Aula nº 32
Considerações energéticas relativamente ao movimento harmónico simples (MHS).
Sobreposição de dois MHS na mesma direcção. O movimento circular uniforme como
sobreposição de dois MHS.
Considerações energéticas relativamente ao movimento harmónico simples
Vimos na aula anterior que um oscilador harmónico simples é uma partícula
cuja lei de movimento é da forma
x (t ) = A cos(ωt + ϕ )
(32.1)
sendo, consequentemente, a sua velocidade, que é a derivada de x em ordem ao
tempo,
v (t ) = − Aω sin(ωt + ϕ ) .
(32.2)
A força responsável pelo movimento é a força elástica F = − kx , a qual depende
unicamente da posição. Trata-se, portanto, de uma força conservativa, à qual podemos
associar uma energia potencial. De resto, vimos já na aula nº 10 que a energia
potencial associada à força elástica é da forma [ver Eq. (10.8)]
Ep =
1 2
kx .
2
(32.3)
À medida que a posição da partícula vai variando, a energia potencial varia também.
Mas a energia total não varia. De facto, a energia mecânica, que é a soma da energia
cinética e da energia potencial, permanece constante e igual ao valor que tiver no
instante inicial. Inserindo x(t) dado por (32.1) na expressão da energia potencial (32.3)
encontra-se
Ep =
A energia cinética é E c =
velocidade obtém-se
Ec =
1 2
kA cos 2 (ωt + ϕ ) .
2
(32.4)
1 2
mv . Inserindo nesta expressão a expressão (32.2) para a
2
1
1
mω 2 A2 sin 2 (ωt + ϕ ) = kA2 sin 2 (ωt + ϕ ) ,
2
2
(32.5)
tendo-se utilizado a relação (31.5) entre massa, constante elástica e frequência
angular: ω =
k
. A energia mecânica, que é a soma da energia cinética e da energia
m
potencial, pode então escrever-se, a partir de (32.4) e de (32.5),
1
Em = Ec + Ep =
[
]
1 2
1
kA sin 2 (ωt + ϕ ) + cos 2 (ωt + ϕ ) = kA2
2
2
(32.6)
Como se constata, a energia mecânica é independente do tempo. Esta energia é igual à
energia potencial para x = ± A , ou seja, nos pontos de retorno do oscilador e que são
os pontos de afastamento máximo. Nesses pontos a energia cinética da partícula
anula-se e toda a energia mecânica é energia potencial elástica.
Na Fig. 32.1 representam-se os dois tipos de energia − cinética e potencial −
em função do tempo. A energia total, que é a soma das duas, mantém-se constante.
Como mostra a Fig. 32.1, quando a energia cinética é máxima a potencial é mínima e
vice-versa.
Energia potencial
Energias
Energia cinética
Energia mecânica
0
t
Figura 32.1
Também é útil ver como variam os diversos tipos de energia ao longo do espaço. A
representação da energia potencial elástica em função de x é uma parábola (ver Fig.
10.6). Como sabemos que a energia mecânica se mantém constante, e igual a
1
E m = kA2 , a energia cinética, que é esta energia menos a energia potencial, vem
2
1
então Ec = k (A2 − x 2 ) . Graficamente esta função de x também é uma parábola.
2
Na Fig. 32.2 representa a energia cinética e a energia potencial em função da
coordenada x. A energia cinética é máxima na origem e nula nos pontos x = ± A . Ao
contrário, a energia potencial é máxima nestes dois pontos de afastamento máximo e é
nula em x = 0 .
2
Energia potencial
Energias
Energia cinética
Energia mecânica
-A
0
x
A
Figura 32.2
Sobreposição de dois movimentos harmónicos simples na mesma direcção
Se duas forças elásticas actuarem numa mesma partícula a sua lei do
movimento x (t ) é a que resulta da soma das duas funções x1 (t ) e x 2 (t )
correspondentes a cada uma das forças elásticas caso actuassem separadamente. Em
geral, estas duas funções são independentes. Mas vamos considerar o caso particular
de terem a mesma frequência (o que se verifica quando as duas constantes elásticas
são iguais) embora tenham amplitudes e fases na origem diferentes, ou seja
x1 (t ) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) , x 2 (t ) = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) .
(32.7)
Temos, pois, que
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ 2 ) .
(32.8)
Um caso particularmente simples é as duas fases serem iguais: ϕ 1 = ϕ 2 = ϕ . A
Eq. (32.8) fica então
x (t ) = A1 cos(ωt + ϕ ) + A2 cos(ωt + ϕ ) = ( A1 + A2 )cos(ωt + ϕ ) .
(32.9)
O movimento harmónico simples resultante tem uma amplitude que é a soma das duas
amplitudes, como se ilustra na Fig. 32.3.
