Eletricidade A - ENG04474
AULA IX
Senóides
 Período : T
 Tempo necessário para se percorrer um ciclo
 Freqüência: f = 1/T
 Ciclos por segundo
 Freqüência Angular: w = 2p f
 Amplitude: VM
Exemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência
angular da senóide abaixo
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fase
 Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma v=VMsen(wt+ )
quais são os valores de  para as três senóides, tomando uma
senóide v=VPsen(wt) como referência.
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fase em Atraso ou em Adianto
x1 (t )  X M1 coswt   
x2 (t )  X M 2 coswt   
x1(t) está adiantado em relação a x2(t) de -
x2(t) está atrasado em relação a x1(t) de -
Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria
de negativo para positivo antes?
Circuitos RLC com Excitação Senoidal
 Resposta Transitória e de Regime Permanente
 Exemplo (RL - fonte senoidal)
R
+
-
i(t)
L
V1
Vpcos(wt)
it  
L
Vp
R 2  wL 
2
 V cos  
  Lt
coswt      p
 iL 0 e R


2
2


R

w
L


Resposta Permanente
A Amplitude da corrente depende
da amplitude da fonte, de R, de L e
da freqüência w da fonte
A corrente está defasada em
atraso  radianos em relação a
cossenóide da fonte
di
 Ri  Vp coswt 
dt
 
wL
R
Reposta Transitória
ou Natural
Circuitos RLC com Excitação Senoidal
 Exemplo - Forma de onda da Resposta
it  
Vp
R 2  wL 
2
 V cos  
  Lt
coswt      p
 iL 0 e R


2
2


R

w
L


Regime Transitório
V1(t)
i(t)
 
wL
R
Regime Permanente
5
4
Forma de
onda da
Fonte V1(t)
3
2
1
0
-1
Forma de
onda da
Corrente
i(t)
-2
-3

-4
-5
0
50
100
150
200
250
300
t
Circuitos RLC com Excitação Senoidal
 Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com
fontes senoidais de freqüência “w” terá todas as correntes e
tensões em seus dispositivos
 possuindo forma de onda senoidal de freqüência “w” igual a das fontes
 defasadas  radianos em atraso ou adianto com relação as fontes
  depende da estrutura e dos elementos do circuito
 amplitudes dependentes da freqüência w, da amplitude das fontes e
dos valores dos dispositivos R, L e C
Sabendo disso, seria possível obter
a Resposta em Regime
Permanente para Excitação
Senoidal sem precisar resolver
uma equação diferencial ???
Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal
 Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente,
tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação
a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual
será.
Fonte
Vpsen(wt)
CIRCUITO
RLC
Tensão ou
Corrente do
circuito em RP
AP sen( wt +  )
Fase ?
Amplitude ?
 Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são
obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito.
Preciso escrever e
resolver uma Equação
diferencial!!??
Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal
Boas Novas!!!
 Não é preciso escrever a equação diferencial do
circuito nem ao menos resolve-la para se obter a
amplitude e fase de uma tensão ou corrente em RP
em um circuito com excitação senoidal.
 Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e
IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS
 Fasores e Impedâncias Complexas convertem um
problema envolvendo equações diferenciais em um
problema envolvendo equações algébricas
FASORES
 FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que
representa a amplitude e a fase de uma tensão ou
corrente senoidal
X M coswt   
X  X M 
Domínio Tempo
Domínio Freqüência
Impedância Complexa
 A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre
um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no
elemento (expressa como Fasor)
 A impedância é um número complexo
 O valor da impedância normalmente depende da freqüência
 Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de
Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de
correntes e correntes a partir de tensões
Como?
Melhor ver esses
Números Complexos...
Números Complexos
eixo
imaginário
 x é a parte real
 y é a parte imaginária
 z é a amplitude ou
magnitude
  é a fase
y

