Função de uma Variável Aleatória
5. Função de uma Variável Aleatória
Seja X uma v.a. definida sobre o modelo (, F , P), e g(X) uma
função da variável aleatória X. A quantidade obtida pelo
mapeamento da v.a. X por uma função Y g (X ) é ainda uma
variável aleatória. Então qual é a PDF e a p.d.f. de Y, FY ( y) e fY ( y) ?
P(Y B) P( X g 1( B)).
FY ( y) P(Y y) Pg ( X ) y P X g 1 (, y] .
y
aX b
X2
sin X
1
_
X
log X
Y g( X )
|X |
X
eX
| X | U ( x)
2
Exemplo 5.1: Seja X uma v.a. com FDP FX (x) e f.d.p. f X (x)
Determine FY ( y)
Se
Se
e
fY ( y) se Y aX b
a 0.
y b
y b
FY ( y) PY y PaX b y P X
F
X
.
a
a
1 y b
fY ( y ) f X
.
a a
a 0,
y b
FY ( y ) PY ( ) y PaX ( ) b y P X ( )
a
y b
1 y b
1 FX
,
fY ( y ) f X
.
a
a a
fY ( y )
1
y b
fX
.
|a | a
3
Exemplo 5.2:
Se
Se
y 0,
y 0,
então
Y X 2.
FY ( y) PY y P X 2 y .
então o evento X 2 y ,
FY ( y) 0, y 0.
e portanto
2
da figura, o evento {Y y} {X y} é equivalente a
{x1 X ( ) x2 }.
Y X2
y
FY ( y ) Px1 X x2 FX ( x2 ) FX ( x1 )
FX ( y ) FX ( y ),
y 0.
Diferenciando, obtém-se
X
x2
x1
1
f X ( y ) f X ( y ) ,
y 0,
fY ( y) 2 y
0,
outrosvalores.
Se X é uma v.a. gaussiana com f.d.p.
fY ( y )
1
e y / 2U ( y ).
2y
f X ( x)
1
x2 / 2
e
,
2
(v.a. Chi-square com n = 1)
Então
4
Exemplo 5.3: seja
X c,
Y g ( X ) 0,
X c,
X c,
g (X )
c X c,
X c.
c
X
c
Neste caso tem-se
Para y = 0
Para
y 0,
P(Y 0) P(c X c) FX (c) FX (c).
tem-se
x c,
e Y X c então
FY ( y) PY y P( X c y) P X y c FX ( y c),
Para
y 0,
tem-se
x c, e
y 0.
Y ( ) X c então
FY ( y) PY y P( X c y) P X y c FX ( y c),
y 0.
Diferenciando:
f X ( y c),
fY ( y )
f X ( y c),
y 0,
y 0.
FX (x)
FY (x)
x
(b)
(c)
y
5
Y
Exemplo 5.4: Retificador de meia onda
Para y = 0,
Se y 0,
Assim
x, x 0,
Y g ( X ); g ( x)
0, x 0.
P(Y 0) P( X 0) FX (0).
então
X
Y X,
FY ( y) PY y P X y FX ( y).
Diferenciando:
f X ( y ),
fY ( y )
0,
y 0,
y 0,
f X ( y )U ( y ).
Procedimento geral: Dado Y g ( X ), esboça-se o gráfico de y=g(x)
e determina-se os intervalos de variação de y, por exemplo a y b.
Calcula-se então a FDP e a f.d.p. da v.a. X para os intervalos.
y a,
a y b,
y b,
FY ( y) 0
FY ( y) Pg ( X ) y ,
FY ( y) 1,
fY ( y)
dFY ( y )
,
dy
a y b.
6
Se Y g ( X ) é uma função contínua é fácil estabelecer um procedi- mento direto para
obter fY (y),
visto que, se g (x ) é igual a zero para um número finito de pontos,
então g(x) apresenta um número finito de máximos e mínimos, e eventualmente torna-se
monotônica quando | x | .
Considere um ponto genérico y sobre o eixo y e um incremento y como mostrado na
figura.
g (x )
y y
y
x1 x1 x1
x2 x2 x2
Como determinar f Y ( y ) para Y g ( X ),
Calcula-se, então
Py Y y y
x3 x3 x3
x
se g () é contínua ?
y y
y
fY (u)du fY ( y) y.
7
Mas o evento
y Y y y
pode ser expresso em termos de X.
x1, x2 , x3
Para isso deve observar que a equação y=g(x) tem 3 soluções:
Dessa forma quando y Y y y, a variável aleatória X poderia assumir qualquer
um dos três eventos mutuamente exclusivos.
