FUNÇÃO
MODULAR
1
1. MÓDULO – Definição
Considerando a reta orientada que representa
todos os números reais, conhecida como eixo real,
com origem no ponto O, que é onde representamos
o número real 0 (zero).

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
Dizemos que módulo de um número real x é a
“distância” do ponto que representa x no eixo
(afixo) à origem do eixo real.
3  3 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3)
4  4 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4)
0  0 (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)
2
1. MÓDULO – Definição
Perceba que se o número é positivo o módulo é ele mesmo,
se é zero, o módulo é zero, se é negativo, o módulo é o
oposto do número.
Deste modo, podemos dizer que:
 x, se x  0
Sendo x ϵ R, temos: x  
 x, se x  0
 xele mesmo, se x  0se x for positivo ou zero
x 
  xo oposto dele, se x  0se x for negativo
3
1. MÓDULO – Definição
Exemplo 1) defina os módulos a seguir.
a) 3  3
b) 4  4
c) 0  0
d)
2 1  2 1, pois 2 1 é positivo.
e)
32  
 3  2  
3  2, pois 3  2 é negativo.
Exemplo 2) Dê o valor da expressão: 2  2  2
  2  2
2   2  2  2  
2 
Cuidado! 2  2 é negativo!
2 2  2 2 2  2

4
1. MÓDULO – Definição
Exemplo 3) defina o módulo a seguir: 3x  6
ele mesmo, se ele for positivo ou zero
x 
 o oposto dele, se ele for negativo
 3x  6, se 3x  6  0
3x  6  
 3x  6, se 3x  6  0
3x  6
6
x
3
x  2
 3x  6, se x  2
3x  6  
 3x  6, se x  2 3x  6
6
x
3
x  2
5
1. MÓDULO – Definição
 x, se x  0
Sendo x ϵ R, temos: x  
 x, se x  0
Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença:
x 2  x  20
2
2

x

x

20
,
se
x
 x  20  0
2
x  x  20  
2
2

x

x

20
,
se
x
 x  20  0


x  x  20  0
2
x1  5
x2  4

+ + +
+ + +
5 – – – – – – 4
5  x  4
x
6
1. MÓDULO – Definição
Agora que sabemos a parte positiva e a parte
negativa da sentença estudada, temos:
2

x  x  20, se x  5 ou x  4
2
x  x  20  
2
  x  x  20, se  5  x  4
De modo resumido podemos dizer:
ela m esm a, se ela é positiva ou nula( 0)
sentença  
 o oposto dela, se ela é negativa( 0)
7
2. FUNÇÃO MODULAR
Chamamos de função modular toda função
definida pela forma: f x  x
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
 x, se x  0
f x   x  
 x, se x  0
Observe a função:
 2 x  6, se 2 x  6  0
f x   2 x  6  
 2 x  6, se 2 x  6  0
 2 x  6, se x  3
f x   2 x  6  
 2 x  6, se x  3
2x  6
6
x
2
x3
8
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
EX.1) Construa o gráfico da função:
f : 0,1  R f  x   1  2 x  1
 2 x  1, se 2 x  1  0
2x 1  
 2 x  1, se 2 x  1  0
1
x
2
1
x
2
f : 0,1  R
9
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
1