eixo
real
x
 Coordenadas Polares: A = z  
 Coordenadas Retangulares: A = x + jy
PR
x  z cos
RP
z x y
2
2
y  z sen 
y
  tan
x
1
Representando Formas de Onda
Senoidais como Fasores
 Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo
X = z   = x + jy
 Um sinal senoidal é uma função do tempo
x(t) = z cos (wt + )
Exemplo:
Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:
X = -1 + j2
V = 104V - j60V
A = -1mA - j3mA
Aritmética com Números Complexos
 Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente
é necessário que saibamos proceder operações
aritméticas básicas com números complexos:
 Soma
 Subtração
 Multiplicação
 Divisão
Será que
lembro disso?
É melhor dar
uma olhada!
Soma e Subtração
(melhor na forma retangular)
 Soma
 Subtração
 Subtração é mais facilmente
feita em coordenadas
retangulares
A = x + jy
B = z + jw
A = x + jy
B = z + jw
A + B = (x + z) + j(y + w)
eixo
imag.
A - B = (x - z) + j(y - w)
eixo
imag
.
A+B
B
A
B
eixo
real
A
A-B
eixo
real.
Multiplicação e Divisão
(melhor na forma polar)
 Multiplicação
 Divisão
 Multiplicação é mais facilmente
feita em coordenadas polares
 Divisão é mais faclmente feita
em em coordenadas polares
A = AM  
B = BM  
A = AM  
B = BM  
A  B = (AM  BM)  (  )
A / B = (AM / BM)  (   )
eixo
imag.
eixo
AB
imag.
B
B
A
A
eixo
real
eixo
real
A/B
Exponencial Complexa
 Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a
parte real de uma exponencial complexa
 Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as
funções senoidais do tempo e os fasores.
 Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito
RLC em regime permanente para excitação senoidal um
problema algébrico
Exponenciai
s Complexas
Funções
Senoidais
FASORES
Exponenciais Complexas
 Um número complexo (FASOR) A = z   pode ser
representado como:
A = z   = z ej = z cos  + j z sen 
 A exponencial complexa básica é:
ejwt = cos wt + j sen wt
 O que você obtêm ao multiplicar A por ejwt e tomar a
parte real deste produto?
Exponenciais Complexas
Aejwt = z ej ejwt = z ej(wt+
z ej(wt+ = z cos (wt+ + j z sen (wt+
Re[Aejwt] = z cos (wt+
Senóides, Exponenciais Complexas e
Fasores
 Senóide:
z cos (wt+
 Exponencial Complexa:
Aejwt = z ej(wt+
O que se
ganha com
tudo isso???
 Fasor:
A=z
z cos (wt+  Re{z ej(wt+}= Re{Aejwt}
Relações entre os Fasores associados aos
Bipolos de um Circuito
 Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre
tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma
bastante semelhante a que usamos para expressar a
relação entre tensão e corrente em Resistores.
 A exponencial complexa é a ferramenta matemática
utilizada para obter tais relações.
COMO??
?
Relação V-I Fasorial para o Capacitor
i(t)
+
v(t)
C
dv(t )
i(t )  C
dt
Suponha que v(t) seja uma senóide:
v(t) = VM cos(wt+ ) = Re[VM ej(wt+] Re[Vejwt]
Determine i(t):
Calculando a Corrente
dReVM e jwt  j ]
RedVM e jwt  j ]
dv(t )
i(t )  C
C
C
dt
dt
dt




 
i(t )  Re jwCV M e jwt  j  Re jwCVe jwt  Re Ie jwt
 Representando na forma FASORIAL
i(t)
+
v(t)
-
v(t )  ReVM e jwt  j 
C
I

i(t )  RejwCV M e jwt  j  
V  VM 
I  jwC V
A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor) tornase uma multiplicação por jwC na relação entre I e V
+
V
-
C
Exemplo
Sendo:
v(t) = 120V cos(377t + 30)
C = 2mF
Qual é a representação Fasorial de v(t) e i(t) e a expressão de i(t)?
V=?
I=?
i(t)=?
Quantos graus v(t) está defasado de i(t)?
Quem está adiantado em relação a quem?
Relação V-I no Indutor
i(t)
+
v(t)
L
di(t )
v(t )  L
dt
 Representando na forma FASORIAL
i(t)
+
v(t)
-
i(t )  ReI M e jwt  j 
L

v(t )  RejwLI M e jwt  j  
I
I  I M 
V  jwL I
A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor) torna-se
uma multiplicação por jwL na relação entre V e I
+
V
-
L
Exemplo
Sendo:
i(t) = 1mA cos(2p 9.15 107t + 30)
L = 1mH
Qual é a representação Fasorial de i(t) e v(t) e a expressão de v(t)?
I=?
V=?
v(t)= ____cos(2p 9.15 107t + ____)
Quantos graus v(t) está defasado de i(t)?
Quem está adiantado em relação a quem?
Relação V-I no Resistor
i(t)
+
R
v(t)
v(t )  Ri(t )
 Representando na forma FASORIAL
i(t)
+
v(t)
-
i(t )  ReI M e jwt  j 
R
v(t )  ReRI M e jwt  j 
I


