EXERCÍCIOS – PRODUTO ESCALAR I
1.
(⋆) Determine o produto escalar entre os vetores: (p. 121)
a. 𝑢
⃗ = (6, −1) e 𝑣 = (6, 2).
𝑢
⃗ . 𝑣 = (6, −1). (6, 2)
= 6.6 + (−1). 2
= 36 − 2
𝑢
⃗ . 𝑣 = 34
b. 𝑢
⃗ = (−5,6,0) e 𝑣 = (−7, −10, −4).
𝑢
⃗ . 𝑣 = (−5,6,0). (−7, −10, −4)
= (−5). (−7) + 6. (−10) + 0. (−4)
= 35 − 60 + 0
𝑢
⃗ . 𝑣 = −25
1
2
1
2
c. 𝑢
⃗ = (12,0,3) e 𝑣 = (4, , − )
1 1
𝑢
⃗ . 𝑣 = (12,0,3). (4, , − )
2 2
1
1
= 12.4 + 0. + 3. (− )
2
2
3
= 48 + 0 −
2
93
𝑢
⃗ .𝑣 = −
2
d. 𝑢
⃗ = 2𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘⃗ e 𝑣 = −10𝑖 + 1𝑗 + 5𝑘⃗.
𝑢
⃗ . 𝑣 = (2,2, −5). (−10,1, 5)
= 2. (−10) + 2.1 + (−5). 5
= −20 + 2 − 25
𝑢
⃗ . 𝑣 = −43
e. 𝑢
⃗ = 3𝑖 − 1𝑗 e 𝑣 = (2, −2,1).
𝑢
⃗ . 𝑣 = (3, −1,0). (2, −2, 1)
= 3.2 + (−1). (−2) + 0.1
= 6+2+0
𝑢
⃗ .𝑣 = 8
2. (⋆⋆) Sendo 𝑢
⃗ = (5, −1, 10), 𝑣 = (2, 7, 1) e 𝑤
⃗⃗ = (5, −2, 2), calcule:
a. 5. 𝑢
⃗ . 𝑣 + 5. 𝑣 . 𝑤
⃗⃗
b. 𝑣 . 5. 𝑢
⃗ +𝑤
⃗⃗ . 𝑣 . 5
c. 5. 𝑣 . (𝑢
⃗ +𝑤
⃗⃗ )
Todas as três equações são iguais, somente estão escritas de forma diferente. A resposta para todas é 55.
3. (⋆⋆) No movimento circular, a componente tangencial da aceleração é dada por:
𝑎𝑡 = 𝑎. 𝑣̂
Se 𝑎 = −1𝑖 + 11𝑗 + 3𝑘⃗ m/s2 e 𝑣 = 1𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘⃗ m/s, determine o valor da aceleração tangencial do
móvel. (obs: repare que é dado o vetor velocidade 𝑣 , enquanto que na fórmula, utiliza-se o versor de 𝑣 )
Primeiro calculamos o versor do vetor 𝑣 .
𝑣̂ =
𝑣
(1, −2,2)
(1, −2,2)
(1, −2,2)
=
=
=
|𝑣 | √12 + (−2)2 + 22 √1 + 4 + 4
√9
1 2 2
𝑣̂ = ( , − , )
3 3 3
Então, aplicamos a fórmula da aceleração tangencial:
1 2 2
𝑎𝑡 = (−1,11,3). ( , − , )
3 3 3
1 22
𝑎𝑡 = (− , − , 2) 𝑚/𝑠2
3
3
4. (⋆⋆) A componente radial da força elétrica é dada por:
𝐹𝑟 = 𝑞. 𝐸⃗. 𝑟̂1,2
onde q é a carga, 𝑟̂1,2 é o versor do vetor:
𝑟1,2 = 𝑟2 − 𝑟1
que é a distância entre a carga q e a fonte do campo elétrico 𝐸⃗. Sendo a força dada no sistema CGS (ou seja, em
dina), calcule a força elétrica, quando 𝑞 = 2 𝑒𝑠𝑢 , 𝐸⃗ = (100, 50, 10) 𝑑𝑖𝑛𝑎⁄𝑒𝑠𝑢. 𝑐𝑚 , 𝑟1 = (1,1,0) 𝑐𝑚 e
𝑟2 = (2,5,1) 𝑐𝑚.
Começamos calculando a diferença entre os vetores 𝑟2 e 𝑟1:
𝑟1,2 = 𝑟2 − 𝑟1 = (2,5,1) − (1,1,0) = (1,4,1)
Depois calculamos o versor de 𝑟1,2 :
𝑟̂1,2 =
𝑟1,2
|𝑟1,2 |
=
(1,4,1)
√12
+ 42
+
12
=
(1,4,1)
√18
=(
√18 2√18 √18
,
,
)
18
9
18
A partir do qual obtemos a componente radial da força elétrica:
𝐹𝑟 = 𝑞. 𝐸⃗ . 𝑟̂1,2 = 2. (100, 50, 10) (
= 2(
√18 2√18 √18
,
,
)
18
9
18
100√18 100√18 10√18
100√18 200√18 10√18
,
,
)=(
,
,
)
18
9
18
9
9
9
𝐹𝑟 = (
100√18 200√18 10√18
,
,
) 𝑑𝑖𝑛𝑎
9
9
9