Exemplos e Motivação


Exemplos
Motivação
◦ Problemas de Engenharia
◦ Trabalho de Pesquisa

Obtenha a solução geral de
(1) x ' ' ' (t )  3x ' ' (t )  3x ' (t )  x (t )  0
(2) y' ' (t )  2 y' (t )  2 y(t )  0
(3) u( 4 ) (t )  2u' ' (t )  u(t )  0
(4) ty' ' (t )  y' (t )  t, t  0

Resposta
(1)
x (t )  ( A  Bt  Ct2 )e t
( 2)
y(t )  ( A cost  B sin t )e t
(3)
u(t )  A cost  Bt cost  C sin t  Dt sin t
(4 )
t2
y(t )   A ln t  B
4

Obtenha a forma geral do wronskiano de um
conjunto fundamental de soluções da EDO
xy' ' ( x )  y' ( x )  y( x )  0

Resposta
C
W [ y1 , y2 ]( x ) 
x
C  R*

Obtenha a solução geral de
dX
 AX
dt
0 1 
(1) A  

1
0


 0 1
( 2) A  


1
0


1 1
( 3) A  

0 1

Resposta
(1)
( 2)
( 3)
1 t
 1  t
X (t )  C1   e  C2   e
1
 1
 cost 
sin t 
X (t )  C1 
 C2 


 sin t 
cost 
1  t
t  t
X (t )  C1   e  C2   e
0
1


Álgebra linear no “dia-a-dia”
Problemas de Engenharia
◦
◦
◦
◦
◦
Estabilidade
Matriz de controlabilidade
Matriz de observabilidade
Problema da viga
Autovalores e Mecânica Quântica

Sistema físico
X  AX  Bu
y  CX

Exemplo: pêndulo simples

Um pouco de Física…
g



   sin   2
l
ml

m
Modelo matemático
do sistema

Pêndulo simples
◦ Linearização
g



   2
l
ml
◦ Espaço de estados
x1  
x  
2
 x1 
X  
x 2 
1
 0
 0 

X 
X 


2
  g / l 0
1 / ml 
y  1 0X

Resposta do sistema a um sinal de entrada

Como melhorar a resposta do sistema ?
u   KX

É possível melhorar ?

M  B AB ... An1B

Sensores
 C 
 AC 

P
  
 n 1 
A C
Projetar K

Matriz de
controlabilidade
Matriz de
observabilidade

Ruído no sensor
Filtro

Soluções da homogênea
X  AX  Bu
X  1e1t  2e2t  ...  nent
Se todos
Re( )  0
Todas as soluções
convergem para origem
Estável
Se um
Re( )  0
Haverá soluções
que divergem
Instável

Linha neutra
EIzzv' ' ( x )  M ( x )

Estados de tensão de uma viga
 yy
 xy
 xx
 xx
 
  xy
 xy 

 yy 
x
Estados de máxima tensão
Autovalores e autovetores

Mecânica Quântica
Grandezas Físicas = Operadores Hermiteanos
Espaço de Hilbert
Pˆ  i

Medida
Autovalor do operador
(com uma certa probabilidade)
Equação de Schrödinger
ˆ   E
H
2

Hˆ  
2  V ( x , y, z )
2m
Problema de autovalores



Visão geral
Quantum wells
Quantum dots

Visão Geral
◦ Spintrônica

V (x )
Quantum wells
Equação de Schrödinger
A
B
A
2 d2

( x )  V ( x )( x )  E( x )
2
2m dx
(0)  ( L )  0
 (x )
x
x

Quantum dots
◦ Átomos “artificiais”
◦ Estrutura de camadas
Confinamento
Mudança drástica nas
propriedades
Redução dimensionalidade
N conf
Nlib
Direções de confinamento
Graus de liberdade
Nconf  Nlib  3

Quantum dots
It has long been an axiom of mine that the
little things are infinitely the most important.
Sir Arthur Conan Doyle