{x1 X x1 x1}, {x2 x2 X x2 } or {x3 X x3 x3} .
y Y
Então a probabilidade do evento
y y, é igual a:
Py Y y y P{x1 X x1 x1}
P{x 2 x2 X x2 } P{x3 X x3 x3 } .
Dado que y e x , são pequenos pode-se fazer a aproximação:
i
f Y ( y)y f X ( x1 )x1 f X ( x2 )(x2 ) f X ( x3 )x3 ,
| xi |
1
fY ( y ) f X ( xi )
f X ( xi )
y
i
i y / xi
fY ( y )
i
1
f X ( xi )
dy / dx x
i
i
x1 0, x2 0, x3 0,
y 0,
1
f X ( xi ).
g ( xi )
8
Exemplo: Se Y X 2 ,
então para todo y 0, x1 y
e x2 y
representam as duas soluções para cada y. Note que a solução é somente função de y .
Solução. Observando a figura:
Y X2
y 0,
x1 y ,
dy
2 x então
dx
x2 y .
y
dy
2 y
dx x xi
x1
Fig. 5.5
X
x2
fY ( y ) 0
1
f X ( y ) f X ( y ) ,
y 0,
fY ( y ) 2 y
0,
outrosvalores.
y 0,
9
Exemplo 5.5: Dado queY
1
, e que X é uma v.a. com f.d.p f (x), Encontre fY ( y ).
X
X
Solução: Para qualquer y, x1 1 / y
dy
1
2
dx
x
então,
é solução única e,
dy
1
2
y
,
2
dx x x1 1 / y
Em particular, se X é uma v.a. com distribuição de Cauchy com
f X ( x)
A a f.d.p da v.a. Y
fY ( y )
1/ X
,
1
1
f
.
X
2
y
y
parâmetro , isto é:
fY ( y )
/
, x .
2
2
x
pode ser escrita como:
1
/
(1 / ) /
,
2
2
2
2
2
y (1 / y )
(1 / ) y
Que representa uma v.a. de Cauchy com parâmetro
y .
1/.
10
Exemplo 5.6: Suponha que f X ( x) 2 x / , 0 x ,
Determine fY ( y ).
2
Y sen X .
e que
Solução: Como X tem probabilidade zero de estar fora do intervalo (0, ), y sin x
tem, também, probabilidade zero ser ser encontrado fora do intervalo ( 0,1).Certamente
fora deste intervalo.
f ( y) 0
Y
Para qualquer 0 y 1, a equação y sin x tem um número infinito de soluções
, x1, x2 , x3 ,, onde x1 sin1 y é a solução principal. Usando a simetria
x2 x1
dy
cos x 1 sin 2 x 1 y 2
dx
f X ( x)
dy
1 y2 .
dx x xi
Portanto para
fY ( y )
i
(a)
x
y sin x
y
0 y 1,
x1
1
1 y
x3
2
f X ( xi ).
x1
x2
x
x3
(b)
11
Agora para o caso em que f X ( x) 2 x / , 0 x , apenas duas
soluções interessam, como pode ser visto na figura anterior. Então
exceto para f X ( x1 ) e f X ( x2 )
2
fY ( y )
f X ( x1 ) f X ( x3 ) f X ( x4 ) 0
fY ( y )
1
1 y
2
f X ( x1 )
2 x1 2 x2
2 2
2
1 y
f X ( x2 )
1
2
,
2( x1 x1 )
2
1 y
2
2
1 y
0,
2
y
1
0 y 1,
ot herwise.
y tan x
/2
x1 / 2
Exemplo 5.7: Seja Y tan X onde X é uma v.a.
uniformemente distribuída em / 2, . / 2 .
1
Determine fY ( y ). Solução: x1 tan y
dy d tan x
sec 2 x 1 tan 2 x 1 y 2
dx dx
1
1/
fY ( y )
| dy / dx |x x1
f X ( x1 )
1 y
2
,
y
x
f X (x)
/2
x
/2
fY ( y )
1
1 y2
y ,
y
12
Funções de variáveis aleatórias discretas
Suponha que X é uma v.a. discreta, com
P( X xi ) pi , x x1, x2 ,, xi ,
e Y g ( X ). Y é ainda uma v.a. do tipo discreta, de modo que se
e
P(Y yi ) P( X xi ) pi , y y1, y2 ,, yi ,
x xi , yi g ( xi ),
Exemple 5.8: Suponha que tem uma distribuição de Poisson, então
P( X k ) e
k
k!
, k 0,1,2,
Se Y X 2 1. Determine a f.d.p. da v.a. Y.
2
Solução: X toma valores 0,1,2,, k ,, tal que Y assume somente os valores 1,3,, k 1,
então
P(Y k 2 1) P( X k )
j k2 1
j 1
P(Y j ) P X j 1 e
, j 1,3,, k 2 1,.
( j 1)!
13
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