Ensino Superior
Cálculo 3
4.1. Derivadas Parciais
Amintas Paiva Afonso
Funções de várias variáveis
Funções de várias variáveis
Cálculo Variacional x Cálculo Diferencial


A diferença básica entre esses dois cálculos é o domínio
dos respectivos objetos a serem otimizados.
Enquanto o domínio no cálculo diferencial são os números,
o do cálculos variacional são as funções (curvas).
Funções de várias variáveis
Exemplo 1
Qual dos números: 2, 3, 4, 5 ou 6 produz em f(x) = -x2 + 8x + 12
o valor máximo?
x=2
 f(x) = 24
x=3
 f(x) = 27
x=4
f(x)
 f(x) = 28
x=5
 f(x) = 27
x=6
 f(x) = 24
Funções de várias variáveis
Exemplo 2

Qual dos funções abaixo delimita uma área máxima sob seu
traçado quando integrada de 2 a 6?




f1(x)
f2(x)
f3(x)
f4(x)
=
=
=
=
180,18 lnx –121,13;
49,48x-95,21;
-228,57 sen .x/3 + 201,71;
6,18x2 – 20,98.
f1(x) 
f2(x) 
f3(x) 
f4(x) 
 A1= 482,0
6
A   f ( x)dx
2
 A2 = 410,9
A3 = 1.139,2
 A4 = 344,9
Funções de várias variáveis
Propriedades de curvas
Assim cada curva tem sua propriedade. Cabe escolher aquela que se adequa melhor ao projeto.
MATEMÁTICA
Curva
Propriedade
Uso em:
Catenária
f(x) = cos hx
Resistência
Cúpulas
Reta
f(x) = ax + b
Menor distância
Rotas
Ciclóide
y = a( - sen )
x = a(1 – cos )
Menor
Tempo
Relógios
Semicírculo
f ( x)  r 2  x 2
Maior
Área
Jóias
Parábola
f(x) = ax2 +bx + c
Focal
faróis
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais

Para este curso, discutiremos o caso de funções de duas
variáveis independentes, que permitem uma visualização
gráfica, possibilitado desta maneira, uma tradução de
maneira simples do conceito de derivadas parciais. Mas,
os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para
os casos de funções com um número maior de variáveis.
Funções de várias variáveis
Definição
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais, a derivada parcial
de f(x,y) em relação a x no ponto (x0,y0), designada por
f (x ,y ), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto
0 0
x
(x0,y0), mantendo-se y constante, Analogamente, em relação a y
aplicada no ponto (x0,y0), designando fpor
constante.
y
mantendo-se x
Funções de várias variáveis
Exemplo 1

Calcule a derivadas parciais da função f(x,y) = yx3 + xy2.
f
2
2
( x0 , y0 )  3 y0 x0  y0
x
f
3
( x0 , y0 )  x0  2 x0 y0
y
Funções de várias variáveis
Exemplo 2


xy3
Calcule as derivadas parciais da função f ( x, y)  x 
no ponto
3
4
(1,2).

1.º método
f
y3
3
 4x 
x
3
f 3xy2

 xy2
y
3
f
(2)3
8 20
3
(1,2)  4(1) 
 4 
x
3
3 3
f
(1,2)  1.22  4
y
Funções de várias variáveis
Exemplo 2

2.º método
Encontramos a derivada parcial de f(x,y) em relação a x no
ponto (1,2) fazendo y=2 e derivando a função para uma
única variável.
g ( x)  f ( x,2)  x 4 
8
3
8 20
g ' (1)  4  
3 3
g ' ( x)  4 x 3 
8x
3
Funções de várias variáveis

Analogamente, para x=1:
y3
h( y )  f (1, y )  1 
3
h' ( y )  y 2
h' (2)  4

Logo,
f
20
(1,2) 
x
3
e
f
(1,2)  4
y
Funções de várias variáveis
Interpretação geométrica


Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos
dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já uma
das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a
derivada da outra.
Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície
definida pelo gráfico de f com o plano x = x0 (ou y = y0).
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores

Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando
as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas
são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos.
Exemplo


Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)
= 2x3.e5y.
Temos que:
f
( x, y )  6 x 2 .e5 y
x
f
( x, y )  10x 3 .e5 y
y
Funções de várias variáveis


