Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência
Carlos Cardeira
Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and
Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)
Sumário
Definições
 Sistemas sem memória
 Sistemas causais
 Sistemas Invariantes no Tempo
 Sistemas Lineares
 Resposta em Frequência

Definições
x



S
y
x  Entradas = [tempo → Reais ou
Complexos]
y  Entradas = [tempo → Reais ou
Complexos]
Tempo = Inteiros ou Reais
Exemplos (contínuos)

Ganho K
x, t  R, Gk ( x)(t )  kx(t )

Delay T
x, t  R, DT ( x)(t )  x(t  T )

Média Móvel
x  [ R  R, C ], t  R,
1
MA( x)(t ) 
M
t
 x( )d
t M
Exemplos (contínuos)

Reverse

Fast Forward
x, t , Rv( x)(t )  x(t )
x, t , FF( x)(t )  x(1.5t )

Câmara Lenta

Energia
x, t , CL( x)(t )  x(0.5t )
t
x, t , E( x)(t )   x ( )d
2

Definições: Resposta Impulsiva

A saída do sistema pode-se calcular através da
convolução da resposta impulsiva com a
entrada

x, t , H ( x)(t ) 
h
(
t

s
)
x
(
s
)
ds

s  
Exemplos (discretos)

Ganho K
x, n  Inteiros, Gk ( x)(n)  kx(n)

Delay T (T inteiro)
x, n  Inteiros, DT ( x)(n)  x(n  T )

Média Móvel
x  [ R  R, C ], n  Inteiros,
1
MA( x)(n) 
M
M 1
 x( n  k )
k 0
Exemplos (discretos)

Reverse

Down Sample (subamostrar)
x, n, Rv( x)(n)  x(n)
x, n, Down( x)(n)  x(2n)

Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou
outro valor, nos pontos não definidos)
 

x n 2
x, n, Up( x)(n)  

 0
n
par
n ím par
Resposta Impulsiva (discretos)

A saída do sistema pode-se calcular através da
convolução da resposta impulsiva com a
entrada
x, n, H ( x)(n) 

 h(n  m) x(m)
m  
Sistema sem memória

Um sistema S não tem memória se existir uma
função tal que:
t , x, S ( x)(t )  f ( x(t ))

Exemplos:
Sem memória
t , x, S ( x)(t )  x 2 (t )
Sem memória
t , x, S ( x)(t )  2 x(t )
t , x, S ( x)(t )  x(t  1)  x(t  2)
Com memória
Definições: Sistema causal

Um sistema S é causal se a saída não depender
de entradas futuras:
t , w, x,
x( s)  w( s), s  t  S ( x)(t )  S ( w)(t )

Se duas entradas forem iguais até um
determinado instante t, a saída, até esse
instante, é igual para ambas
Causalidade
O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao
instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).
Definições: Sistema Invariante no
tempo

Considere-se a função Delay
x, t , DT ( x)(t )  x(t  T )

Um sistema é invariante no tempo se, para
qualquer delay T, tivermos:
DT S  S DT

Ou seja:
x, t , DT (S ( x))(t )  S ( DT ( x))(t )
Exemplo: Sistema Invariante no
tempo

Atrasar uma entrada produz um atraso
equivalente na saída. As funções atraso e S
podem ser aplicadas na ordem que quisermos.
Exemplos

S(x)(t)=x(t+3)


DT o S = x(t+3-T)
S o DT = x(t-T+3)

O sistema é invariante no tempo
Exemplos

S(x)(t)=x(-t)


DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t-T)
S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T)

Não é Invariante no Tempo
Exemplos

S(x)(t)=(x(t-1))2

DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2

S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))2

É causal
Exemplos
t
E ( x)(t ) 
 x (s)ds
2


É invariante no tempo
t
E ( x)(t )   x ( s)ds
2
a

Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula
para t<a
Exemplos - Convolução

x
(
t
)
h
(
t

s
)
ds



É invariante no tempo
Linearidade
S(x+w)=S(x)+S(w)
 S(ax)=aS(x)
 S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)


S(0) tem que ser 0 porque senão não
seria possível garantir S(ax)=aS(x) para
qualquer ‘a’
Linearidade
Exemplos

Média Móvel



Delay



Linear
Invariante no Tempo
Ganho



Linear
Invariante no Tempo
Linear
Invariante no Tempo
Reverse


Linear
Não Invariante no Tempo
Exemplos

Fast Forward



Câmara Lenta



Linear
Não Invariante no Tempo
Energia



Linear
Não Invariante no Tempo
Não Linear
Invariante no Tempo
Convolução


Linear
Invariante no Tempo
Resposta em Frequência

Teorema:
Se a entrada for uma exponencial complexa
(eiwt) de determinada frequência, a saída
também terá a mesma frequência

