Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 10 –
Transformadas de Fourier
Carlos Cardeira
Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and
Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya),
maioritariamente baseados na informação pública disponível em
http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/index.html
Sinais e Transformadas de Fourier

SinaisContínuos->CTFT (Transformada de Fourier para
tempo contínuo a definir)

SinaisContínuosPeriodicos -> Série de Fourier (que é
um sinal discreto)

SinaisDiscretos = [Inteiros->Complexos] -> DTFT
(tranformada de Fourier para tempo discreto a definir)

SinaisDiscretosPeriódicos -> Série de Fourier (que é
um sinal discreto)
CTFT
x  SinaisContínuos  tempo  C 
CTFT ( x)  X  SinaisContínuos   frequência  C 
1
t  tempo, x(t ) 
2


X ( w)e jwt dw


w  frequências, X ( w) 
 x(t )e
 jwt
dt

O domínio do sinal x(t) é o tempo que se mede em segundos
O domíno da CTFT é a frequência que se mede em rad/s
Sinais periódicos
2
x(t  p)  x(t ), w0 
p

x(t )   X k e
jkw0t

Já conhecíamos este resultado do desenvolvimento
em série de Fourier
Se o período tender para infinito
2
p  , w0 
0
p

x(t )   X k e jkw0t 



X ( w)e jwt dw

-2p
-p
0
p
2p
-2w0
-w0
0
w0
2w0
Se p tender para infinito, a série
de Fourier tende para a CTFT
-2p
-2w0
p  , w0 
-p
0
p
2p
-w0
2
0
w0
2w0
p

 0, x(t )   X k e jkw0t 
-p
-4w0 -3w0 -2w0 -w0


X (w)e jwt dw

p
0
0

w0
-2w0 -3w0 -4w0
Se p tender para infinito, a série
de Fourier tende para a CTFT






Na CTFT todas as frequências estão representadas.
Os sinais normais terão um espectro da frequência.
Se o sinal for aproximadamente uma sinusoide, o
espectro terá amplitude máxima na frequência da
sinusoide.
Em torno desta frequência, a amplitude da CTFT cai.
Se fosse verdadeiramente uma sinousoide pura, a
CTFT seria apenas um delta de Dirac nessa
frequência.
De um modo geral, o área definida pela CTFT entre
duas frequências está relacionada com a quantidade
de energia do sinal nessa gama de frequências.
Exemplo: CTFT de uma
exponencial
t  tempo, x(t )  e
1
x(t ) 
2
jw0t


X ( w)e dw  e
jwt
jw0t

X ( w)  2 ( w  w0 )
w0
Exemplo: CTFT de um coseno
t  tempo, x(t )  cos( w0t ) 
1
x(t ) 
2

jw0t
 jw0t
e

e
jwt
X
(
w
)
e
dw  cos( w0t ) 

2
X ( w)    ( w  w0 )   ( w  w0 ) 
-w0
w0
Exemplo: CTFT de um seno
t  tempo, x(t )  sin( w0t ) 
1
x(t ) 
2
X ( w) 

j

jw0t
 jw0t
e

e
jwt
X
(
w
)
e
dw  sin( w0t ) 

2j
 ( w  w0 )   ( w  w0 ) 
/ j)
-w0
/j)
w0
CTFT de sinais reais
Se o sinal é real :

x(t )  x* (t )
 1
*
x (t )  
 2


*

1
jwt
X
(
w
)
e
dw



 2

X * ( w)e  jwt dw 



X * ( w)e  jwt dw
w  

X * ( )e jt d ( ) 






X * ( )e jt d
w 




X ( w)e jwt dw 

X ( w)  X * ( w)

X * ( w)e jwt dw

Já era um resultado conhecido
das séries de Fourier
Mudança de escala
y (t )  x(2t )
1
2

1
jwt
 Y (w)e dw  2

1

2

2
   jt
 X  2  e d

2


1
2

2
 w  jwt
X
  2  e dw

2
1  w
Y (W )  X  
2 2


X ( w)e jw 2t dw

w
  2w
Linearidade
y  ax1  bx2
Y ( w)  aX1 ( w)  bX 2 ( w)
Reverse …
y (t )  x( t )

y (t )  x(t ) 

X ( w)e
 jwt

dw 

Y
(
w
)
e
dw

jwt

u  w


Y
(
w
)
e
dw


X
(

u
)
e
du



jwt

Y ( w)   X ( w)
jut




X (u )e du
jut
Delta no domínio do tempo
x(t )  e
jw0t
 X ( w)   ( w  w0 )
e se x(t )   (t ) ?
X ( w)  


x (t )e jwt dt  1
O delta de Dirac tem todas as frequências. Se
pegarmos em todas as sinusoides do mundo (ejwt)
e as somarmos, obtemos um delta de Dirac.
Delta de Dirac como entrada

Como o delta de Dirac representa todas
as frequências, quando se excita um
sistema com um delta de Dirac obtem-se
toda a informação sobre o sistema uma
vez que o excitámos com todas as
frequências.
Sinais Periódicos

Relação entre a transformada de Fourier e a
Série de Fourier
x(t ) 

X
k 
k
e
X ( w)  2
jkw0t

 X  (w  kw )
k 
k
0
X (kw0 )  2 X k
p
t
-w0 0
w0 2w0 3w0 w
Exemplo
0 t  0
u (t )  
1 t  0
y (t )  e t u (t )