Portanto, a segunda derivada, em relação a x é:
2 f
5y
(
x
,
y
)

12
x
.
e
x 2
E a segunda derivada, em relação a y é:
2 f
3 5y
(
x
,
y
)

50
x
.e
y 2
Funções de várias variáveis

Ainda podemos calcular a segunda derivada da derivada parcial
em relação a y, calculada agora em relação a x:
2 f

( x, y)  (10x3e5 y )  30x 2 .e5 y
xy
x

E a segunda derivada da derivada parcial em relação a x,
calculada agora em relação a y:
2 f

( x, y)  (6 x 2e5 y )  30x 2 .e5 y
yx
y
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores


As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são
chamadas de puras ;
As duas últimas são chamadas de mistas.
Funções de várias variáveis
Notação

Se z=f(x,y), podem-se computar quatro derivadas parciais de
segunda ordem com suas respectivas notações de acordo
com as expressões abaixo:
 2 z  z

 z xx ( x, y)  f xx ( x, y )
2
x
x x
 2 z  z

 z yy ( x, y)  f yy ( x, y)
2
y
y y
2 z
 z

 z yx ( x, y)  f yx ( x, y)
xy x x
2 z
 z

 z xy ( x, y)  f xy ( x, y)
yx y x
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores

Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram
o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre
desde certas condições sejam satisfeitas.
Funções de várias variáveis
Derivadas Parciais de ordens superiores

Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram
o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre
desde certas condições sejam satisfeitas.
Proposição

Se f(x,y) está definida numa certa vizinhança de (x0,y0) e é tal
2
2

f

f

f

f existem e são contínuas nessa
que as derivadas
, ,
e
x y xy yx
2
2

f

f .
vizinhança, então

xy yx
Funções de várias variáveis
Regra da Cadeia


A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito
de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias
variáveis.
Suponha que a função P = p(x,y) com derivadas parciais
contínuas represente a quantidade produzida de um
determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua
vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t).
Funções de várias variáveis

A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de
acordo com a seguinte expressão:
P = p(x(t) , y(t)) = P(t)

A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por:
 p  dx  p  dy
P' (t )   .   .
 x  dt  x  dt
Funções de várias variáveis
Exemplo


Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função
R(x,y) = xy2, onde x e y representam as quantidades de dois
bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do
capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4k + 3l
e y = 3k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação
ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis.
Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as
seguintes derivadas parciais: R R x x y y .
,
,
,
,
e
x y k l k l
Funções de várias variáveis
Exemplo
R
 y 2  (3k  1) 2
x
R
 2 xy  2(4k  3l )(3k  1)
y
x
4
k
x
3
l
y
3
k
y
1
l
Funções de várias variáveis
Exemplo

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
R R x R y


 (3k  l ) 2 .4  2(4k  3l )(3k  l ).3
k x k y k
R R x R y


 (3k  l ) 2 .3  2(4k  3l )(3k  l ).1
l x l y l
Funções de várias variáveis
Aplicação

A temperatura no ponto (x,y) de uma placa de metal situada no
plano XOY é dada por: T = 10.(x2 + y2)2.


Determine a taxa de variação de T em relação à distância no
ponto (-1, 2) e na direção de OU;
Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do
eixo OX a temperatura aumenta ou diminui?
Funções de várias variáveis
Solução
T
T
 20( x 2  y 2 )2 y  40y( x 2  y 2 )
(1,2)  20(12  22 )2.2  40.2(12  22 )  400
y
y
T
T
 20( x 2  y 2 )2 x  40 x( x 2  y 2 )
(1,2)  20[( 1) 2  2 2 ]2.(1)  200
x
x
Funções de várias variáveis
Curvas de nível




As curvas de nível são maneiras de descrever, geometricamente,
o comportamento das funções de duas variáveis. A idéia básica é
semelhante ao mapeamento do relevo de um terreno.
Dando-se um valor particular para z, digamos z=c,obtemos uma
equação em duas variáveis f(x, y) = c.
Esta equação define uma curva no plano xy, que se chama uma
curva de nível da função f(x, y) referente ao valor c.
Esta curva é a projeção ortogonal sobre o plano xy da curvaintersecção do plano z=c com o gráfico da função z = f(x, y)
Funções de várias variáveis
Curvas de nível