 1  2 x  1, se 2  x  1
f x   1  2 x  1  
1
1   2 x  1, se 0  x 
2

1
 x 1
2
f x   1  2 x  1
x y
1/ 2 1
1 0
0 x
1
0
1
2
1
1
2
f x   1  2 x  1
x y
0 0
1 / 2 110
3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico
Ex.2) Construa o gráfico da função: f x   x 2  6 x  9
x  6 x  9  x  2  x  3  3  x  3
2
2
2
2
f x   x  6 x  9
2
f x  
x  3
f x   x  3
2
11
 x  3, se x  3  0
f x   x  3  
 x  3, se x  3  0
x3
x3
se, x  3
se, x  3
f x   x  3
x y
f x    x  3
x
y
3
0
2
1
4
1
3
0
12
x
y
2
1
3
0
x
se, x  3
1
y
3
0
4
1
0
2 3 4
se, x  3
13
EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os
gráficos das funções definidas por f x  x  3 e
g x  x  3 e apresente os valores reais de x para
os quais: f x   g x 
 x, se x  0
x
 x, se x  0
 x  3, se x  3  0
x 3  
 x  3, se x  3  0
x3
x3
14
x
0
x
 x  3
 x  3
x
3
x  3
3
0
se, x  0
se, 0  x  3
se, x  3
f x   g x 
f x   g x 
f x   g x 
 x  3  x  3 x  3  x  3
x  3  x  3
15
se, x  0
se, 0  x  3
se, x  3
f x   g x 
f x   g x 
f x   g x 
 x  3  x  3
x  3  x  3
x  3  x  3
 x  3  x  3
x  3  x  3
x 3  x 3
 3  3
2x  6
00
x
x3
x
16
 x, se x  0
Se, x  
 x, se x  0
f x   x  3
se, x  0
se, x  0
f x   x  3
x y
f x    x  3
x y
3
0
3
0
1
2
1  2
17
 x  3, se x  3  0
Se, x 3  
 x  3, se x  3  0
x3
x3
g x   x  3
se, x  3
se, x  3
g x   x  3
x y
g x    x  3
x y
3
0
2
1
4
1
3
0
18
f x   x  3
se, x  0
se, x  0
x
y
x
y
0
3
0
3
1
2
1
2
g x   x  3
se, x  3
1
se, x  3
1
x
y
x
y
0
2
3
0
2
1
3
4
1
3
0
1
2 3 4
19
Esboce o gráfico e determine o domínio e o
2
conjunto imagem da função: f x  x  4 x .
 x, se x  0
x
 x, se x  0
f x   x  4 x
2
se, x  0
se, x  0
f x   x  4 x
2


f x  x 4   x
2
20
se, x  0
se, x  0
f x   x  4 x
x y
f x  x 2 4   x
2
0
0
1 3
2 4
x
 2 1
1
2
y
2 4
1  3
0 0
0
2
3
4
21
4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS
P1. x  0 para x real e x  0  x  0
P2. x  a  x  a ou x  a
P3. x  y  x  y ou x   y
P4. x  y  x  y
P5. x  y  x  y com y  0
P6.
2n
x
2n
 x , para n  N
*
P7. x  a  a  x  a
P8. x  a  x  a ou x  a
22
5. EQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma equação modular vamos
observar a situação abaixo:
Quais são os números que têm módulo igual a 2?
(neste caso queremos saber quais os números cuja distância até
o zero é 2)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
Quais são os números que têm módulo menor que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é menor que 2)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
23
5. EQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma equação modular vamos
observar a situação abaixo:
Quais são os números que têm módulo maior que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é maior que 2)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
24
5. EQUAÇÃO MODULAR
Chamamos de equação modular toda equação
definida pela forma: x  a
O que aplicando a definição de módulo se reduz a:
 x, se x  0
x 
 x, se x  0
Substituindo essas sentenças
teremos, duas equações:
xa
ou
na
equação,
xa
x  a
25
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 1) Resolva a equação 2x  3  7
 2 x  3, se 2 x  3  0
2x  3  
 2 x  3, se 2 x  3  0
3

 2 x  3, se x  2
2x  3  
3
 2 x  3, se x 
2

2x  3
3
x
2
S   2,5
Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:
 2x  4
2x  3  7
ou  2 x  3  7
2x  7  3
10
x5
x
2
 2x  3  7
 2x  7  3
2 x  4  2
x  2
26
5. EQUAÇÃO MODULAR
Perceba o seguinte, a equação:
2x  3  7
Acabou se reduzindo a outras duas equações:
2x  3  7
ou
2 x  3  7
Assim podemos simplificar o processo, mas neste
caso, não podemos deixar de observar se as
respostas encontradas em cada equação verificam
a condição de existência de cada uma delas (ou
seja, se estão dentro do intervalo no qual elas
estão definidas).
27
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 2) Resolva a equação x 2  5 x  3  3
2
2

x  5 x  3, se x  5 x  3  0
2
x  5x  3   2
2

x

5
x

3
,
se
x
 5x  3  0



Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações:
ou
x2  5x  3  3
x 2  5x  3  3
x2  5x  6  0
2
   5   4 1  6   49
x
  5  49
x'  6
2 1
x "  1
x  5x  0
x  x  5  0
x5  0
x0
x5
2
S  1,0,5,6
28
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 3) Resolva a equação x  5  2x  7
Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar
de uma das propriedades estudadas anteriormente:
x  y  x  y ou x   y
Aplicando este conceito na nossa equação teremos:
ou
x  5  2x  7
x  5    2x  7 
5  7  2x  x
12  x
x  5  2 x  7
x  2x  7  5
3x  2
2 
S   ,12 
3 
2
x
3
29
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 4) Resolva a equação x  x  12  0
2
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a
seguinte substituição:
x m
Deste modo a equação se reduzirá a:
2
Agora basta fazer:
m  m  12  0
  12  4 1  12  49
1  49 1  7
x

