Cálculo II
4. Derivadas Direcionais, Gradientes
e Pontos Críticos
Derivadas Direcionais
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis f(x,y) são
consideradas na direção do eixo x (fx) ou do eixo y (fy).
Quando se considera uma direção qualquer no domínio de f(x,y),
ou seja, no plano xy, têm-se a derivada direcional que vale:
f
f
f
fu 
 (cos .i  sen . j ).( .i  . j )
u
x
y
Foi considerada a direção do vetor unitário u, u = cosi + senj
.
Derivadas Parciais
Esta reta tangente tem
coeficiente angular fx(x0, y0)
A curva z = f (x, y0)
no plano x = xo
Esta reta tangente tem
coeficiente angular fy (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)
no plano y = yo
Derivadas Direcionais
Superfície S:
Reta tangente
Gradiente de uma função de várias variáveis
O segundo termo do produto escalar da
derivada direcional é o vetor gradiente.
f
f
Grad( f ( x, y )  f ( x, y )  .i  . j
x
y
Este vetor fornece a direção e sentido no qual
ocorre a maio variação da função de duas
variáveis.
Decréscimo mais
rápido de f
Aumento mais
rápido de f
Variação zero
de f
Curvas de Nível
A curva
Decréscimo mais
rápido de f
Exercícios
1) Se f(x,y) = 5x2 + 3y, ache o gradiente e o valor da função
no ponto (1,2). Ache tb a taxa de variação de f(x,y) na
direção que forma um ângulo de 25 graus com a direção do
eixo x neste ponto.
2) A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa
retangular situada no plano xy é determinada pela
expressão: T(x,y) = x2 + y2 .
(a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4)
na direção e no sentido que fazem um ângulo de 33 graus
com o eixo x positivo. (b) ache a direção e o sentido em que
a taxa de variação no ponto (-3,1) é máxima.
Pontos Críticos
Máximo e Mínimo Local:
a) f(a,b) é um valor máximo local de f(x,y), se f(a,b) > f(x,y)
para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto
centrado em (a,b).
b) f(a,b) é um valor mínimo local de f(x,y), se f(a,b) < f(x,y)
para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto
centrado em (a,b).
Nestes dois casos fx = fy = 0
Máximos e Mínimos
Máximo local
(não existe um valor de f maior próximo)
Superfície z = f(x, y)
Mínimo local
(não existe um valor de
f menor próximo)
Máximos e Mínimos
No Ponto de Sela.também fx = fy = 0
Pontos Críticos de f(x,y)
Critérios:
(a) Máximo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx < 0
(b) Mínimo: fxxfyy – (fxy)2 > 0 e fxx > 0
(c) Ponto de sela: fxxfyy – (fxy)2 < 0
(d) Teste inconclusivo: fxxfyy – (fxy)2 = 0
Exercícios
1) Encontrar os valores extremos locais da função
f(x,y) = xy - x2 - y2 - 2x - 2y+ 4.
2) Encontrar os valores extremos locais da função
f(x,y) = xy.