VERSOR, R 3 E PARALELISMO
VERSOR

O versor do vetor 𝑢
⃗ , denotado por 𝑢̂ é um vetor de mesma direção de 𝑢
⃗ , mesmo sentido, mas
de módulo igual a 1. É dado por:
̂=
𝒖
⃗
𝒖
⃗|
|𝒖
VETORES NO R 3

A base canônica em três dimensões (R3) é dada por: B = {𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ }

⃗ ou 𝑣 = (x, y, z)
Representação: 𝑣 = x i⃗ + y j + z k

Todas as operações matemáticas no R2 permanecem válidas, sendo apenas inclusa uma
terceira coordenada orientada pelo vetor 𝑘⃗ (eixo z).
CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES

Se os vetores 𝑢
⃗ = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z1) são paralelos, então as seguintes relações são
verdadeiras:
𝑢
⃗ = 𝛼. 𝑣
e
𝐱 𝟏 𝐲𝟏 𝐳𝟏
=
=
𝐱 𝟐 𝐲𝟐 𝐳𝟐
EXEMPLOS
1.
2.
3.
4.
(p. 108) Calcule o versor de 𝑢
⃗ = (2, 4).
(p. 109) Dados os vetores u
⃗ = (−3, 0, −2) e v⃗ = (15, 3, −2), determinar 3. 𝑢
⃗ − 7. 𝑣
(p. 110) Calcule o módulo do vetor u
⃗ = (−5, 4, −1).
Dados os vetores 𝑢
⃗ = (−1, 3, −4), 𝑣 = (3, −9, 12), verifique se são paralelos.
Solução:
1. Para calcular o versor de 𝑢
⃗ , precisamos primeiro calcular o módulo do vetor:
22 + 42 = √4 + 16 = √20
|𝑢
⃗|=
Neste caso, a raiz é redutível e podemos simplifica-la, fatorando o radicando:
22 . 5 = 2√5
√20 =
Agora, para encontrar o versor, aplicamos a fórmula:
𝑢̂ =
𝑢
⃗
(2,4)
=
|𝑢
⃗ | 2√5
A divisão de um vetor por um escalar é feita exatamente como a multiplicação. Ou seja, aplica-se a
divisão em todas as coordenadas do vetor:
𝑢̂ = (
2
4
,
2√5 2√5
)=(
1
,
2
√5 √5
)
Na fração, podemos fazer a simplificação dividindo o 2 do numerador pelo 2 do divisor e,
na coordenada y, fazer a divisão do 4 pelo 2.
Como temos raízes na parte de baixo da fração, devemos por padrão racionalizá-la, ou seja,
multiplicamos em cima e embaixo pela raiz:
1× 5
𝑢̂ = (
1
2× 5
√5 2√5
)=( ,
)
5 5
√5 √5
,
2
5× 5=5
O versor de 𝑢
⃗ = (2, 4). ou seja, o vetor que tem mesma direção e sentido de 𝑢
⃗ , mas que tem
tamanho igual a um é:
𝑢̂ = (
√5 2√5
,
)
5 5
2. A soma de vetores em 3 dimensões se processa exatamente como se fosse em duas. Lembrese que se houver multiplicação por um escalar e adição (ou subtração) de vetores, a
prioridade é da multiplicação (ela deve ser resolvida primeiro).
3. 𝑢
⃗ − 7. 𝑣 = 3. (−3, 0, −2) − 7. (15, 3, −2)
Cuidado para não se confundir com o sinal. Nesses casos, existem duas formas de pensar a operação.
Ou é uma adição envolvendo um multiplicador negativo, ou é uma subtração envolvendo um
multiplicador positivo. O segundo modo de pensar é mais simples. Assim, mantenha o sinal fora dos
parêntesis e utilize o 7 positivo para executar a multiplicação.
= (3. (−3),3. 0,3. (−2)) − (7.15, 7.3, 7. (−2))
= (−9, 0, −6) − (105, 21, −14)
= (−114, −21,8)
3. Para calcular o módulo de um vetor em três dimensões, temos o mesmo procedimento para
um de duas dimensões, apenas adicionamos o quadrado da coordenada z dentro do radical:
(−5)2 + 42 + (−1)2
|u
⃗|=
= √25 + 16 + 1 = √42
Como 42 não é redutível, não há como simplificar e paramos por aqui (ufa!):
|u
⃗ | = √42
4. Se os vetores forem paralelos, então a condição de paralelismo precisa ser satisfeita:
As coordenadas do vetor 𝑣 estão na parte de cima da
fração. Não há problemas em trocar (coloca-las
embaixo), isso é arbitrário, mas deve-se manter o
padrão, se uma coordenada está em cima, todas as
outras também devem estar.
3
−1
=
−9
3
=
12
−4
?
Todas as divisões fornecem as mesmas respostas de −3. Assim podemos afirmar que 𝑢
⃗ e 𝑣 SÃO
PARALELOS.
EXERCÍCIOS DE REVISÃO – RAIZ QUADRADA
1. Racionalizar as seguintes frações:
a)
b)
c)
2.
a)
b)
c)
d)
1
√5
4
√10
5
√3+𝑥
Simplifique as raízes:
√18
√50
√98
√180
EXERCÍCIOS
Para entregar: 4 ou mais estrelas.
1
1. (⋆) Dados os vetores 𝑢
⃗ = (−4, − 3 , 4) e 𝑣 = (1,0, −3), calcule:
p. 111 (ex.2)
a) 𝑢
⃗ +𝑣
b) 2. 𝑢
⃗ − 3. 𝑣
1
c) 𝑢
⃗ − 2𝑣
2. (⋆) Calcule o módulo do vetor 𝑢
⃗ = (−12, −6,1)
p.114 (ex.9)
3. (⋆) Calcule o versor de:
p.110 (ex.12) e p.114 (ex.10)
a) 𝑢
⃗ = (−4, 7, 13)
b) 𝑣 = (−1, 2, 3)
4. (⋆) Verifique se os seguintes pares de vetores são paralelos:
p.115 (ex.13 e 14) e p.110 (ex.15)
a) 𝑢
⃗ = (10,1, −4) e 𝑣 = (1,2,10)
1
b) 𝑢
⃗ = (−2, 2 , −4) e 𝑣 = (−4,1, −8)
c) 𝑢
⃗ = (8,1, −5) e 𝑣 = (1,2,10)
5. (⋆⋆) Vetores unitários são aqueles que tem tamanho igual a 1. Determine o valor
1
de a sabendo que 𝑢
⃗ = (2𝑎, − 5) é unitário.
p.115 (ex.12)
6.
(⋆⋆) Considere o vetor 𝑢
⃗ = (−1,8). Determine um vetor paralelo a 𝑢
⃗ , sentido
oposto de 𝑢
⃗ e módulo igual a 10.
p.114 (ex.11)
7. (⋆⋆) Considere o vetor 𝑣 = (−2,7). Determine um vetor paralelo a 𝑣 , mesmo
sentido de 𝑣 e com o módulo igual a 12.
p.110 (ex.13)