Prof. A.F.Guimarães Questões Cinemática 6 – Vetores e Cinemática Vetorial x:
Questão 1 3f
f
=
2
2
3f f
C + Bsen300 = f + fsen300 = f + =
2
2
0
0
Rx = A + Dcos 60 − (C + Bsen30 ) = 0.
G G G G
(UnB) Quatro vetores, A, B, C , D iguais em módulos e representando uma certa grandeza física, estão dispostos no plano (x,y) como mostra a figura (α = 300 e β = 600). y G
B
α G
G
x β A
C
G
D
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). G G G G G
A( ). A + B + C + D = 0 . G G G G
B( ). O resultado de A + B + C + D só pode ser nulo se os vetores coincidirem com os semi‐eixos x e y. G G
G G
C( ). A + B − C = 0 . G G G G
D( ). A + B = D + C . G G
G G
E( ). B + C = − D + A . G G
G
G G
F( ). A + C − B + D ≠ 0 G
G
G
G
G( ). A soma dos módulos A + B + C + D é (
(
A + Dcos 600 = f + fcos 600 = f +
f 3
2
f 3
0
B cos 60 =
2
0
Ry = B cos 60 − Dsen600 = 0.
Dsen600 =
Verdadeiro. B) Falso. C) Falso (vide item A). G G
G G
D) Falso. A + B = − D + C . (
)
E) Verdadeiro. F) Falso (vide item A). G
G
G
G
G) Falso: A + B + C + D = 4 f . H) Verdadeiro (vide item A). )
(
) (
y:
Questão 2 (MACK) A resultante de dois vetores perpendiculares entre si tem módulo igual a 20 . Sabendo que o módulo de um dos vetores é o dobro do outro, calcule os módulos dos dois vetores. )
)
nula. Resolução: H( ). A soma algébrica das projeções dos quatro Considere a figura abaixo: vetores sobre o eixo x é nula. Resolução: G
G
a
A) Projetando os vetores na direção dos eixos x e r
y teremos: G
G
G
G
G
A= B=C= D= f b
G G G
Onde, r = a + b . Assim, temos para o módulo do vetor resultante r: 1 www.profafguimaraes.net instante t = 0 e com uma aceleração tangencial G
G
at , cujo módulo é constante. Sendo t o tempo e ac a aceleração centrípeta no instante t, podemos G
ac
afirmar que G é igual a: at
r 2 = a 2 + b 2 ; b = 2a
(
)
2
20
Questão 3 = a 2 + 4a 2 ⇒ 5a 2 = 20 ∴ a = 2, b = 4.
(PUC‐MG) Um móvel parte do repouso, de um ponto sobre uma circunferência de raio R, e efetua um movimento circular uniforme de período igual a 8 s. Após 18 s de movimento, seu vetor deslocamento tem módulo igual a: A( ). 0; B( ). R; C( ). 2R; D( ). 2R/3; E( ). R 2 . at2 ⋅ t
A( ).
. R
R
B( ).
. at ⋅ t 2
v2
. R
a ⋅t
D( ). t . R
a ⋅t2
E( ). t
. R
C( ).
Resolução: Considere a figura abaixo: G
r0
G ∆rG
r
Tomando o referencial no centro da circunferência, e tomando o sentido anti‐horário, podemos encontrar o vetor posição do móvel no instante 18 s. Como o período do movimento é de 8 s, em 18 s, o móvel percorre duas voltas e mais 2 s de volta que corresponde a um quarto de circunferência. Assim, o vetor deslocamento é dado por: G G G G
G G
∆r = r − r0 = r + (−r0 ) ; r = r = R.
∆r = (r 2 + r 2 ) = R 2.
Resolução: Tendo uma aceleração tangencial, partindo do repouso, um móvel terá uma velocidade tangencial, no instante t, de módulo igual a: vt = at t. Assim, teremos: vt2
G
ac
at2t 2 at t 2
R
=
=
. G =
at
at
at R
R
Letra “E”. Questão 5 (FESP) Em determinado instante, o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula são os representados na figura abaixo. 10m ⋅ s−1
4, 0m ⋅ s−2
600
Letra “E”. Questão 4 (ITA) Uma partícula descreve um movimento circular de raio R, partindo do repouso no 2 www.profafguimaraes.net Qual dos pares oferecidos representa, no instante considerado, os valores da aceleração escalar α e do raio de curvatura R da trajetória? A( ). α = 4,0 m s ‐2 e R 0. B( ). α = 4,0 m s ‐2 e R ∞. C( ). α = 2,0 m s ‐2 e R 29 m. D( ). α = 2,0 m s ‐2 e R 2,9 m. E( ). α = 3,4 m s ‐2 e R 29 m. a) quanto tempo leva o barco para atravessar o rio? b) ao completar a travessia, qual é o deslocamento do barco na direção das margens? Resolução: a) Como a velocidade do barco é de 2 km h ‐1, o tempo de travessia é dado por: d
4
∆t = = = 2h. vB 2
b) O deslocamento do barco na direção horizontal é dado por: ∆x = v A ⋅∆t = 0,5 ⋅ 2 = 1km. Resolução: A aceleração tangencial (cujo módulo é igual a aceleração escalar α) e a aceleração centrípeta são, respectivamente, paralela e perpendicular a velocidade instantânea. Assim sendo, podemos decompor o vetor aceleração nas referidas direções: 10m ⋅ s−1
aG ⇒ aG = α
t
t
600
4, 0m ⋅ s−2
G
acp
at = α = 4 ⋅ cos 600 = 2m ⋅ s−2 .
acp = 4 ⋅ sen600 ≅ 3,5m ⋅ s−2 .