2 1
2
x'  3
x "  4
x 3
x  4
x  3 ou x  3
x  R
S  3,3
30
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x  2  x 1  5x  0
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a
definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que
aparecem na expressão:
x2
 x  2, se x  2  0
x2  
  x  2  , se x  2  0
 x  1, se x  1  0
x 1  
  x  1 , se x  1  0
x2
x  1
x  1
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de
variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir,
chamado de QUADRO SOMA:
31
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x  2  x 1  5x  0
x 1
1 x  1
x  2
x  2
2 x  1
3
x 1
2
x2
2x 1
1
2
se,  1  x  2
se, x  2
2 x  1  5 x  0
3  5x  0
2 x 1  5x  0
7 x   1
5 x  3
se, x  1
1
x
7
3
x
5
3x  1
1
x
332
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação x  2  x 1  5x  0
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
1
Resp.: x 
7
3
Resp.: x   0, 6
5
1
Resp.: x  
3
Cond.: se, x  1
Cond.: se,  1  x  2
Cond.: se, x  2
CONCLUSÃO:
a resposta NÃO
atende a condição.
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
a condição.
CONCLUSÃO:
a resposta NÃO
atende a condição
3
S  
5 
33
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x  2  2x 1  x  6  0
Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a
definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que
aparecem na expressão:
x2
 x  2, se x  2  0
x2  
  x  2  , se x  2  0
x2
1
x
 2 x  1, se 2 x  1  0
2
2x 1  
1
  2 x  1 , se 2 x  1  0
x
2
Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de
variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir,
chamado de QUADRO SOMA:
34
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x  2  2x 1  x  6  0
2 x  1
1

2 2x 1
x  2
x  2
3 x  1
x3
1

2
1
se, x  
2
2x 1
2
3x  1
2
1
se,   x  2
2
 3x 1  x  6  0  x  3  x  6  0
4 x  5  0
x
5
4
3  0
x2
x  R
se, x  2
3x 1  x  6  0
2x  7  0
7
x
2
35
5. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a equação x  2  2x 1  x  6  0
Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
5
Resp.: x  
4
1
Cond.: se, x  
2
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
atende a condição.
7
Resp.: 3  0
Resp.: x 
2
1
Cond.: se,   x  2 Cond.: se, x  2
2
CONCLUSÃO:
não existe valor de
x.
 5 7
S   , 
 5 2
CONCLUSÃO: a
resposta ATENDE
atende a condição
36
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Para entender o que é uma inequação modular vamos
observar as situações abaixo:
Quais são os números que têm módulo menor que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é menor que 2)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
Quais são os números que têm módulo maior que 2?
(neste caso queremos saber que números cuja distância até o
zero é maior que 2)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4
37
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Podemos enunciar o que vimos através de duas
propriedades que já estudamos:
P7. x  a  a  x  a
P8. x  a  x  a ou x  a
38
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 1) Resolva a inequação x  7
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que
7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
-7
0
7
7  x  7
S   x  R 7  x  7
39
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 2) Resolva a inequação x  3
Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou
igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta:
-3
0
3
x  3 ou x  3
S   x  R x  3  x  3
40
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 3) Resolva a inequação 2x  3  5
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
5  2 x  3  5
Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações)
do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto:
5  3  2 x  3  3  5  3 Soma-se 3 a todos
os membros.
2  2 x  8
2 2x 8
 

2 2 2
1  x  4
divide-se todos os
membros por 2
S  1, 4
41
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 4) Resolva a inequação 3x  5  1
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
3x  5  1 ou 3x  5  1
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:
3x  5  1
3x  1  5
4
x
3
3x  5  1
3x  1  5
6


