INSTITUTO SUPERIOR
DEPARTAMENTO
DE
DE
ENGENHARIA
FÍSICA
E
DE
COIMBRA
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA
11-02-04
Duração: 2.30h
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
2ªChamada
1. Considere as funções reais f e g definidas por:
⎪⎧⎪e f ( x ,y ) , 2 − 2y 2 ≤ x ≤ −y 2 + 4 ∧ x ≥ 0
g ( x, y ) = ⎨
f ( x , y ) = ln ( 4 − x )
⎪⎪ 4
, 1 ≤ x 2 + y2 ≤ 4 ∧ x < 0
⎪
⎩
(a) Determine o domínio das duas funções e represente-os geometricamente.
(b) As figuras 1 e 2 são estruturas metálicas quinadas com rebordos circulares e parabólicos.
Qual delas coincide com o gráfico da superfície de equação z = g ( x , y ) ? Justifique a sua escolha.
θ = 90°
Figura 1
Figura 2
(c) Defina analiticamente uma função z = h ( x , y ) , cujo gráfico coincide com a figura que excluiu na alínea
anterior, tal que, a recta tangente à curva de intersecção dessa superfície com o plano y = 0 , no
ponto P (1, 0, 4) , é definida parametricamente pelo vector ⎡⎢ x 0 4 ⎤⎥ .
⎣
⎦
(d) A temperatura, de uma chapa rectangular no plano XY, é dada por T = f ( x , y ) .
Determine as taxas de variação de T em ( 0, 0 ) segundo as direcções θ = − π 4 e θ = π 4 .
Comente o resultado obtido e, determine as direcções em que a taxa de variação será máxima e mínima.
2. A figura 3 representa uma roda dentada não
normalizada
(a) Prove, usando o integral linha, que a área
de um triângulo de base b e altura h é igual
b ×h
a A=
.
2
(b) Calcule o volume da roda dentada.
Figura 4
Supondo que a densidade é constante, qual
será a massa da roda?
(c) Use o teorema de Green, para calcular o
trabalho realizado pela força
G
F(x , y ) = (cos x + 2yx − y )i + (arcosy + x 2 ) j
quando aplicada a uma ferramenta que se
move ao longo dos contornos exteriores da
G
figura. F é um campo conservativo? Justifique.
Figura 3
EXAME/2ªCHAMADA
CURSO: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
®
,0≤t <π
⎧
⎪0
3. Seja f (t ) = ⎪⎨
⎪
sin ( t − π ) , t ≥ π
⎪
⎩
(a) Calcule, se possível, a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
i) G (s ) =
s +1
;
s2 + s
ii) F (s ) =
e −πs
;
( s 2 + s )( s 2 − 1 )
iii) H (s ) =
s4
.
s ( s − 1 )( s + 1 )2
(b) Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema de valores iniciais
y ′′ + y = f (t ),
y ( 0 ) = 1, y ′ ( 0 ) = 0 .
(c) Comente a seguinte afirmação
O modelo matemático, associado ao sistema mecânico representado pela figura seguinte, pode ser dado pela
equação diferencial da alínea anterior.
Figura 4
4. Seja f (t ) = −t, −π < t < π,
f (t + 2π) = f (t )
(a) Determine a série de Fourier associada a f (t ) . Qual das figuras seguintes está associada ao desenvolvimento
da função em série de Fourier? Justifique.
∞
i) f (t ) = 2 ∑ (−1)n
n =1
sin(nt )
n
ii) f (t ) = 2 sin t − sin 2t +
Figura 5
2 sin 3t sin 4t
−
+"
3
2
Figura 6
(b) Defina analiticamente uma função y = g(t ) , cujo desenvolvimento em série de Fourier coincide com o da
alínea que excluiu anteriormente.
EXAME
CURSO: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
2ª CHAMADA