I  I M 
V  RI
A multiplicação por R na relação entre v(t) e i(t) torna-se
uma multiplicação por R na relação entre V e I
+
V
-
R
Impedância
 A análise de um circuito com excitação senoidal, em
regime permanente, usando FASORES, nos permite
expressar as relações entre corrente e tensão nos
elementos R, L e C com uma fórmula similar a
utilizada na lei de Ohm.
V=ZI
Z é chamada de IMPEDÂNCIA
Resistor
Indutor
V=RI
V=jwLI
Z=R
Z= jwL
Capacitor
1
V=
I
jwC
Z= 1
jwC
Reflexões sobre IMPEDÂNCIA
 Impedância (geralmente) depende da freqüência
 Impedância (geralmente) é um número complexo
 Impedância NÃO É um FASOR (Porque?)
 O conceito de Impedância e Fasor nos permite analisar
circuitos RLC lineares com excitação senoidal, em regime
permanente, com as mesmas técnicas empregadas para
analisar circuitos puramente resistivos.
SERÁ mesmo que se pode?
Para isso as leis de Kirchhoff
deveriam ser respeitadas na operação
com FASORES. Será que são?
Leis de Kirchhoff e Fasores
n
 Leis das Tensões nos Laços.
i
i 1
- vn(t) +
v2(t)
+
+
v1(t)
-
v t   0
v1 t   v2 t     vn t   0
ReVM 1e jwt  j 1   ReVM 1e jwt  j 2    ReVMn e jwt  jn   0


Re V1  V2    Vn ]e jwt  0
V1  V2    Vn  0
n
v t   0
i
i 1
n

V  0
i
i 1
É equivalente!!
Leis de Kirchhoff e Fasores
n
 Lei das Correntes nos Nós
i1(t)
 i t   0
i
i 1
in(t)
i1 t   i2 t     in t   0
i2(t)
ReI M 1 e jwt  j 1   ReI M 2 e jwt  j 2    ReI Mn e jwt  jn   0


Re I1  I2    In ]e jwt  0
I1  I2    In  0
n
i t   0
i
i 1
É equivalente!!
n

I
i 1
i
0
Exemplo
Sendo as correntes no Nó A i1(t), i2(t) e i3(t), onde
i1(t) = 1A cos(2p 60 t + 30)
i2(t) = 3A cos(2p 60 t + 60)
Qual é a representação Fasorial de i1(t), i2(t) e i3(t)?
I1=?
I2=?
I3= I1 + I2 = ?
Qual é a expressão de i3(t)?
i3(t)=____cos(2p 60 t + ____)
i1(t)
i2(t)
i3(t)
Diagrama Fasorial
 Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores
representados no plano complexo (usando os eixos real e
imaginário)
 Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações
entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e
defasagens)
 Exemplo:
Eixo Imaginário
Freqüência = 60Hz
I=2mA  40
+
1mF
1kW
+
VC
+
I
I = 2mA  40
VR = 2V  40
V
VR
-
VC = 5.31V  -50
V = 5.67V  -29.37
-
Eixo
Real
VR
V
VC
VR
Diagrama Fasorial
Análise de Circuitos RLC usando os
conceitos de Fasor e Impedância
 Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais,
estando o circuito em regime permanente
 Exemplo - Determine vc(t) :
FASORES
+ vR(t) V1(t)=10 cos(377t)
+
20k
1uF
-
V1= 100º
+
vC(t)
-

IMPEDÂNCIAS
ZR= 20kW
ZC = 1/(j377.1.10-6)
=-j2,65k W
Divisor de Tensão
100º
+
20k
-j2,65k
1uF
-
+
VC
-
 j2,65k
2,65k  90

VC  100
 100
20k  j2,65k
20,17k  7,54

VC  1,31  82,46  vC t   1,31V cos377t  82,46 