VETORES - TRATAMENTO ALGÉBRICO
−
−
Sejam dois vetores, →
v1 e →
v2 , não-paralelos. Então, para cada vetor ~v , exite uma só dupla de números reais
→
−
−
a1 e a2 tais que ~v = a1 v1 + a2 →
v2 .
Neste caso, dizemos que:
(
−
−
~v é combinação linear de →
v1 e →
v2
e
−
−
B = {→
v ,→
v } é base
1
2
Notação: ~v = (a1 , a2 )B ou ~vB = (a1 , a2 )
( →
−
−
e1 ⊥ →
e2 (ortogonais)
→
−
→
−
e
Uma base { e1 , e2 } é ortonormal se
−
−
|→
e1 | = |→
e2 | = 1 (unitários)
n o
Base canônica é a base C = ~i, ~j onde ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
~v = x~i + y~j
~v = (x, y) (expressão analı́tica)
Definição (algébrica de vetor): Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
−
Igualdade de vetores: Sejam dois vetores ~u = (x1 , y1 ) e →
v = (x2 , y2 ). Então ~u = ~v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .
Exemplo 1 Sejam ~u = (x + 1, 4) e ~v = (5, 2y − 6). Então ~u = ~v se, e somente se,
n
x+1=5⇒x=4
2y − 6 = 4 ⇒ y = 5
−
Operações com vetores: Sejam os vetores ~u = (x1 , y1 ) e →
v = (x2 , y2 ) e α ∈ R. Então:
1) ~u ± ~v = (x1 , y1 ) ± (x2 , y2 ) = (x1 ± x2 , y1 ± +y2 )
2) α~u = α (x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 )
Propriedades: Para quaisquer vetores ~u, ~v e w
~ e escalares α e β, tem-se:
~u + ~v = ~v + ~u
~u + ~0 = ~u
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w)
~
~u + (−~u) = ~0
α (β~v ) = (αβ) ~v
α (~u + ~v ) = α~u + α~v
(α + β) ~v = α~v + β~v
1~v = ~v
Exemplo 2 Se ~u = (2, −3), ~v = (−1, 4) e w
~ = (1, 0) então
2~u + ~v − 3w
~ = 2 (2, −3) + (−1, 4) − 3 (1, 0)
= (4, −6) + (−1, 4) − (3, 0)
= (4 − 1 − 3, −6 + 4 − 0)
= (0, −2)
1
Exemplo 3 Sendo ~u = (3, −1) e ~v = (−2, 4), determinar o vetor ~x tal que 3~x + 2~u + ~v + ~x.
2
1
3~x + 2~u = ~v + ~x ⇒ 6~x + 4~u = ~v + 2~x ⇒ 6~x − 2~x = ~v − 4~u ⇒ 4~x = ~v − 4~u
2
1
1
1
⇒ ~x = (~v − 4~u) ⇒ ~x = ~v − ~u ⇒ ~x = (−2, 4) − (3, −1)
4
4
4
1
1
7
⇒ ~x = − , 1 − (3, −1) ⇒ ~x = − − 3, 1 + 1 ⇒ ~x = − , 2
2
2
2
−
−
−
−
Exemplo 4 Sendo ~v = (10, 2), →
v1 = (3, 5) e →
v2 = (−1, 2), encontrar a1 , a2 ∈ R tais que ~v = a1 →
v 1 + a2 →
v2 .
→
−
→
−
~v = a1 v1 + a2 v2 ⇒ (10, 2) = a1 (3, 5) + a2 (−1, 2)
⇒ (10, 2) = (3a1 , 5a1 ) + (−a2 , 2a2 ) = (3a1 − a2 , 5a1 + 2a2 )
n
n
3a − a = 10
6a1 − 2a2 = 20
⇒ 5a1 + 2a2 = 2 ⇒
5a1 + 2a2 = 2
1
2
Somando as duas equações, temos 11a1 = 22 ⇒ a1 = 2 .
Substituindo em 3a1 − a2 = 10, temos 6 − a2 = 10 ⇒ a2 = −4
Exercı́cio 1 (Pág. 40 - Ex. 1) Dados os vetores ~u = 2~i − 3~j, ~v = ~i − ~j e w
~ = −2~i + ~j, determinar:
a) 2~u − ~v
Resposta: 3~i − 5~j
b) ~v − ~u + 2w
~
c)
1
~u − 2~v − w
~
2
1
1
d) 3~u − ~v − w
~
2
2
Resposta: −5~i + 4~j
1
Resposta: ~i − ~j
2
Resposta:
13~
i − 9~j
2
Exercı́cio 2 (Pág. 40 - Ex. 2) Dados os vetores ~u = (3, −1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~x tal que:
1
15 15
a) 4 (~u − ~v ) + ~x = 2~u − ~x
Resposta: − ,
3
2 2
b) 3~x − (2~v − ~u) = 2 (4~x − 3~u)
Resposta:
23 11
,−
5
5
Exercı́cio 3 (Pág. 40 - Ex. 4) Dados os vetores ~u = (2, −4), ~v = (−5, 1) e w
~ = (−12, 6), determinar a1 e a2
tais que w
~ = a1~u + a2~v . Resposta: a1 = −1 a2 = 2
−−→ 1 −→
Exercı́cio 4 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3, −1) e C (−2, 4), determinar o ponto D de modo que CD = AB.
