Análise de Resposta em Freqüência
8.1. Introdução
8.2. Diagramas de Bode
8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Introdução
Aula 4

Resposta em Freqüência: Resposta em
regime permanente de um sistema a uma
entrada senoidal

Métodos de resposta em freqüência: Variase a freqüência do sinal de entrada dentro de
um certo intervalo e estuda-se a resposta
resultante.

Forma Gráfica:

Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico

Diagrama de Nyquist ou diagrama polar

Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de
fase (carta de Nichols)
Obtenção das Respostas em Regime
Permanente às Entradas Senoidais

A resposta em regime permanente
da função de transferência de um
sistema pode ser obtida
diretamente a partir da função de
transferência senoidal.
Função de transferência na
qual s é substituído por jw,
onde w é a freqüência
Aula 4
Sistema Estável, Linear, invariante
no tempo

Aula 4
Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime
permanente também será um sinal senoidal com a
mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o
ângulo de fase serão diferentes.
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Objetivo: Mostrar que após esperar até que as condições de
regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência
pode ser calculada substituindo-se s por jw na função de
transferência. Será mostrado também que a resposta em regime
permanente é dada por:
Relação de
amplitude entre a
saída e a entrada
senoidal
Aula 4
Defasagem, ou
diferença de fase,
entre a entrada
senoidal e a saída
senoidal
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Multiplicando os dois lados da igualdade por
e avaliando no ponto igual s = -jw
Repetindo o mesmo procedimento para
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
 A amplitude do sinal de saída é dada
pelo produto da amplitude do sinal de
entrada pelo módulo de G(jw)
 O ângulo de fase da saída, difere do
ângulo de fase da entrada pelo valor de
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Aula 4
Resposta em Regime Permanente
às Entradas Senoidais
Aula 4
Exemplo 8.1.
Aula 4
Exemplo 8.1.
Aula 4
Exemplo 8.1.

Conclusões:



Aula 4
Se w for pequeno: a defasagem da saída
será pequena e a amplitude de resposta de
saída será K vezes a amplitude da entrada
Se w for grande: a amplitude de resposta
(saída) será pequena e quase inversamente
proporcional a w. A defasagem se aproxima
de -90º à medida que w tende a infinito.
Essa é uma rede de atraso de fase.
Exemplo 8.2.
Aula 4
Exemplo 8.2.
Aula 4
Exemplo 8.2.
Aula 4
Diagramas de Bode

Aula 4
Dois gráficos traçados em relação à freqüência
em escala logarítmica:

Gráfico do Módulo em dB

Gráfico do ângulo de fase

Representação padrão do logarítmo do módulo
de G(jw) – a base do logarítmo é 10:

A unidade da representação do módulo é o
decibel (db)

A multiplicação dos módulos pode ser
convertida em soma.
19
Fatores Básicos de G(jw)H(jw)
Aula 4

Ganho K

Fatores integral e derivativo (jw)±1

Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

Uma vez familiarizados com a construção dos
gráficos logarítmicos destes fatores básicos é
possível utilizá-los na construção de um gráfico
logarítmico composto por qualquer forma geral
de G(jw)H(jw).
20
O Ganho K
Aula 4

Um número maior que uma unidade possui um valor
positivo em decibéis

Um número menor que uma unidade tem valor negativo

A curva do módulo em dB de um ganho constante K é
uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis

O ângulo de fase do ganho K é zero

O efeito da variação do ganho K na função de
transferência é o deslocar para cima ou para baixo a
curva de módulo em dB da função de transferência por
um valor constante correspondente, sem nenhum efeito
na curva de ângulo.
21
Conversão de um Número de dB
Aula 4
22
O Ganho K - Propriedades
Aula 4

Quando um número aumenta de um fator 10, o valor
correspondente em dB fica acrescido de 20

Estendendo a análise:

O recíproco de um número difere apenas no sinal:
23
Fatores integral e derivativo
±1
(jw)

O valor de logarítmico de 1/jw em decibéis é:

O ângulo de fase de 1/jw decibéis é constante e igual
a 90.

No diagrama de Bode as relações entreas freqüências
são dadas em termos de oitavas e décadas:



Aula 4
Uma oitava é um intervalo compreendido entre w1 e 2w1, onde w1 é
qualquer valor de freqüência.
Uma década é um intervalo compreendido entre w1 e 10w1, onde w1
é qualquer valor de freqüência.
Exemplo: a distância horizontal entre w=1 e w=10 é igual a
distância horizontal entre w=3 e w=30.
24
Gráfico de -20logw dB versus w

Em escala logaritmica será uma reta

Localiza-se um ponto (0 dB, w=1)

Como
a inclinação da reta será -20dB/década (ou 6db/Década)
Aula 4
25
Fatores integral e derivativo (jw)±1
Aula 4

De forma análoga, o módulo de jw em decibéis é:

O ângulo de fase é 90o

A curva do logarítmo do módulo é uma reta com
inclinação de
20db/década
26
Diagrama de Bode de G(jw) = 1/jw e G(jw) = jw
Aula 4
27
Fatores integral e derivativo (jw)±1

