UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
UNOCHAPECÓ
CURSO DE ENGENHARIA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof.:Fernando Tosini
Chapecó - SC/2015.
SUMÁRIO
1 DERIVADA PARCIAIS
1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Denição de Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Função de Duas Variáveis Independentes z = f (x, y) . . . . . .
3
1.2.2
Função de Três Variáveis Independentes w = f (x, y, z) . . . .
5
1.2.3
Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . .
6
1.3 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Referências Bibliográcas
15
i
Capítulo 1
DERIVADA PARCIAIS
1.1 Introdução
Vamos relembrar o conceito de derivada de uma função variável. Consideremos
a função y = f (x) contínua em x, onde os pontos P e Q pertencem a função f (x), se
a função f (x) for uma curva, qualquer reta que passa pelos pontos P e Q, chama-se
secante. Conforme a gura.
A inclinação da reta secante é dada por:
1
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Cálculo Diferencial e Integral C
tan(θ) =
f (x + ∆x) − f (x)
∆y
=
∆x
∆x
(1.1)
Se zermos o ponto Q se aproximar de P sobre a curva dada, a inclinação da
reta secante vai se aproximar da inclinação da reta tangente à curva no ponto P , ou
seja, na medida que ∆x → 0, θ → α. Assim:
tan(α) = lim tan(θ)
θ→α
(1.2)
Substituindo a equação (1.1) em (1.2), temos:
tan(α) = lim
∆x→0
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
∆x→0
∆x
∆x
(1.3)
Supondo que exite o limite. Este limite representa a derivada da função y = f (x)
no ponto P , denotada por:
y ′ = f ′ (x) =
dy
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
= lim
dx ∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x
(1.4)
Geometricamente, a derivada de uma função y = f (x) no ponto P representa o
coeciente ângular(ou inclinação) da reta tangente t no dado ponto sob a curva, ou
ainda, uma taxa de variação de y em relação a x.
No caso de uma função z = f (x, y) de duas variáveis independentes, necessitamos
de um instrumento matemático semelhante para trabalhar com a taxa com que z
muda quando ambos x e y variam. A idéia chave é fazer com que apenas uma
variável por vez varie, enquanto a outra é mantida constante.
2
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1.2 Denição de Derivadas Parciais
1.2.1
Função de Duas Variáveis Independentes
z = f (x, y)
Consideremos uma função de duas variáveis independentes z = f (x, y), que
dene uma superfície S em uma região do domínio D ⊂ R2 . Tomando um ponto
P ′ (x, y) ∈ D e atribuindo um a x um acréscimo ∆x e a y um acréscimo ∆y de modo
que os pontos M (x + ∆x, y) e N (x, y + ∆y) pertence a D. Pelos pontos P e M
passa um plano paralelo ao plano - xz que intercepta a superfície S segundo a curva
C1 e pelos pontos P ′ e N passa um plano paralelo ao plano - yz que intercepta a
superfície S segundo a curva C2 . Conforme a gura.
Aplicando a relação tangente no triângulo P QS , obtemos a inclinação da reta
secante sec 2:
3
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tan(180◦ − β) =
PS
f (x, y) − f (x, y + ∆y)
=
∆y
SQ
(1.5)
Como tan(180◦ − β) = − tan(β), temos:
tan(β) =
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y
(1.6)
Quanto mais o ponto Q se aproxima do ponto P sobre a curva C2 , a inclinação
da reta secante vai se aproximar da inclinação da reta tangente tan 2 a curva C2 no
ponto P , ou seja, ∆y → 0 na medida que β → γ , Assim:
(1.7)
tan(γ) = lim tan(β)
β→γ
Substituindo a equação (1.6) em (1.7), tem-se:
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y→0
∆y
(1.8)
tan(γ) = lim
Supondo que o limite existe, então a tan(γ) é o coeciente ângular da reta tangente tan 2 a uma superfície num dado ponto em relação a y , ou seja, equivale a
denição de derivada parcial em relação a y :
∂z
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
= fy (x, y) = lim
∆y→0
∂y
∆y
(1.9)
A derivada parcial em relação a x, o processo de demonstração é análogo.
∂z
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
= fx (x, y) = lim
∆x→0
∂x
∆x
Notação de Derivadas Parciais
Seja z = f (x, y), então:
4
(1.10)
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fx =
∂f (x, y)
∂z
=
= Dx f (x, y)
∂x
∂x
fy =
Exemplo 1.1 Seja z = x2 y + 3x, determine
vadas parciais.
∂f (x, y)
∂z
=
= Dy f (x, y)
∂y
∂y
∂z ∂z
e
usando a denição de deri∂x ∂y
Observação: Para ganhar tempo, podemos aplicar as regras de derivação estudadas em Cálculo Diferencial e Integral I. Para isso, consideremos y constante
quando derivamos em relação a x, e x constante quando derivamos em relação a y .
Exemplo 1.2 Seja f (x, y) = x3 y2 − 2x2 y. determine:
a)
b) fx (2, −1) e fy (2, −1).
∂f ∂f
e
∂x ∂y
Exemplo 1.3 Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
a) f (x, y) =
Exemplo 1.4
1.2.2
√
x2 + y 2 − 2
b) z = xy 2 exy