Para traduzir um gráfico de z = f(x,y) em curvas de nível, basta
esboçar as curvas-intersecção de f(x,y) com z = c, para
diferentes valores de c.
Exemplo-1



Reconhecer e representar graficamente o gráfico da função
z = f(x,y) = x2 + y2.
Fazendo z=c, desde que c > 0, obtemos a equação: x2+y2=c.
c
Isto significa que a projeção no plano xy da curva-intersecção
do plano horizontal z = c com o gráfico da função possui tal
equação. Essa projeção é a circunferência de centro na origem e
raio
.
Como o corte z = c é um círculo, o gráfico desta função é um
parabolóide de revolução obtido pela rotação da parábola z = x2
em torno do eixo z.
Funções de várias variáveis
Exemplo 1
Funções de várias variáveis
Exemplo 1
Funções de várias variáveis
Exemplos de outras curvas
Funções de várias variáveis
Exemplos de outras curvas
Funções de várias variáveis
Gradiente de uma função

O gradiente de uma função f(x,y) num ponto (x0,y0), designado
por f(x0,y0) ou grad f(x0,y0), é o vetor livre cujas coordenadas
são:
f
( x0 , y 0 )
x
e
f
( x0 , y0 )
y
Funções de várias variáveis

Simbolicamente:
 f

f
f ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )
y
 x

Exemplo 2

Calcule o gradiente da função f(x,y) = 3x2y-x2/3.y2 no ponto
(1,3).
Funções de várias variáveis
Resolução

Calculemos a derivada parcial da função f(x,y) em relação a x
e y:
f
( x0 , y0 )  3x 2  2 x 3 y
y
2
1
3
f
2
( x0 , y0 )  6 xy  x y 2
x
3

 f

f
(1,3), (1,3)
y
 x

No ponto (1,3): f (1,3)  
1
f
2
(1,3)  6.1.3  (1) 3 (3) 2  18  6  12
x
3
2
f
2
(1,3)  3(1)  2(1) 3 (3)  3
y
Portanto, o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,3)
é o vetor f(1,3)=[12,-3].
Funções de várias variáveis
Gradiente de uma função
Convenciona-se representar este vetor com origem no ponto em relação
ao qual se calcula o gradiente.
Funções de várias variáveis
Gradiente de uma função

Dessas considerações é possível pensar num campo de vetores
gradiente de uma função, que podem ser representados
geometricamente por um conjunto de vetores que fornecem em
cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da função.
Funções de várias variáveis
Relação entre Gradiente Curvas de Nível

Dizemos que um vetor u é ortogonal a uma curva plana, dada
pelas equações paramétricas x = x(t) e y = y(t), se ele é
ortogonal ao vetor [x’(t), y’(t)], que é o vetor tangente à curva.
Teorema

O gradiente de uma função f(x,y) no ponto (x0,y0) é ortogonal à
curva de nível da função que passa por esse ponto.
Funções de várias variáveis
Prova



Os pontos (x,y) que satisfazem essa equação podem, por
pertencerem a uma curva plana, ser parametrizados por uma
variável t: x = x(t) e
y = y(t);
Como f(x0,y0) = C, então, f(x(t),y(t)) = C;
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a t,
obtemos, pela regra da cadeia:
f
f
[ x(t ), y (t )].x' (t )  [ x(t ), y(t )].y' (t )  0
x
y
Funções de várias variáveis
Prova



O primeiro membro dessa igualdade é o produto escalar dos
vetores f(x(t),y(t)) e [x’(t),y’(t)];
Mas, [x’(t),y’(t)] é o vetor tangente à curva de nível no ponto
(x(t),y(t));
Portanto, o gradiente da função f no ponto (x,y) é ortogonal ao
vetor tangente à curva de nível no ponto (x,y).
Funções de várias variáveis
Exemplo 3

Se f(x,y) = x2 + y2, então, g(x,y) = f(x,y) = 2x + 2y.

Calculado no ponto (a,b) teremos o vetor g(x,y) = f(x,y) =
= 2a + 2b.