ⎞
2
27% ⋅ πr 2 ⋅ 12 = 8% ⋅ πR2 ⋅ H ⇒ 27 ⋅ ⎜
⎟ ⋅ 12 = 8 ⋅ R ⋅ H
3
3
H
⎝
⎠
⇒ H3 =
33 ⋅ 123
23
3 ⋅ 12
⇒H=
2
⇒ H = 18cm.
Resposta da questão 19:
[D]
r=
a 3
a
e R=
2
2
R
=
r
a 3
2 =a 3
a
22
Resposta da questão 20:
[C]
Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma e o ponto médio de
uma das arestas adjacentes ao vértice A.
Queremos calcular
OM
.
2 ⋅ MA
ˆ = 180° = 22°30'.
MOA
8
ˆ = tg22°30'
tgMOA
=
1 − cos 45°
1 + cos 45°
2
2
2 = 2 − 2 = (2 − 2) = 2 − 2 = 2 − 1.
=
2
2
2+ 2
2
1+
2
1−
ˆ = MA ⇔ 2 − 1 = MA
tgMOA
OM
OM
⇔
OM
1
2 +1
=
⋅
= 2 + 1.
MA
2 −1 2 +1
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Portanto,
OM 1 OM
2 +1
= ⋅
=
.
2
2MA 2 MA
Resposta da questão 21:
[D]
Resposta da questão 22:
[B]
Resposta da questão 23:
[A]
Resposta da questão 24:
[D]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
03/06/2012 às 19:11
pvn_aulao
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1 .................. 109414 ............ Matemática ........ Insper/2012 ............................. Múltipla escolha
2 .................. 112348 ............ Matemática ........ Ufjf/2012 ................................. Analítica
3 .................. 107967 ............ Matemática ........ Uerj/2012 ................................ Múltipla escolha
4 .................. 109143 ............ Matemática ........ Uff/2012 .................................. Múltipla escolha
5 .................. 94271 .............. Matemática ........ Unicamp simulado/2011 ......... Múltipla escolha
6 .................. 95126 .............. Matemática ........ Uerj/2011 ................................ Múltipla escolha
7 .................. 102011 ............ Matemática ........ Unicamp/2011 ........................ Analítica
8 .................. 102042 ............ Matemática ........ Ifsp/2011 ................................. Múltipla escolha
9 .................. 101538 ............ Matemática ........ Ita/2011 ................................... Múltipla escolha
10 ................ 100046 ............ Matemática ........ Fgv/2011 ................................. Múltipla escolha
11 ................ 108706 ............ Matemática ........ Enem/2011 ............................. Múltipla escolha
12 ................ 100784 ............ Matemática ........ Unicamp/2011 ........................ Múltipla escolha
13 ................ 103885 ............ Matemática ........ Espm/2011 ............................. Múltipla escolha
14 ................ 100668 ............ Matemática ........ Uff/2011 .................................. Múltipla escolha
15 ................ 99055 .............. Matemática ........ Uerj/2011 ................................ Múltipla escolha
16 ................ 102944 ............ Matemática ........ Insper/2011 ............................. Múltipla escolha
17 ................ 100307 ............ Matemática ........ Enem/2010 ............................. Múltipla escolha
18 ................ 97347 .............. Matemática ........ Uerj/2010 ................................ Múltipla escolha
19 ................ 91296 .............. Matemática ........ Uff/2010 .................................. Múltipla escolha
20 ................ 97341 .............. Matemática ........ Uerj/2010 ................................ Múltipla escolha
21 ................ 86591 .............. Matemática ........ Uerj/2009 ................................ Múltipla escolha
22 ................ 77062 .............. Matemática ........ Uerj/2008 ................................ Múltipla escolha
23 ................ 75300 .............. Matemática ........ Ufjf/2007 ................................. Múltipla escolha
24 ................ 40104 .............. Matemática ........ Uerj/2002 ................................ Múltipla escolha
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