2xy
, se (x, y) ̸= (0, 0)
∂f ∂f
3x2 + 5y 2
Seja f (x, y) =
Calcular
e .

∂x ∂y

0,
se (x, y) = (0, 0)
Função de Três Variáveis Independentes
w = f (x, y, z)
Consideremos uma função de três variáveis independentes w = f (x, y, z), que
dene um sólido S em uma região do domínio D ⊂ R3 . A derivadas parcias de uma
função de três w = f (x, y, z) é dada por:
Exemplo 1.5
∂z
f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
= fx (x, y, z) = lim
∆x→0
∂x
∆x
(1.11)
∂z
f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
= fy (x, y, z) = lim
∆y→0
∂y
∆y
(1.12)
∂z
f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)
= fz (x, y, z) = lim
∆z→0
∂z
∆z
∂w ∂w ∂w
,
e
.
Seja w = x2 y 3 sin(z), determine:
∂x ∂y
∂z
5
(1.13)
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1.2.3
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Para saber a quantidade de derivadas parciais de ordem superior de uma função,
podemos utilizar a seguinte fórmula:
N D = (V I)O
(1.14)
Onde:
N D é o número de derivadas parciais de ordem superior;
V I é o número de variáveis independentes da função;
O é a ordem das derivadas a serem determinadas.
Por exemplo:
Seja z = f (x, y) uma função de duas variáveis independentes. Através da fórmula
(1.14), o número de derivadas parciais de segunda ordem é igual a 22 = 4, ou seja:
Pelo teorema de Schwartz podemos dizer que as derivadas:
∂ 2z
∂ 2z
=
∂x∂y
∂y∂x
São chamadas de derivadas parcias de segunda ordem mista de f (x, y).
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Seja z = f (x, y) uma função de duas variáveis independentes. Através da fórmula
(1.14), o numéro de derivadas parciais de terceira ordem é igual a 23 = 8, ou seja:
Pelo teorema de Schwartz podemos dizer que as derivadas:
∂ 3z
∂3z
∂ 3z
=
=
∂x2 ∂y
∂y∂x2
∂x∂y∂x
∂3z
∂ 3z
∂ 3z
=
=
∂y 2 ∂x
∂x∂y 2
∂y∂x∂y
São chamadas de derivadas parcias de terceira ordem mista de f (x, y).
Seja w = f (x, y, z) uma função de três variáveis independentes. Através da
fórmula (1.14), o número de derivadas parciais de terceira ordem é igual a 33 = 27,
ou seja:
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Pelo teorema de Schwartz podemos dizer que as derivadas:
fxxy = fxyx = fyxx
fxyy = fyyx = fyxy
fxxz = fxzx = fzxx
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fzzx = fzxz = fxzz
fzyy = fyyz = fyzy
fyzz = fzzy = fzyz
fxyz = fxzy = fzyx = fzyx = fyzx = fyxz
São chamadas de derivadas parcias de terceira ordem mista de f (x, y, z).
Denição:
1. Uma função z = f (x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equação de Laplace:
∂2f
∂ 2f
+
=0
∂x2
∂y 2
(1.15)
2. Uma função w = f (x, y, z) diz-se harmônica quando satisfaz à equação de
Laplace:
∂ 2f
∂2f
∂ 2f
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.16)
Exemplo 1.6 Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
a) z = x4 − 3x3 y + 6x2 y 2 − 6y 4 + 2
Exemplo 1.7
b) z = xex−y + yex+y
∂ 3z
∂ 3z
∂ 3z
− 2 2 + 3 sendo z = x4 + sin(x + y) − y ln(x)
Calcule
2
∂y∂x
∂y ∂x ∂y
Exemplo 1.8 Verique se a função z = ex sin(y) + ey cos(x) é harmônica.
9
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1.3 Lista de exercícios
1. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem usando a denição de derivadas parciais.
(a) f (x, y) = x2 + y 2
(c) z = x2 + xy + y 2
(b) f (x, y) = x3 y 2 − 2x2 y + 3x
(d) z =
√
xy
2. Calcule as derivadas parciais indicadas.
(a) f (x, y) = 9 − x2 − 7y 3 ,
(b) f (x, y) = x2 yexy ,
fx (3, 1)
∂f (1, 1)
,
∂x
fy (3, 1)
∂f (1, 1)
∂y
3. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
(a) f (x, y) = 4ex
x2 − y 2
x2 + y 2
√
(e) w = arcsin( xy) + sin(yz)
2 y3
(d) z =
(b) f (x, y) = exy sin(4y 2 )
√
(c) z = x3 ln( x2 + y 2 )
(f) f (x, y, z) = xyzexyz



