FACEC – CES
Física II
MHS – Relação com MCU – Funções Horárias
Prof. Aloísio Elói
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Para pequenas oscilações: o período de um pêndulo simples só depende do comprimento do fio e da aceleração da gravidade, não
sendo afetado pela massa pendular. É isócrono.
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Período do pêndulo simples: T
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Força elástica:
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EP = U = kX 2 / 2 . Energia cinética: EC = K = mv 2 / 2 . Energia mecânica: E = U + K .
Posição: X = A cos(ωt + φ ) .
Velocidade: v = −ω Asen (ωt + φ ) .
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Aceleração: a = −ω A cos(ωt + φ ) .
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Lembrar:
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= 2π ℓ g . Período do sistema massa-mola: T = 2π m k
Fs = − kX .
Energia elástica:
ω = 2π f = 2π / T = k m
(Veloc. angular ou freqüência angular).
Pêndulo simples
Sistema massa-mola
Relação MCU -MHS
Posição: X = A cos(ωt + φ )
Velocidade: v = −ω Asen (ωt + φ )
Aceleração:
a = −ω 2 A cos(ωt + φ )
Exercícios
01) Um pêndulo simples, de comprimento 90 cm, realiza pequenas oscilações num local onde g = 10 m/s2. Determine o período e a
freqüência das oscilações.
02) O período de oscilação de um pêndulo simples vale, na Terra, 2 s. Se o mesmo for levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade
é cerca de um sexto da (aceleração da gravidade) da Terra, qual será o seu período de oscilação?
03) O pêndulo dos relógios de parede é chamado de pêndulo que “bate segundos”, pois seu período deve ser de 1 segundo. Qual deve ser
o comprimento da haste num local onde g = 10 m/s2?
04) Sabe-se que a aceleração da gravidade do planeta Júpiter é cerca de 2,7 vezes maior que a da Terra. Se um pêndulo que tem período
de oscilação de 4 s, na Terra, for levado a Júpiter, qual será o seu novo período de oscilação?
05) Uma partícula de massa 0,2 kg, presa a uma mola de constante elástica 40 N/m, está executando um MHS, com extremos nos pontos
A e B, conforme a figura. Sabendo que o corpo gasta 0,22 s para ir de A a B,
determine:
a) a amplitude do movimento;
b) o seu período;
c) a sua freqüência;
d) o valor da força elástica que a mola exerce sobre a partícula, quando estiver na
posição X = - 10 cm;
e) a aceleração escalar instantânea da partícula quando estiver na posição X = + 8 cm.
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06) Uma partícula de 0,4 kg está presa a uma mola de constante elástica 10 N/m e
executando um MHS, conforme a figura. Sabe-se que ela gasta 0,63 s para ir do ponto
M ao ponto N, extremos do seu movimento. Determine:
a) sua amplitude;
b) seu período;
c) a intensidade da força elástica que atua sobre a partícula quando ela estiver passando
pela posição X = + 10 cm;
d) a aceleração escalar da partícula no instante em que ela estiver passando pela posição X = - 20 cm.
07) A figura ilustra uma partícula de massa m = 0,5 kg, oscilando em torno da
posição O, com MHS. Desprezando as forças dissipativas e sendo k = 200 N/m a
constante elástica da mola, determine:
a) a energia mecânica total do sistema;
b) a velocidade da partícula ao passar pela posição de equilíbrio;
c) a velocidade da partícula no instante em que ela passa pela posição X= + 10 cm.
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08) Uma partícula de massa m = 0,1 kg está oscilando em torno
da posição O, com MHS, conforme mostra a figura. A energia
mecânica total do sistema vale 0,8 J. Sendo de 40 N/m a
constante elástica da mola e supondo desprezíveis o atrito e a
resistência do ar, calcule:
a) a amplitude do MHS;
b) o valor absoluto da velocidade máxima da partícula;
c) a velocidade da partícula quando ela está passando pela posição X = - 10 cm.
09) Uma partícula realiza um MHS de função X = 10.cos(πt/4 + π/2), no CGS. Determine:
a) a amplitude, a pulsação (w) e a fase inicial;
b) o período e a freqüência do movimento.
10) Uma partícula em MHS de amplitude 0,3 m, tem velocidade máxima de π m/s (em valor absoluto).
a) Determine o período do MHS.
b) Escreva as funções horárias do alongamento, da velocidade e da aceleração, sabendo que a fase inicial do movimento é nula.