Questão 7 (UEL) Um barco, com o motor a toda potência, percorre 60 km em 2 h, descendo um rio. Em sentido contrário, ele percorre 40 km em igual intervalo de tempo. A velocidade do barco em relação às águas e a velocidade da águas em relação às margens do rio são, respectivamente, em km h‐1, iguais a: A( ). 20 e 30. B( ). 25 e 5. C( ). 25 e 20. D( ). 30 e 5. E( ). 12,5 e 7,5. v2
Mas, acp = . Assim, R
100
∴ R ≅ 29m. 3,5 =
R
Letra “C”. Resolução: Ao longo da descida do rio, temos: ∆Sdesc 60
vba + vam =
=
= 30 . (9.1) ∆t
2
Onde vba é a velocidade do barco com relação às águas e vam é a velocidade das águas com relação às margens. Durante a subida, temos: ∆S sub 40
vba − vam =
=
= 20 . (9.2) 2
∆t
Utilizando as equações (9.1) e (9.2) temos: Questão 6 (FUVEST) Um barco atravessa um rio de margens paralelas de largura d = 4 km. Devido à correnteza, a componente da velocidade do barco ao longo das margens é vA = 0,5 km h‐1 em relação às margens. Na direção perpendicular às margens, a componente da velocidade é vB = 2 km h‐1. Pergunta‐se: 3 www.profafguimaraes.net Com o vento soprando na direção perpendicular à linha que liga as cidades A e B, o avião deve mudar a direção de sua velocidade de tal forma que ele não sofra nenhum deslocamento na perpendicular à linha que liga A e B. Ele deve apenas se deslocar ao longo da referida linha. Assim, temos: B vy v
d u vx A
v 2 = v y2 + vx2 ; vx = u
1 2
2
2
2
2 2
v = v y + u ⇒ v y = (v − u )
2vba = 50 ∴ vba = 25km ⋅ h−1. E Questão 8 vam = 5km ⋅ h−1. (CESESP‐PE) Um avião, cuja velocidade em relação ao ar é v, viaja da cidade A para a cidade B em um tempo t, quando não há vento. Quanto tempo será gasto para a viagem, quando sopra um vento com velocidade u (em relação ao solo) perpendicularmente à linha que liga as duas cidades? (Despreze o tempo de subida e descida do avião). 2
⎛ u⎞
A( ).
t ⋅ ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ v ⎠
⎛ u⎞
B( ).
t ⋅ ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ v ⎠
−1
C( ).
⎛ u2 ⎞
t ⋅ ⎜⎜1− 2 ⎟⎟⎟
⎜⎝ v ⎠⎟
D( ).
⎛ v2 ⎞
t ⋅ ⎜⎜1− 2 ⎟⎟⎟
⎜⎝ u ⎠⎟
E( ).
⎛ u2 ⎞ 2
t ⋅ ⎜⎜1− 2 ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ v ⎠⎟
−1
2
2
. . Desta forma, o novo tempo para o avião chegar em B é dado por: d
d
d
t′ = =
=
1
1
vy
(v 2 − u 2 ) 2 v ⎛⎜⎜1− u 2 ⎞⎟⎟ 2
⎜⎝ v 2 ⎠⎟⎟ 1
Resolução: Considere a figura a seguir: −1
B ⎛ u 2 ⎞⎟ 2
∴ t ′ = t ⋅ ⎜⎜1− 2 ⎟⎟ .
⎜⎝ v ⎠⎟
Letra “C”. v d Questão 9 (FUVEST) Um cilindro de madeira de 4,0 cm de diâmetro rola sem deslizar entre duas tábuas horizontais móveis A e B, como mostra a figura. A Em determinado instante, a tábua A se movimenta para a direita com velocidade de A uma velocidade de módulo v sem vento, o 40cm s ‐1 e o centro do cilindro se move para a es‐
tempo para chegar até a cidade B é dado por: querda com velocidade de intensidade 10cm s ‐1. Qual é nesse instante a velocidade da tábua B em d
módulo e sentido? t = . v
4 www.profafguimaraes.net A 4 cm B Resolução: Considere a figura abaixo: + A a c B b Orientaremos nosso referencial de tal maneira que a horizontal para a direita é positivo. Os pontos a e b são respectivamente os pontos de contato do cilindro com as tábuas A e B. E c é o centro do cilindro. Se a tábua A se desloca para a direita, o cilindro deve girar no sentido anti‐horário (conforme se vê a figura). Pois a tábua não desliza sobre o cilindro. Desta forma, sendo a velocidade da tábua com relação ao solo de 40cm s ‐1, o ponto a (vide figura acima) terá uma velocidade com relação ao centro do cilindro dada por: vac = 40 − (−10) = 50cm ⋅ s−1. O cilindro então toca a tábua B no ponto b (vide figura) e sem deslizar, obriga a tábua B a se deslocar para a esquerda com a mesma velocidade relativa do ponto a com relação ao centro (em módulo). Assim, a velocidade da tábua B vale: vbc = −50 = vB − vc ⇒ −50 = vB − (−10)
∴ vB = −60cm ⋅ s−1.
O sinal negativo indica que o movimento se dá para a esquerda. 5 www.profafguimaraes.net