MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES (MHS)
César Augusto
Por que estudar...
 Possibilita construir um modelo de movimento que pode ser
utilizado em diversas situações concretas.
 Permite conhecer e prever uma grande quantidade de
movimentos oscilatórios.
 Permite modelar microscopicamente o movimento de átomos e
moléculas.
 Faz com que se compreenda de que maneira dispositivos tais
como
sistemas
massa-mola
e
pêndulo
simples
realizam
movimentos periódicos e suas diversas aplicações tecnológicas.
1. INTRODUÇÃO
É possível medir a massa de
uma
apenas
pessoa
utilizando-se
um
cronômetro?
Como medir a massa de
um astronauta?
Body Mass Measuring Device (BMMD),
o Aparelho de Medida de Massa
Corpórea (AMMC) projetado pela NASA
para monitorar a perda de massa de
seus astronautas em microgravidade.
Foto retirada do site da NASA.
Oscilações (vibrações) são fenômenos físicos muito comuns na
natureza. Os carros oscilam para cima e para baixo quando passam num
buraco, os edifícios e pontes vibram quando caminhões pesados
trafegam nas suas proximidades ou quando o vento sopra forte.
Os pistões do motor de
carro ficam acoplados em
um eixo comum e realizam
um movimento oscilatório.
A alavanca de oscilação
transforma um movimento
circular num movimento
oscilatório regular.
As asas de um beija-flor
realizam um movimento
vibratório que se repete de
80 vezes por segundo.
Um movimento é considerado oscilatório quando um
corpo realiza um movimento de vai-e-vem em torno da
sua posição central, denominada posição de equilíbrio
estável.
Ex. Oscilador massa-mola
O
O
posição de equilíbrio
É todo movimento que se repete em intervalos de
tempo iguais.
Ex:
O movimento de translação e rotação da Terra;
Movimento Circular Uniforme (MCU)
O tempo necessário para o móvel percorrer
uma volta completa, chama-se período (T) do
movimento.
Ou seja, período é o intervalo de tempo
necessário que o movimento complete um
ciclo inteiro.
Num fenômeno periódico, chama-se
frequência (f) o número de vezes em que o
fenômeno se repete na unidade de tempo.
Matematicamente, pode-se mostrar que as
duas grandezas se relacionam pela expressão:
1
f 
T
• Relações entre as unidades de T e f:
Período (T)
s
min
h
Frequência (f)
RPS (hertz – Hz)
RPM
RPH
60 RPM = 1 RPS = 1 Hz
“1Hz é a frequência do movimento periódico
que executa 1 volta completa a cada 1s”.
É todo movimento retilíneo, oscilatório e
periódico.
Ex. Pêndulo Simples (pequenas oscilações)
& Oscilador massa-mola
a)
Amplitude ( A) – deslocamento
máximo em relação à posição de
equilíbrio produzido pela oscilação.
b) pulsação () – está relacionada a rapidez de
oscilação do movimento.
  2f
No S.I.:
[]  rad/s
Dependência de ω:
 Depende
da
massa
oscilante;
 Não
depende
da
amplitude de vibração.
c) Elongação (x)  qualquer posição ocupada durante a
oscilação.
No
ponto
de
equilíbrio:
x
=
0;
nas extremidades: x =  A (amplitudes).
Graficamente:
X
+A
0
-A
t
T
4
T
2
3T
4
T
• Pausa para testes:
1. Um motor executa 600RPM. Determine sua
frequência, em hertz, e seu período, em segundos.
2. Uma lâmina flexível está presa perpendicularmente a
um suporte, de acordo com a figura. Uma pessoa puxa
a extremidade livre da lâmina, soltando-a em seguida, e
a lâmina começa a vibrar.
a) Caso a lâmina demore 4s para
realizar 2 oscilações completas,
qual é a sua frequência em Hz e
em RPM?
b) Considerando o item anterior, qual é o período do
movimento em segundos?
c) Calcule, em rad/s, a pulsação de vibração da lâmina.
3. Um corpo está preso ao teto de uma sala por meio de
uma mola ideal, que está em equilíbrio; isto é, imóvel.
Uma pessoa puxa o corpo para baixo, deslocando-o
10cm de sua posição de equilíbrio. Sem a ação de
forças de atrito, o corpo começa oscilar, realizando 30
oscilações em 15s.
Pergunta-se:
a) Identifique a força responsável pelo movimento
oscilatório realizado pelo corpo após o puxão.
b) Calcule o período, em segundos, do movimento
descrito pelo corpo.
c) Calcule a frequência do movimento, em Hz e em
RPM, e a pulsação em rad/s.
d) Calcule
a
amplitude
do
comprimento da trajetória.
movimento
e
o
4. Uma partícula realiza um MHS, cujo gráfico da elongação x em
função do tempo t está representado abaixo.
Determine, em unidades SI, para esse MHS:
a) o período e a frequência do movimento;
b) a pulsação.
ESTUDO DO OSCILADOR HARMÔNICO MASSA-MOLA
𝒂
m: massa do oscilador
K: constante elástica da mola
A: amplitudes de oscilação
Pela 2ª Lei de Newton:
|𝐹| = m∙ |𝑎|  ma = -Kx
K∙x
a = −
m
Importante: “K” e “m” são valores
constantes do oscilador. Pode-se
𝐾
mostrar que a razão é igual a ².
𝑚
Assim:
𝑭: força elástica restauradora
𝒂: aceleração do MHS
: pulsação
T: período do oscilador
𝟐
𝐚=−𝛚 𝐱
Desta forma:
− ²x =
K∙x
−
m
 T = 2
𝑚
𝐾
=
𝐾
𝑚
 2f =
𝐾
𝑚
f=
1
T
(período do oscilador massa-mola)
Este resultado tem inúmeras aplicações. Dentre elas, destaca-se o
dispositivo para medida de massa corpórea dos astronautas. Em
condições de microgravidade o organismo e o corpo do ser humano
sofre bastante perda de massa, e é por isso que a NASA monitora
periodicamente essa perda de massa de seus astronautas.
Foto retirada do site da NASA. Mostra uma astronauta no BMMD executando as
oscilações. O sistema astronauta + BMMD é o já conhecido sistema massa-mola
também conhecido como Oscilador Harmônico. O movimento realizado pelo
sistema é um movimento harmônico simples (MHS).
Movimento Harmônico Simples é um movimento
periódico de um corpo em torno de um ponto de
equilíbrio
quando
submetido
a
uma
força
restauradora. Aaceleração desse movimento é dirigida
para a posição de equilíbrio, e sua intensidade é
proporcional à distância em relação à posição de
equilíbrio.
A Energia Mecânica pode ser dividida em duas
partes: A energia cinética EC, associada à velocidade “V” do
corpo massivo “m” e a energia potencial elástica Epe
associada à posição “x” da mola de constante elástica “K”.
m  V² K  x ²
E M  E C  E PE 