4
x
S   x  R x  ou x  2
3
3


x2
42
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) Resolva a inequação x 2  x  2
Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
x2  x  2 ou x2  x  2
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:
x x20
x x2 0
Raízes:
Raízes:
2
x2  x  2  0
   7 x  R
Est. do sinal:
+ + +
2
x2  x  2  0
x'  2
x '  1
Est. do sinal:
+ + +
+ + +
+ + +
1
– – –
2
x  1 ou x  2
43
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 5) Resolva a inequação x 2  x  2
Pronto, agora basta fazer a UNIÃO das duas respostas encontradas
(união por causa do “ou”):
x  R
x  1 ou x  2
1
2
1
2
S   x  R x  1 ou x  2
44
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a inequação x 2  4 x  3  3
Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que
aplicando a propriedades estudada, resulta:
3  x2  4 x  3  3
Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau:
3  x 2  4 x  3
x  4x  3  3
 x2  4 x  6  0
x2  4 x  0
Raízes:
Raízes:
x  4x  6  0
  12 x  R
2
Est. do sinal:
- - -
2
x  4x  0
2
x'  0
x'  4
+ + +
+ + +
0
– – –
4
0 x4
Est. do sinal:
- - -
45
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 6) Resolva a inequação x 2  4 x  3  3
Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃO das duas respostas
encontradas (intersecção por causa do “e”):
x  R
0 x4
0
4
0
4
S   x  R 0  x  4
46
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x  4  x  2  5
Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos:
 2 x  4, se 2 x  4  0
2x  4  
 2 x  4, se 2 x  4  0
 2 x  4, se x  2
2x  4  
 2 x  4, se x  2
 x  2, se x  2  0
x2 
 x  2, se x  2  0
Agora, vamos construir um
QUADRO SOMA para que
possamos obter a sentença
resultante da soma dos módulos.
 x  2, se x  2
x2 
 x  2, se x  2
47
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x  4  x  2  5
x2
2 x2
 2x  4
 2x  4
 3x  2
x6
2
x  2
 3x  2  5
 3x  3  1
3x  3 x  1
x2
2
2x  4
3x  2
2
2 x  2
x2
x65
 x  1  1
x 1
3x  2  5
3x  7
x  7/3
48
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x  4  x  2  5
Perceba que a inequação dada se transformou em outras três, e cada
uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de
x).Vamos rever os resultados encontrados e estas condições:
Resp.: x  1
Cond.: x  2
CONCLUSÃO:
faça a interseção dos
dois intervalos, e
perceba
que
a
resposta é VAZIO
(conjunto vazio).
Resp.: x  1
Resp.: x  7 / 3
Cond.:  2  x  2
Cond.: se, x  2
CONCLUSÃO: faça
a interseção dos dois
intervalos, e perceba
que resposta é:
CONCLUSÃO: faça
a interseção dos dois
intervalos, e perceba
que resposta é:
1 x  2
7
2 x
49 3
6. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 7) Resolva a inequação 2x  4  x  2  5
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
1 x  2
7
2 x
3
1
2
2
1
7
3
7
3
7

S  1  x  
3

50
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x  3  x
Neste caso, primeiro devemos definir o módulo:
 2 x  3, se 2 x  3  0
2x  3  
  2 x  3 , se 2 x  3  0
Agora, substitua na expressão
3

original o módulo por cada uma das
 2 x  3, se x  2
sentenças obtidas, gerando assim
2x  3  
2 x  3, se x  3 duas inequações, cada uma delas

2 com seu respectivo intervalo de
2 x  3  x 2 x  3  x variação (condição).
2x  x  3
x3
2 x  x  3
3 x  3
x 1
51
6. INEQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x  3  x
Perceba que a inequação dada se transformou em duas, e que você
já resolveu cada uma delas. E AGORA? Agora você precisa perceber
que cada uma dessas respostas possui uma condição (intervalo de
variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois:
2x  3  x
2x  x  3
x3
3
Cond.: x 
2
CONCLUSÃO: fazendo
a interseção dos dois
intervalos:
3
2
 x3
2 x  3  x
2 x  x  3
3 x  3
x 1
3
Cond.: x 
2
CONCLUSÃO: fazendo
3
a interseção dos dois
1  x  52
intervalos:
2
6. EQUAÇÃO MODULAR
Exemplo 8) Resolva a inequação 2 x  3  x
Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.
3
1 x 
2
3
 x3
2
3
2
1
3
2
1
3
3
S  1  x  3
53