3
1.5
x(t)
1.0
x2(t)
0.5
x
x1(t)
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
2
4
t/s
6
8
10
Figura 32.3
Também se tem uma situação particularmente simples quando os dois movimentos
estão desfasados de π , ou seja, quando ϕ 1 = ϕ ;ϕ1 = ϕ ± π . Como
cosα = − cos(α ± π ) , a Eq. (32.8) reduz-se a
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) = A1 cos(ωt + ϕ ) + A2 cos(ωt + ϕ ± π ) = ( A1 − A2 )cos(ωt + ϕ ) (32.10)
Ao contrário da situação anterior, a nova amplitude é a diferença das amplitudes, ou
melhor, o módulo dessa diferença A1 − A2 já que a amplitude é positiva por
definição. A Fig. 32.4 ilustra este caso.
1.5
x2(t)
1.0
x1(t)
x
0.5
x(t)
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
2
4
t/s
6
8
10
Figura 32.4
4
A situação complica-se quando a diferença de fase não é 0 nem π . Usando
várias relações da trigonometria pode-se concluir que, em geral, a soma de duas
funções sinusoidais com a mesma frequência é ainda uma função sinusoidal com essa
mesma frequência, ou seja, da Eq. (32.8) pode escrever-se
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) = A cos(ωt + ϕ ) ,
(32.11)
sendo a amplitude e a fase são dados, respectivamente, por
A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ 2 )
tan ϕ =
(32.12)
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
.
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
(32.13)
Deixa-se como exercício para o leitor a obtenção dos resultados para os dois casos
particulares anteriormente considerados a partir destas expressões gerais. A soma de
duas funções sinusoidais faz-se numericamente sem qualquer dificuldade, mas a
dedução analítica da amplitude (32.12) e da fase (32.13) é trabalhosa. A Fig. 32.5
mostra as duas funções x1 (t ) e x 2 (t ) , com a mesma frequência angular mas diferentes
fases na origem e amplitudes, e a sua soma, x (t ) . Voltaremos ainda a este assunto no
final da aula.
1.0
x2(t)
x
0.5
x1(t)
x(t)
0.0
-0.5
-1.0
0
2
4
t/s
6
8
10
Figura 32.5
Movimento circular uniforme como sobreposição de dois MHS
O movimento circular uniforme, que foi estudado na 4ª aula, tem uma relação
muito próxima como o movimento harmónico simples. É essa relação que vai ser
agora apresentada.
5
Uma partícula com movimento harmónico simples pode ser descrita por um
vector posicional r (t ) com origem no centro da circunferência que a partícula
descreve ao longo da sua trajectória. O vector r (t ) roda com velocidade angular ω
(velocidade angular da partícula). Designemos por θ o ângulo que o vector faz com
uma direcção de referência, por exemplo, o eixo dos xx (sentido positivo), como
mostra a Fig. 32.6.
y
ω
y(t)
r
θ
x(t)
x
Figure 32.6
O ângulo θ e a frequência angular ω relacionam-se através de θ = ωt + θ 0 , em que
θ 0 é o valor do ângulo θ no instante inicial. Designemos o módulo de r por A:
r = A . As duas projecções do vector posicional da Fig. 32.6 nos dois eixos
coordenados permitem escrever:
x (t ) = A cos(ωt + θ 0 )
(32.14)
y (t ) = A sin (ωt + θ 0 ) = A cos(ωt + θ 0 − π2 )
(32.15)
(lembrar que as funções seno e co-seno diferem de uma fase
π
). As duas equações
2
anteriores mostram que, segundo x ou segundo y, o movimento é harmónico simples
com a mesma frequência. A amplitude dos dois movimentos é também igual mas há
π
uma diferença de fase
. Podemos portanto concluir que o movimento circular
2
uniforme é a sobreposição de dois movimentos harmónicos simples em direcções
perpendiculares. Esta conclusão pode ser visualizada, por exemplo, com o esquema da
Fig. 32.7, em que um objecto em movimento circular uniforme é iluminado,
projectando-se a sua sombra num plano. O movimento da sombra é harmónico
simples. O movimento da sombra projectada num ecrã perpendicular ao da figura
(com a luz a vir também de uma direcção perpendicular à considerada) seria também
harmónico simples.
6
ecrã
-A
ω
A
0
luz
Figura 32.7
Quando se estuda o movimento harmónico simples é sempre útil o recurso a
um diagrama como o da Fig. 32.6. Também a situação da secção anterior da
sobreposição de dois movimentos harmónicos simples na mesma direcção fica mais
clara com recurso a uma figura como a Fig. 32.6. Cada um dos movimentos
harmónicos simples (32.7) pode ser representado por um "fasor". A soma (32.11) é
representada pela soma vectorial destes dois fasores (Fig. 32.8).
y
ω
r
A
r2
ϕ2
x2
A2
ϕ
ϕ1
r1
x1
x
x
A1
Figura 32.8
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