Se a função de transferência possuir o fator (1/jw)n ou
(jw)n , as grandezas logaritmicas se tornarão
respectivamente:
Ou
Aula 4

As inclinações passam a ser respectivamente -20n
dB/década ou 20n db/década

O ângulo de fase de (1/jw)n é igual a -90.n em toda a
faixa de freqüência, enquanto que o de (jw)n é igual a
90.n em toda a faixa de freqüência.
28
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

O módulo em dB para o fator de primeira ordem
1/(1+jwT) é:
Para baixas
freqüências,
como w << 1/T
Aula 4
Para altas
freqüências,
como w >>1/T
29
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4

Para w>>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma
reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava)

A representação logaritmica da curva de resposta em
freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Freqüência de
canto, ou
freqüência de
quebra ou
mudança de
inclinação
Aula 4
31
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4

A FT (1/(1+jwT) tem as características de um filtro passabaixas.

Para freqüências acima e 1/T, o módulo em dB cai
rapidamente para o infinito

No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade,
a entrada senoidal para baixas freqüências

Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo
de fase de saída tende a -90º.

Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de
baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída,
enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados
na amplitude ou defasados.

Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação na
saída somente para fenômenos constantes ou lentamente
variáveis.
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1
Aula 4
Fatores de primeira ordem (1+jwT)±n
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z
(jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4

As aproximações assintóticas para as curvas de
resposta em freqüência não são precisas para
um fator com baixos valores de z.

O módulo e a fase do fator quadrático
dependem tanto da freqüência de canto como
do coeficiente de amortecimento z.
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Para baixas
freqüências,
como w << wn
Aula 4
Para altas
freqüências,
como w >>wn
Fatores quadráticos [1+2z
(jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Aula 4
Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr
g(w)
Aula 4
Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr
Aula 4
Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr
Aula 4
Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr
Aula 4
Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr
Aula 4
Procedimentos Geral para a
Construção do Diagrama de Bode
Aula 4

Reescreve-se a função de transferência senoidal
G(jw)H(jw) como produto de fatores básicos.

Identifica-se a freqüência de canto associada a estes
fatores básicos

Traça-se as curvas assitóticas com módulo em dB com as
inclinações apropriadas entre as freqüências de canto

A curva do ângulo de fase pode ser obtida adicionando-se
as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais
Exemplo 8.3.
Aula 4
Exemplo 8.3.
Aula 4
Exemplo 8.3.
Aula 4
Exemplo 8.3.
Aula 4
Exemplo 8.3.
Aula 4
Exemplo 8.3.
Aula 4
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima
Aula 4
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima
Aula 4
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima
Os valores dos ângulos de fase são
menores para o sistema de fase
mínima (G1) para todas as
freqüências
Aula 4
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima
Aula 4
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Para sistemas de fase mínima, as
características de módulo e de ângulo de
fase estão relacionadas univocamente.


Aula 4
Se a curva de módulo de um sistema for
especificada para toda a gama de valores de
freqüência de zero a infinito, a curva de
ângulo de fase será determinada de forma
única e vice-versa
Isto não ocorre para sistemas de fase nãomínima.
Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Para sistemas de fase mínima:


Aula 4
O ângulo de fase em w=∞ torna-se -900(p-q),
onde p e q são os graus dos polinômios do
numerador e do denominador da função de
transferência, respectivamente.
A inclinação da curva de módulo em dB em
w=∞ é igual a -20(p-q)/década (esta condição
vale também para os sistemas de fase nãomínima).
Retardo no Transporte
Aula 4

Tem comportamento de fase nãomínima e apresenta atraso excessivo,
sem atenuação nas altas freqüências

Esses retardos de transporte
normalmente ocorrem nos sistemas
térmicos, hidráulicos e pneumáticos
Retardo no Transporte
Aula 4
Retardo no Transporte
Aula 4
Exemplo 8.4.
Aula 4
Exemplo 8.4.
Aula 4
Exemplo 8.4.
Aula 4
Relacionamento entre o Tipo de
Sistema e a Curva do Módulo em dB
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Posição
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Posição
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Velocidade
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Posição
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Posição
Aula 4
Determinação do Erro Estático de
Posição
Aula 4
Determinação da Constante do Erro
Estático de Aceleração
Aula 4
Determinação da Constante do Erro
Estático de Aceleração
Aula 4
Determinação da Constante do Erro
Estático de Aceleração
Aula 4
Construção do Diagrama de Bode
com o Matlab
Aula 4
Construção do Diagrama de Bode
com o Matlab
Aula 4
Construção do Diagrama de Bode
com o Matlab
Aula 4
Exemplo 8.5
Aula 4
Exemplo 8.5.
Aula 4
Exemplo 8.6
Aula 4
Exemplo 8.6
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Exemplo 8.6.
Aula 4
Obtenção dos Diagramas de Bode nos
Sistemas Definidos no Espaço de Estados
Aula 4
Aula 4
Exemplo 8.7.
Aula 4
Aula 4