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Função Quadrática aula 4 feira
1. Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões
estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau
menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y  f(x), da seguinte maneira:
- A nota zero permanece zero.
- A nota 10 permanece 10.
- A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y  f(x) a ser utilizada pelo professor é
1 2 7
x  x.
25
5
1
y   x2  2x.
10
1 2 7
y
x 
x.
24
12
4
y  x  2.
5
y  x.
a) y  
b)
c)
d)
e)
2. A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do
t2
 400, com
4
t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o
forno atinge a temperatura de 39°.
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t)  
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa
ser aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
e) 39,0
3. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo
z, conforme mostra a figura.
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A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
3
f(x)  x 2  6x  C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros.
2
Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
4. Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam
consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre
sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo
de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação
entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por
ele?
a)
b)
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c)
d)
e)
5. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram
vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48,
foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em
R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
2
a) V = 10.000 + 50x – x .
2
b) V = 10.000 + 50x + x .
2
c) V = 15.000 – 50x – x .
2
d) V = 15.000 + 50x – x .
2
e) V = 15.000 – 50x + x .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez
é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e
diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras
palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que
conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato.
6. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a
máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de
pessoas igual a:
a) 11.000.
b) 22.000.
c) 33.000.
d) 38.000.
e) 44.000.
7. A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação
2
de cada unidade é dado por 3x + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x −
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116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas
unidades precisa vender para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do
maior lucro é
a) 10
b) 30
c) 58
d) 116
e) 232
8. O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a
R$10,00, sempre contava com 1.000 pessoas a cada apresentação, faturando R$10.000,00
com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir de R$10,00, a cada
R$2,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a
menos.
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e
F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em
função do número de pessoas é dada por:
a) F 
P2
 60P
20
b) F 
P2
 60P
20
c) F  P2  1200P
d) F 
P2
 60
20
e) F  P2  1220P
9. Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades
2
variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x + 12x − 20, onde x representa a
quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de
empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes
devem conter uma quantidade de bonés igual a
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 10.
e) 14.
10. O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição
a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas
aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos
competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual
as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada,
subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de
moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação
calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova
seria o participante que alcançasse a maior pontuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?
a) 0
b) 25
c) 50
d) 75
e) 100
11. O conjunto imagem da função real y  2x2  3x  4 são os valores reais de y tal que
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a) y  2,875
b) y  2,875
c) y  2,875
d) y  2,875
12. Considere dois anéis com raios a e b, sendo b > a. No instante t = 0, os dois anéis se
encontram com seus centros na origem. Sabendo-se que as acelerações dos anéis são a1 e
a2 e que ambos partem do repouso, a distância que o centro do anel menor percorrerá até que
sua extremidade toque no anel maior será de:
a) a1(b  a)/(a1  a2 )
b) a1(b  a)/(a1  a2 )
c) a1(b  a)/(a1  a2 )
d) a1(b  a)/(a1  a2 )
13. Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular,
conforme figura abaixo.
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim
para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente,
a) 2,0 m e 4,5 m.
b) 3,0 m e 4,0 m.
c) 3,5 m e 5,0 m.
d) 2,5 m e 7,0 m.
14. Considere um retângulo com dimensões x e y e perímetro de 200 metros.
a) Expresse a área desse retângulo em função da medida x.
b) Esboce o gráfico da função área em função da medida x.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
O lucro de uma empresa é dado pela relação R = L + C, em que L é o lucro, R é a receita e C é
o custo de produção. Numa empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que
2
2
C(x) = 2x + 2500x + 3000 e R(x) = x + 7500x + 3000.
15. Quantas unidades essa empresa deve produzir para obter o maior lucro possível?
16. Esboce o gráfico da função L.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Seja f : [0, 10]  [0, 10], com f(x)  ax 2  bx  c. Desse modo, temos
f(0)  0
c 0
f(5)  6  25a  5b  6
f(10)  10
100a  10b  10
a
7
5
c0
 b
1
25
.
Portanto, segue que f(x)  
1 2 7
x  x.
25
5
Resposta da questão 2:
[D]
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem T(t)  39. Desse modo,
39  
t2
t2
 400 
 361
4
4
 t  4  361
 t  38min.
Resposta da questão 3:
[E]
A abscissa do vértice da parábola y 
3 2
( 6)
x  6x  C é igual a 
 2.
3
2
2
2
Por outro lado, sabendo que o vértice da parábola pertence ao eixo das ordenadas, temos:
Δ
yv  
0
4a
( 6)2  4 
4
3
C
2
3
2
 6C  36  0
 C  6.
Portanto, segue-se que o resultado pedido é f(0)  C  6 cm.
Resposta da questão 4:
[D]
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P  r  i2
P  k E
k  E  r  i2  E 
r.i2
k (como r e kA são constantes reais, temos uma função do segundo grau
na variável i).
Portanto, o melhor gráfico para que representa a relação pedida é o da alternativa [D].
Resposta da questão 5:
[D]
V= (1,5 –x/10). (1000 + 100x)
2
V = 15000 + 50x – x
Resposta da questão 6:
[B]
Determinando o x do vértice temos:
xV  
b
44000k