2
2
E C  0



2

K.A 
E

 PE

2 

-A

m.v 2 
E C 

2 

E  0 
 PE

0
E C  0



2

K.A 
E

 PE

2 

A
O pêndulo simples é um instrumento que consiste
num objeto que oscila em torno de um ponto fixo.
O braço executa movimentos alternados em torno
da posição central, chamada posição de equilíbrio.
O período T do pêndulo simples independe da
massa m do corpo massivo, dependendo
apenas do comprimento do fio L e da
aceleração da gravidade g.
L
T  2
g
Uma das aplicações mais comuns de um pêndulo é
seu uso para regular o funcionamento de um relógio, em
virtude de seu período manter-se invariável, sob
determinadas condições. A descoberta da periodicidade do
movimento pendular foi feita por Galileu Galilei.
• Pausa para teste:
Pense no que ocorrerá com o período pendularse:
a) Variarmos o comprimento (mantendo-se a gravidade constante) e;
b) Variarmos a gravidade local (mantendo-se o comprimento da corda
constante).
Enquanto uma partícula descreve um
MCU, sua projeção descreve um MHS.
• Equação da elongação (posição)
x
cos    x  A cos 
A
Porém :     t   0
Assim :
x  A cos(  t   0 )
 0 : fase inicial
• Equação da velocidade
V  VMCU sen (    t  0 )
Porém : VMCU  A
Assim :
V   Asen(  t  0 )
• Equação da aceleração
a  a MCU cos  (    t  0 )
Porém : a MCU  ² A
Assim :
a   ² A cos(  t  0 )
X
+A
V   Asen(  t ) (0  0)
V
+A
0
t
T
4
T
2
t
-A
T
3T
4
0
T
4
T
2
a   ²A cos( t) (0  0)
aceleração
-A
velocidade
elongação
x  A cos(  t ) (0  0)
a
+²A
0
-²A
t
T
4
T
2
3T
4
T
3T
4
T