5xy 2
, se (x, y) ̸= (0, 0)
x2 + y 2
4. Seja f (x, y) =


0,
se (x, y) = (0, 0)
Calcular f (x, y) −
∂f
∂f
∂f
(1, 2) +
(1, 2) −
(0, 0).
∂x
∂y
∂x
5. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções.
(a) f (x, y) = xy 4 − 2x2 y 3 + 4x2
(b) f (x, y) = y 2 ex +
2
1
x2 y 2
6. Verique se as funções são harmônicas.
√
(a) f (x, y) = ln( x2 + y 2 )
(b) f (x, y) = e−x cos(y) + e−y cos(x)
7. Determine a equação do plano tangente e reta normal à superfície no ponto
dado:
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(a) z 2 = x2 + y 2 no ponto P (3, 4, 5)
(b) z =
√
x2 + y 2 no ponto P (5, 3)
(c) f (x, y) = x2 − 4y 2 no ponto P (5, −2)
(d) f (x, y) = x2 + y 2 − 4x − 6y + 9 no ponto P (2, 3, −4)
8. Dada a função f (x, y) =
(a)
x
+ x2 + y 2 com x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Calcule:
y
∂f ∂f
e
∂r ∂θ
∂x
∂r
(b) O valor do determinante Jacobiano: J = ∂y
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
9. A lei dos gases ideais pode sere enunciada como P V = kT , onde V é o volume,
T é a temperatura, P é a pressão e k é uma constante. Mostre que:
∂V ∂T ∂P
·
·
= −1
∂T ∂P ∂V
10. Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja representado por
100
, onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Determine
+ y2 + z2
a taxa instantânea de variação de V em relação à distância em (2, −1, 1) na
V =
x2
direção do:
(a) Eixo x
(b) Eixo y
(c) Eixo z
11. Quando um poluente tal como o óxido nítrico é emitido por uma chaminé de h
metros de altura, a concentração C(x, y) em µg/m3 do poluente em um ponto
a x km da chaminé e à altura de y metros pode ser representada por:
]
a [ −b(y−h)2 /x2
−b(y+h)2 /x2
C(x, y) = 2 e
+e
x
Em que a e b são constantes positivas que dependem das condições atmosféricas
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e da taxa de emissão do poluente. Suponha que
C(x, y) =
Calcule e interprete
]
200 [ −0.02(y−10)2 /x2
−0.02(y+10)2 /x2
e
+
e
x2
∂C ∂C
e
no ponto (2; 5).
∂x
∂y
12. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que pode ser exalado
após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo masculino x anos de idade
e y centímetros de altura, V pode ser aproximada pela fórmula:
V = 27, 63y − 0, 112xy
Calcule e interprete
∂V
∂V
e
.
∂x
∂y
13. No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura T (x, t) no
instante t (em horas) e à profundidade x (em metros) pode ser dada aproximadamente pela função:
T (x, t) = T0 e−λx sin(ωt − λx)
Em que T0 , ω e λ são constantes positivas.
(a) Calcule e interprete
∂T ∂T
e
.
∂t
∂x
(b) Mostre que T (x, t) verica a equação unidimensional do calor:
∂ 2T
∂T
=k 2
∂t
∂x
Em que k é um constante.
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Respostas
∂f
∂x
∂f
(b)
∂x
∂z
(c)
∂x
∂z
(d)
∂x
1. (a)
= 2x e
∂f
= 2y
∂y
= 3x2 y 2 − 4xy + 3 e
∂f
= 2x3 y − 2x2
∂y
∂f
= x + 2y
∂y
y
∂z
x
= √ e
= √
2 xy ∂y
2 xy
= 2x + y e
2. (a) fx (3, 1) = −6 e fy (3, 1) = −21
3. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
∂f (1, 1)
∂f (1, 1)
= 3e e
= 2e
∂x
∂y
∂f
∂f
2 3
2 3
= 8xy 3 ex y e
= 12x2 y 2 ex y
∂x
∂y
∂f
∂f
= yexy sin(4y 2 ) e
= exy (x sin(4y 2 ) + 8y cos(4y 2 ))
∂x
∂y
√
∂z
x4
∂z
x3 y
= 3x2 ln( x2 + y 2 ) + 2
e
=
∂x
x + y 2 ∂y
x2 + y 2
∂z
4xy 2
∂z
−4x2 y
= 2
e
=
∂x
(x + y 2 )2 ∂y
(x2 + y 2 )2
∂w
y
∂w
x
∂w
= √
,
= √
+ z cos(yz) e
= y cos(yz)
2
2
2
2
∂x
∂z
2 xy − x y ∂y
2 xy − x y
∂w
∂w
∂w
= yzexyz (1 + xyz),
= xzexyz (1 + xyz) e
= xyexyz (1 + xyz)
∂x
∂y
∂z
4. 12/5
{
5. (a) fx = y 4 − 4xy 3 + 8x →
{
fy = 4xy 3 − 6x2 y 2 →
fxx = −4y 3 + 8
fxy = 4y 3 − 12xy 2
fyx = 4y 3 − 12xy 2
fyy = 12xy 2 − 12x2 y