H(w) é a resposta em frequência do sistema

Exemplo:
1
H ( w) 
1  jw
H ( w) 
1
1 w
2
e
w
 j arctan
1
Exemplo:
|H(w)|
Filtro passa baixo
H ( w) 
1
1  w2
Exemplo:
fase
 arctan(w)
Cálculo da Resposta em
Frequência
O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1)
tem a forma:
dy
 y (t )  x(t )
dt
Qual será a resposta em frequência ?
Cálculo da Resposta em
Frequência do circuito R/C
x(t )  e
jwt
y (t )  H ( w)e
jwH ( w)e
jwt
jwt
 H ( w)e
jwt
1
H ( w) 
1  jw
Filtro passa baixo
e
jwt
Exemplo: Resposta em Frequência
da Média Móvel
Exemplo: Resposta em Frequência
da função Delay
A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia
Exemplo: Resposta em Frequência
da função GanhoK
x, t , Gk  kx(t )
H (w)e  ke
H (w)  k
jwt
jwt
A amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se
Resposta em Frequência
Linear e Invariante no Tempo
•Linear porque as derivadas são operadores lineares
•Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t
Causalidade e Resposta Impulsiva

Considere-se um sistema definido pela
convolução:

S ( x)(t )   h(t  s ) x( s ) ds 

t


 h(t  s) x(s)ds   h(t  s) x( s)ds

t


 0 ( causalidade )
 h(t )  0, t  0
Resposta em Frequência

A resposta em frequência de um sistema definido pela
convolução da entrada com a resposta impulsiva é:
S ( x)(t )  

s  
H ( w)e
e
jwt
jwt

h(t  s) x( s)ds

s  
h(t  s)e ds  e
jws
jwt


s  
h(t  s)e  jw(t  s ) ds

 jwu
h
(
u
)
e
sdu

H ( w)

O que significa que a resposta em frequência de um
sistema é a transformada de Fourier da resposta
impulsiva
Resposta em Frequência de
Sistemas Discretos
Analogamente:
n, x(n)  e
jwn
 y(n)  H (w)e
jwn
Exemplo: média móvel
1
n, x, MA( x)(n)  x(n)  x(n  1)
2
1 jwn
1 jwn
jwn
jw( n 1)
H ( w)e  e  e
 e 1  e  jw
2
2
1
H ( w) 
 jw
2(1  e )




Exemplo: média móvel +
autoregressão
y (n)  y (n  2)  x(n)  x(n  1)  x(n  3)
H ( w)(1  e
 j 2w
)e
 jw
jwn
e
jwn
(1  e
 jw
e
 j 3w
1 e  e
H ( w) 
 j 2w
1 e
De uma forma geral, a componente média móvel
fica no numerador e a componente autoregressiva
no denominador. Consegue-se escrever a resposta
em frequência sem ter que fazer as contas
 j 3w
)
Exemplo: equação às diferenças
genérica
Peridicidade da resposta em
frequência para sistemas discretos
x ( n)  e
jwn
x ( n)  e
'
 y(n)  H ( w)e
jn( w 2 )
jwn
 y(n)  H ( w  2 )e
jn( w 2 )
Mas como x(n)=x’(n) :
H ( w)  H ( w  2 )
Em sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2
E, por convenção, desenha-se apenas entre -  e 
ou então apenas entre 0 e  porque a função é par
Resposta em frequência de dois
sistemas LTI em cascata

A resposta em frequência é o produto das
respostas em frequência de cada sistema
H(w)
ejwt
G(w)
H(w)ejwt
H(w)G(W)ejwt
Resposta em Frequência de dois
sistemas com feedback
1.ejwt
E(w)ejwt
+
R(w)ejwt
Y(w)ejwt
H
G
Y(w)=E(w).H(w)
R(w)=Y(w).G(w)
E(w)=1+R(w)
Resposta em Frequência de
sistemas com feedback
Y(w)=E(w).H(w)
 R(w)=Y(w).G(w)
 E(w)=1+R(w)

Y(w)=(1+R(w)).H(w)=
 =(1+Y(w).G(w))H(w)


Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))
Amplitude e fase

H(w)=|H(w)|e H(w) ,H(w) representa o
angulo de H(w) com o eixo real
|H(w)| é a amplitude da resposta em
Freq.
  H(w)) é a fase da resposta em
frequência