 22000
2a
2.( k)
Resposta da questão 7:
[B]
2
Vamos admitir que 3x + 232 seja o custo de produção de x unidades e que 180x – 116 seja o
valor de venda destas x unidades. Considerando que L(x) seja a função do lucro, temos:
2
L(X) = 180x – 116 – (3x + 232)
2
L(x) = -3x + 180x - 348
Determinando o x vértice, temos o valor de x para o qual o lucro é máximo:
b 180

 30
XV =
2a 2.(3)
Obs: O enunciado está confuso.
Resposta da questão 8:
[A]
Sejam v o valor da entrada e n o número de aumentos de R$ 2,00. Logo,
v  10  2  n  n 
v  10
.
2
Assim, temos
P  1000  40  n
v  10
 1000  40 
2
 1200  20v.
O que implica em v  60 
P
e, portanto,
20
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P 
P2

F   60 

P


 60P.
20 
20

Resposta da questão 9:
[B]
Determinando o valor do x do vértice, temos:
xV 
12
6
2  ( 1)
Resposta da questão 10:
[B]
Considerando x o numero de moedas douradas coletadas, a pontuação seria dada por:
P(x)  x 
x
x2
 x  P(x)  
x
100
100
Logo, o valor máximo de P(x) será dado por:
Δ
1
Pmáximo  

 25.
4a
 1 
4

 100 
Portanto, o limite de pontos que um competidor poderá alcançar nesta prova é 25.
Resposta da questão 11:
[D]
Calculando o valor da ordenada do vértice, temos:
yV  
32  4   2    4 
Δ

 2.875
4a
4   2 
A parábola terá concavidade para baixo, pois o coeficiente do termo de segundo grau é
negativo. Portanto, o conjunto imagem será dado por:
lm  {y   | y  2,875}
Resposta da questão 12:
[A]
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1

2
S A  a  2  a1  t
2.(b  a)
 t2 

a1  a2
S  b  1  a  t 2
2
 b
2
1
SC   a1.t 2
2
1
2.(b  a)
SC   a1 
2
a1  a2
SC  a1 
(b  a)
a1  a2
Resposta da questão 13:
[A]
Utilizando semelhança de triângulos temos:
4x y
9x  36
.
 y
4
9
4
Calculando a função da área, temos:
A x  x  y
A  x   x.
A x 
9x  36
4
9x 2  36x
4
Determinando o x do vértice, temos:
36

4 2
xv 
 9
2.   
 4
Portanto, x = 2 e y 
36  9.2
 4,5
4
Logo, as dimensões do jardim são 2m e 4,5m.
Resposta da questão 14:
a) Se o perímetro do retângulo mede 200 metros, então:
2  (x  y)  200  y  100  x,
com 0  x  100.
Logo, a área A do retângulo, em função de x, é dada por
A(x)  x  (100  x),
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com 0  x  100.
b) Considere o gráfico abaixo.
Resposta da questão 15:
2500 unidades.
Resposta da questão 16:
2
L(x) = R(x) - C(x) = - x + 5000x, com x ≥ 0.
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
26/08/2015 às 21:08
Funçao Quadrática 4 feira
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 135568 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2014........................... Múltipla escolha
2 ............. 128070 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2013........................... Múltipla escolha
3 ............. 128016 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2013........................... Múltipla escolha
4 ............. 122090 ..... Média ............ Matemática ... Enem/2012........................... Múltipla escolha
5 ............. 90619 ....... Elevada ......... Matemática ... Enem/2009........................... Múltipla escolha
6 ............. 35216 ....... Baixa ............. Matemática ... Enem/2000........................... Múltipla escolha
7 ............. 91852 ....... Média ............ Matemática ... Enem cancelado/2009 ......... Múltipla escolha
8 ............. 131548 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2013 ................... Múltipla escolha
9 ............. 131525 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2013 ................... Múltipla escolha
10 ........... 127148 ..... Elevada ......... Matemática ... Enem PPL/2012 ................... Múltipla escolha
11 ........... 138116 ..... Média ............ Matemática ... Ueg/2015 ............................. Múltipla escolha
12 ........... 109920 ..... Média ............ Matemática ... Ueg/2012 ............................. Múltipla escolha
13 ........... 109917 ..... Média ............ Matemática ... Ueg/2012 ............................. Múltipla escolha
14 ........... 120463 ..... Baixa ............. Matemática ... Ueg/2011 ............................. Analítica
15 ........... 83449 ....... Não definida .. Matemática ... Ueg/2008 ............................. Analítica
16 ........... 83448 ....... Não definida .. Matemática ... Ueg/2008 ............................. Analítica
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