11) Uma partícula realiza MHS de período 12 s e amplitude 20 cm. Determine a posição, a velocidade e a aceleração, 2 s após ela ter
passado pela posição - 10 cm com velocidade negativa.
12) Uma partícula realiza um MHS de função X = 10.cos(πt/2 + π), no CGS. Determine:
a) a amplitude, a pulsação e a fase inicial;
b) o período e a freqüência do movimento.
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13) Um móvel com MHS obedece à função horária X = 7.cos (0,5 πt ), onde X é medido em centímetros
e t em segundos. Determine o tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a
posição de elongação máxima.
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14) Uma partícula realiza MHS de período 12 s e amplitude 5cm. Determine a elongação, a velocidade
e a aceleração 1 s após ela ter passado pelo ponto de alongamento – 2,5 cm com velocidade positiva.
15) Um ponto P percorre uma circunferência de raio R com velocidade angular constante w. No instante
t = 0, o ponto se encontra na posição A, indicada na figura.
a) Qual a equação horária do movimento do ponto Q, projeção de P sobre o eixo x?
b) Para que valor de x a velocidade de Q é máxima?
16) Determine o período de oscilação de um corpo de massa 200 g preso a uma mola de constante elástica 320 N/m,
cujo MHS tem amplitude de 20 cm. Caso a amplitude se reduza à metade, o que ocorre com o período?
OBS: Quando duas molas de constantes elásticas k1 e k2 são associadas em série a constante equivalente k é dada por
1 1 1
e quando são associadas em paralelo por k = k1 + k2 .
= +
k k1 k2
Molas em
Molas em série
paralelo
Molas em paralelo
17) As constantes elásticas das molas 1 e 2 ligadas conforme a figura (em série) valem, respectivamente, 20 N/m e 80
N/m. A massa do corpo suspenso na extremidade vale 1 kg. Calcule:
a) a constante elástica da mola equivalente do sistema.
b) o período das oscilações realizadas pelo sistema.
c) o alongamento total do sistema devido ao peso do corpo.
18) Calcule o período de oscilação de um corpo de 500 g preso a uma mola de constante elástica 50 N/m, em MHS.
19) Um corpo de massa igual a 0,1 kg efetua um MHS. Para produzir, estaticamente, a elongação de 0,05 m, é necessário
aplicar ao corpo uma força de 0,2 N. Determine o período do movimento. Adote π2 = 10.
Questão 17
20) Sabe-se que as molas da figura têm constantes elásticas k1 = 50 N/m e
k2 = 30 N/m, respectivamente. O corpo tem massa 5 kg. Determine:
a) a constante elástica da mola equivalente ao sistema.
b) o período da oscilação realizada pelo sistema.
c) a força necessária para deslocar o corpo de 10 cm para a direita.
Questão 20
Gabarito
01 T ≅ 1,88s ,
f ≅ 0,53Hz
03 ℓ ≅ 25cm
05 a) A* = 10 cm; b) T = 0,44 s; c) f ≅ 2, 27 Hz
06 a) 20 cm; b) 1,26 s; c) 1 N; d) – 5 m/s2
08 a) 0,2 m; b) 4 m/s c) V ≅ ±3, 46m / s
09 b) T = 8 s; b) f= 0,125 s
10 b2) v = −π sen(10π t 3) (SI)
11 x = - 20 cm; b) v = 0; c) a = (5π 2 9)cm / s 2
12
14
16
18
20
b) T = 4 s; b) f = 0,25 s
x = 0 ; v = v = (5π 6) cm / s ; a = 0
a) T = (π 20) s ; b) Continua o mesmo.
T = (π 5) s
a) k = 20 N/m; b) T = (π 2) s ; c) F = 8 N
02 T ≅ 4,9 s
04 T ≅ 2, 43s
05 d) F = 4 N; e) a = - 16 m/s2
07 a) E = 4 J; b) Vmáx = ±4m / s ; c) V ≅ ±3, 46m / s
09 a) A = 10 cm; b) ω = π 4 rad / s ; c) φ = π 2rad
10 a) T = 0,6 s; b1) x = 0,3cos(10π t 3) (SI)
10 b3) v = −(10π 2 3) cos(10π t 3) (SI)
12 a) A= 10 cm; ω = (π 2)rad / s ; φ = π rad
13 t = 1 s
15 a) x = R cos(ωt + π / 4) ; x = 0
17 a) k = 16 N/m; b) T = (π 2) s ; c) x = 62,5 cm
19 T = 1 s