2
Vetor definido por dois pontos:
−→ −−→ −→
AB = OB − OA
−→
AB = (x2 , y2 ) − (x1 , y1 )
−→
AB = (x2 − x1 , y2 − y1 ) = B − A
−−→ 1 −→
Exemplo 5 Dados os pontos A (−1, 2) , B (3, −1) e C (−2, 4), determinar o ponto D de modo que CD = AB.
2
−−→ 1 −→
1
1
1
CD = AB ⇒ D − C = (B − A) ⇒ D = (B − A) + C ⇒ D = [(3, −1) − (−1, 2)] + (−2, 4)
2
2
2
2
1
1
⇒ D = [(3, −1) − (−1, 2)] + (−2, 4) ⇒ D = (4, −3) + (−2, 4)
2
2
3
5
⇒ D = 2, −
+ (−2, 4) ⇒ D = 0,
2
2
Exercı́cio 5 (Pág. 40 - Ex. 3) Dados os pontos A (−1, 3), B (2, 5), C (3, −1) e O (0, 0), calcular:
−→ −→
a) OA − AB
Resposta: (−4, 1)
−→ −−→
b) OC − BC
−→
−−→
c) 3BA − 4CB
Resposta: (2, 5)
Resposta: (−5, −30)
Exercı́cio 6 (Pág. 40 - Ex. 6) Sejam os pontos A (−5, 1) e B (1, 3). Determinar o vetor ~v = (a, b) tal que
a) B − A = 2~v
Resposta: ~v = (3, 1)
b) A = B + 3~v
2
Resposta: ~v = −2, −
3
Exercı́cio 7 (Pág. 40 - Ex. 6) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~v = (−1, 3),
sabendo que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. Resposta: ~v = (4, −2)
Exercı́cio 8 (Pág. 40 - Ex. 11a) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para A (−3, −1),
B (4, 2) e C (5, 5). Resposta: D = (−2, 2)
Ponto Médio
Dados dois pontos, A e B, o ponto médio do segmento AB é
x 1 + x2 y 1 + y 2
M
,
2
2
Exemplo 6 Se A (−2, 3) e B (6, 2), o ponto médio do segmento AB é M
−2 + 6 3 + 2
,
2
2
5
= 2,
.
2
Paralelismo de vetores: Dois vetores ~u = (x1 , y1 ) e ~v = (x2 , y2 ) são paralelos se
Exemplo 7 ~u = (−2, 3) e ~v = (−4, 6) são paralelos pois
y1
x1
=
= α.
x2
y2
−2
3
1
= = .
3
6
2
a) ~0 = (0, 0) é paralelo a qualquer vetor.
OBS:
b) (0, y1 ) // (0, y2 ) e (x1 , 0) // (x2 , 0).
Pelo Teorema de Pitágoras,
|~v |2 = x2 + y 2
Módulo de um vetor
ou
|~v | =
Exemplo 8 |(2, −3)| =
p
x2 + y 2
q
√
√
22 + (−3)2 = 4 + 9 = 13
−→
OBS: a) A distância entre dois pontos A e B é AB .
b) Para todo ~v não-nulo,
~v
é unitário (versor).
|~v |
c) Vetores parlelos com mesmo sentido têm o mesmo versor.
Exemplo 9 Dado o vetor ~v = (−2, 1), achar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha sentido contrário ao de ~v e
módulo 2.
−2 1
~v
(−2, 1)
(−2, 1)
O versor de ~v é
=q
= √
= √ ,√
|~v |
2
5
5 5
2
(−2) + 1
−2 1
4 −2
~u tem módulo 2 e sentido contrário ao de ~v . Logo ~u = −2 √ , √
= √ ,√ .
5 5
5 5
Exercı́cio 9 (Pág. 41 - Ex. 16) Dados os vetores ~u = (1, −1) , ~v = (−3, 4) e w
~ = (8, −6), calcular
a) |~u|
b) |~v |
c) |~u + ~v |
d) |2~u − w|
~
e) versor de ~v
~v f ) |~v |
Respostas:
√
√
√
3 4
2, 5, 13, 52, − ,
,1
5 5
Exercı́cio 10 (Pág.
41 - √
Ex. 17) Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a, −2) tenha módulo 4.
√
Resposta: a = ± 12 = ±2 3
Exercı́cio 11 (Pág. 42 - Ex. 20) Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto
A (2, −3) seja igual a 5. Resposta: P (−2, 0) ou P (6, 0)
Exercı́cio 12 (Pág. 42 - Ex. 23) Dado o vetor ~v = (1, −3), determinar o vetor ~u paralelo a ~v que tenha
a) sentido contrário ao de ~v e duas vezes o módulo de ~v .
b) o mesmo sentido de ~v e módulo 2.
c) sentido contrário ao de ~v e módulo 4.
Respostas: (−2, 6) ,
2
6
√ , −√
10
10
−4 12
, √ ,√
10 10