Exemplo:
y(n)=1/2(x(n)+x(n-1))
 H(w)=1/2(1+e-jw)

|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|=
 =1/2 sqrt((1+cos(w)) 2+sin2(w))


H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))
Exemplo:







>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi;
%embora bastasse de 0 a pi
>> H=(1+exp(-i*w))/2;
>> subplot(2,1,1)
>> plot(w,abs(H))
>> subplot(2,1,2)
>> plot(w,angle(H))
Exemplo
Decibels

É vulgar medir a
amplitude em dB
dB  20log10 H (w)
Propriedades (sinais reais)
Propriedades
Se a entrada for periódica de período p a
saída é periodica com o mesmo período
 Como cos(wt)=cos(-wt) teremos
H(w)=H*(w)

|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par
 H(w)=-H(-w) → fase é ímpar

Propriedades (Discretos)
Exemplo de feedback para
aumentar a largura de banda
Exemplo de feedback para
aumentar a largura de banda
Feedback para melhorar a
resposta em frequência

Se se pretende que o sistema responda
mais rapidamente a resposta às altas
frequências tem que melhorar

À parte o problema das saturações este
é um mecanismo usado em robôs.
Propriedades (Discretos)






Se a entrada for periódica de período p a saída
é periodica com o mesmo período
Como cos(wn)=cos(-wn) teremos H(w)=H*(w)
|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par
H(w)=-H(-w) → fase é ímpar
E porque ejwn=ej(w+2)n
Temos: H(w)=H(w+2) (em sistemas
discretos a resposta em frequência é
periódica)
Coeficientes da Série de Fourier
2
X : R  R, p, w0 
rad / sec
P

x(t )  A0   Ak cos(k w0t  k )
k 1
Série de Fourier
A0 é a componente DC (valor médio do
sinal)
 Permite representar qualquer sinal
periódico
 Se o sinal não for periódico mas for finito
(no tempo), pode também ser
representado por uma série se o
replicarmos ao longo do tempo.

A forma exponencial é mais
prática

x(t )   X k e

X k  X
*
k
jkwo t
Equivalência entre as formas
exponencial e coseno

x(t )  A0   Ak cos(k w0t  k ) 
k 1
A0  1
x(t ) 

Ae

2
k 1

 j ( kw0t k )
k
jkw0t
X
e
 k
k  
1

Ae

2
k 1
 j ( kw0t k )
k
X k  A0
 X k  1 Ak e jk
2
 jk
1
Xk 
A k e
2
Xk e X-k são Complexos Conjugados
(k  0)
(k  1)
(k  1)
Obtenção dos coeficientes Ak e
partir de Xk
A0  X 0
Ak cos(wot  k )  X k e
 X ke
jkwo t

 X ke
jkwo t
k  X k

  2 ReX e 
jkwo t *
 2 X k cos(wot  X k )
Ak  2 X k
 X k e
 jkwo t
jkwo t
k
Cálculo dos coeficientes Xn

x(t ) 
jkw0t
X
e
 k
k  
p
 x(t )e
p
 jnw0t
dt   e
0
0
X
k  
k
e
p 

p
0 k  
k  
0

e
jkw0t
dt
j ( k  n ) w0t
j ( k  n ) w0t
X
e
dt

X
e
dt
 k
 k
p
0
 jnw0t

p
j ( k  n ) w0t
dt   e
0
j ( k n )
2
t
p
 p ( k  n)
dt  
 0 ( k  n)
Cálculo dos Coeficientes

x(t ) 
X
k  
k
e
jkw0t
p
 x(t )e
 jnw0t
dt  X n p
0
p
1
 jnw0t
X n   x(t )e
dt
p0
Base
As funções que compõem a série de
Fourier constituem uma base.
 Qualquer função pode ser representada
por uma combinação linear delas.

Cálculo dos Coeficientes (tempo
discreto)
2
rad / am ostra
X : Ints  Ints, w0 
p
n, x(n)  A0 
 p / 2
A
k 1
k
cos(k w0 n  k )
ou
p 1
n, x(n)   X l e jlw0 n , X l  C
l 0
Cálculo de X (discreto)
Multiplicando ambos os lados por exp(-jkwon)
p 1
 x ( n )e
 jkw0 n
n 0
p 1
p 1
l 0
n 0
p 1 p 1
  X l e j ( l  k ) w0 n 
n 0 l 0
  X l  e j ( l  k ) w0 n  X k p
1 p 1
X k   x(n)e  jkw0 n
p n 0
Cálculo dos Coeficientes (tempo
discreto)
p 1
e
l 0
j ( l  k ) w0 n
 0 se l  k