2
2

 fxx = 2y 2 ex + 4x2 y 2 ex +
2
2
(b) fx = 2xy 2 ex − 3 3 →
4

xy
 fxy = 4xyex2 +
3
x y2

4
2

 fyx = 4xyex + 3 3
2
2
xy
fy = 2yex − 2 3 →
6
2

xy
x
 fyy = 2e +
x2 y 4
13
6
x4 y 2
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6. (a) É harmônica.
7. (a) 3x + 4y − 5z = 0 e
(b) É harmônica.
x−3
y−4
z−5
=
=
3/5
4/5
1
√
√
x−5
y−3
z − 34
(b) 5x + 3y − 34z = 0 e √ = √ =
1
5/ 34
3/ 34
x−5
y+2
z−9
(c) 10x + 16y − z − 9 = 0 e
=
=
10
16
1
z+4
(d) z + 4 = 0 e
=0
1
(
)
(
)
∂f
1
−x
8. (a)
=
+ 2x cos(θ) +
+ 2y sin(θ)
∂x
y
y2
(
)
(
)
∂f
1
−x
=−
+ 2x r sin(θ) +
+ 2y r cos(θ)
∂y
y
y2
(b) J = r
9.
10. (a) −
100
9
(b)
50
9
(c) −
50
9
11.
∂C
≈ −36.58 (µg/m3 )/m é a taxa à qual a concentração varia na direção
∂x
horizontal de (2; 5).
∂C
≈ −0.229 (µg/m3 )/m é a taxa à qual a concentração varia na direção
∂y
vertical de (2; 5).
12.
∂V
= −0.112y ml/ano é a taxa à qual a capacidade pulmonar descresce com
∂x
a idade para um adulto homem.
∂V
= 27.63 − 0.112x ml/ano é dícil de interpretar porque em geral a altura
∂y
y de um adulto é xa.
∂T
= T0 ωe−λx cos(ωt − λx) é a taxa de variação da temperatura em
∂t
relação à profundidade x.
∂T
= −T0 λe−λx [cos(ωt − λx) + sin(ωt − λx)] é a taxa de variação da
∂x
temperatura em relação à profundidade no instante t.
ω
(b) Verica quando k = 2 .
2λ
13. (a)
14
Referências Bibliográcas
[1] SWOKOWSKI, Earl W.. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2, 2o edição,
São Paulo: McGraw.Hill, 1995.
[2] ANTON, Horward. Cálculo Diferencial. Vol. 2, 8o edição, Porto Alegre,Bookman, 2007.
[3] LEITHOLD Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2, 3o edição, São
Paulo: Harbra, 1994.
[4] RIGHETTO, Armando. Cálculo Diferencial Integral. São Paulo, Instituto Brasileiro de Edições Cientícas, 1981.
[5] PSIKOUNOV, N. Cálculo Diferencial Integral. 4. ed. São Paulo, McGraw-Hill
do Brasil, 1987.
15