Vetores no
2
R
Produzido pelo
Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz
Março - 2009
Vetores no R2
P(x,y)
v
PLANO
(+)
y
P(x,y)
y
v
(-)
O
x
(-)
x
(+)
Expressão Cartesiana de um vetor
Sejam i e j vetores unitários do R2 , ou seja, | i | = | j |=1
y
P
y
yj

v

j
O
v = xi + yj
y
Módulo

i
xi
x
x
Cossenos Diretores:
Podemos identificar um vetor com um ponto, ou seja, v = (x,y).
Exemplo: Representar os vetores v = 4 i – 3 j e u = i + 5 j e determinar
o seus módulos.
v = 4 i – 3 j = (4,-3)
u = i + 5 j = (1,5)
y
5
u
4
1
x
v
-3
Operações com vetores na forma cartesiana
1. Adição: Sejam v = x1i + y1j e u = x2i + y2j
v + u = x1i + y1j + x2i + y2j = (x1 + x2) i+(y1+ y2) j
v + u = (x1 + x2 ,y1+ y2)
2. Subtração: Sejam v = x1i + y1j e u = x2i + y2j
v - u = x1i + y1j - x2i + y2j = (x1 - x2) i+(y1- y2) j
v - u = (x1 - x2 ,y1 - y2)
3. Produto por escalar: Sejam v = xi + yj e  mR
m·v = m·(xi + yj)  m·v = mx i + my j  m·v = (mx,my)
Exemplo: Sejam os vetores u = 5i + 2j , v = i + 3j e w = -2i
a) Determine o vetor a = u + v . Faça uma representação.
b) Determine o módulo do vetor b = u – 2v + 3w
a) u = (5,2) , v = (1,3) e w = (-2,0)
a = u + v = (5,2) + (1,3) = (5+1,2+3)

a = (6,5)
y
5
a
3
2
v
u
1
5
6
x
b) b = u – 2v + 3w = (5,2)-2(1,3)+3(-2,0) = (5-2-6,2-6+0)
b = (-3,-4) 
Exemplo: Representar o vetor AB, onde A(4,2) e B(6,5).
y
5
B
AB = B-A = (6,5)-(4,2)
AB = (2,3)
AB
3
2
A
AB
2
4
6
x
Versor de um vetor: Dado um vetor v , o seu versor, denotado por vo
é um vetor unitário, ou seja, | vo | = 1, de mesma direção e sentido de
v , definido por:
v
vo
Exemplos:
1) Determine um vetor paralelo ao vetor
Igual a
.
que tenha módulo
2) Dados os pontos A(-2,3), B(3,0) e C(2,2), determine o versor do vetor