Y ( w) 
e
t
u (t )e
 jwt

1

e (1 jw)t
(1  jw)

dt   e e
 t  jwt
0

0
1

1  jw

dt   e
0
 (1 jw ) t
dt 
Exemplo
Se fizermos “reverse”, não é necessário recalcular a
Transformada, basta aplicarmos a regra y(t)=x(-t), Y(w)=X(-w)
z (t )  y (t )  e u (t )
1
Z ( w)  Y ( w) 
1  jw
t
Soma das duas …
z (t )  e
'
t
 y (t )  y (t )
1
1
(1  jw)  (1  jw)
Z ( w)  Y ( w)  Y ( w) 



1  jw 1  jw
(1  jw)(1  jw)
2

1  w2
'
Resposta Impulsiva e Resposta
em Frequência
H ( w)  ?
h(t )

y (t )  (h * x)(t ) 
 h(s) x(t  s)ds

x(t )  e jwt

H ( w) e jwt 

h( s )e jw( t  s ) ds


A Resposta em Frequência é a
Tranformada de Fourier da Resposta
Impulsiva.
Exemplo
Calcular a resposta impulsiva de
y (t )   y (t )  x(t )
sabendo que a resposta em frequência é
1
H ( w) 
1  jw
Resposta:
1
Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de H ( w) 
1  jw
é h(t )  e t u (t )
Exemplo
Calcular a resposta impulsiva de
y (t )  3 y (t )  2 y (t )  x(t )
Calculando a RF
Resposta:
H ( w)  ?
H ( w)( jw) 2 e jwt  3H ( w) jw e jwt  2 H ( w) e jwt  e jwt
1
1
H ( w) 

2
( jw)  3 jw  2 (2  jw)(1  jw)
Factorizando …
(um polinómio do 2º grau pode sempre ser factorizado
em dois termos (ver apêndice B)).
A
B
1
H ( w) 


2  jw 1  jw (2  jw)(1  jw)
A(1  jw)  B(2  jw)  1
A  Ajw  2 B  Bjw  1
A  2B  1
A B  0
A  B
B  1; A  1
1
1
H ( w) 

1  jw 2  jw
TF inversa …
Como já vimos a transformada de Fourier Inversa de
1
1
H ( w) 

1  jw 2  jw
é
h(t )  e t  e 2t  u (t )
Nota
Quando se resolvem equações
diferenciais sabemos que somos
conduzidos a uma resposta livre, a uma
resposta forçada, etc.
 Este método permite resolver qualquer
equação diferencial desde que se saibam
factorizar polinómios, decompor em
fracções parciais e fazer a convolução

Mais simetria
1
x(t ) 
2


X ( w)e jwt dw
2 x(t ) 


X ( w)e jwt dw


Mudanças de variável:
2 x(u ) 


X ( s )e jsu ds
2 x( w) 



2 x( w) 



X (t )e  jwt dt

x(t )  X ( w)  X (t )  2 x( w)
X ( s )e  jsw ds
Exemplos
/a
x(t)
-a
a
X(w)=?
Exemplo

X ( w) 

x(t )e  jwt dt 

a

a
x(t ) e  jwt dt 


a
a
 jwt
e
 dt 
a
a

 1
a  jw
e
 jwt a
a

 1
a
e

jw
jwa
e
 jwa

2  e jwa  e jwa


aw 
2j
 2
sin(aw)

 aw
Exemplo
sin( aw)
X ( w)  2
aw
2
aw= -2
w= 2/a
aw= -
w= -/a
w= 0
aw= 
w= /a
aw= 2
w= 2/a
w
Exemplo
sin(aw)
a 
X ( w)  2
 2 sinc  w 
aw
 
sin( x) 

 Nota: sinc( x) 


x


>> a=10;
>> w=-pi:pi/1000:pi;
>> X=2*pi/a./w.*(sin(a*w));
Warning: Divide by zero.
>> plot (w,X)
8
6
4
2
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Função sinc
sin(aw)
a 
X ( w)  2
 2 sinc  w 
aw
 
sin( x) 

 Nota: sinc( x) 


x


>> %% a função sinc(x) retorna
(sin(pi*x))/pi*x pelo que o mesmo gráfico
pode ser obtido por:
>>>> plot (w,2*pi*sinc(a/pi*w))
8
6
4
2
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Analogamente
8
/a
x(t)
6
X(w)
4
-a
2
a
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Se considerarmos que um sistema tem como resposta
impulsiva X(t) então a sua resposta em frequência seria
x(w) (a menos uma simetria e um factor 2pi), pelo que
um filtro passa-baixo ideal é não causal (em tempo real
É impossível realizar um filtro passa-baixo ideal (sobre os dados
de um ficheiro já seria possível)
3
4
Aproximação usando Delay
/a
x(w)
8
6
X(w)
4
2
-a
a
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Se considerarmos atrasarmos o sinal em 3pi/4, e truncarmos o valor da
resposta impulsiva para t<0, obtemos uma aproximação melhor.
Mas há casos em que não se pode fazer um delay, por exemplo, sempre
que há feedback.
Exemplo
1  3 jw
H ( w) 
1  jw1  2 jw
Qual a amplitude e fase ?
Amplitude e fase
H ( w) 
1  3 jw
1  jw1  2 jw
1  9 w2
H ( w) 
1  w2 1  4 w2
H ( w)  arctg (3w)  arctg ( w)  arctg (2w)
1.5
0
1
-0.5
0.5
-1
-1.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Qual a equação diferencial que
descreve o sistema ?
1  3 jw
1  3 jw
H ( w) 

2
1  jw 1  2 jw  1  3 jw  2w
2 y (t )  3 y (t )  y (t )  3 x(t )  x(t )
E a resposta impulsiva ?
1  3 jw
A
B
H ( w) 


1  jw1  2 jw 1  jw 1  2 jw
A 1  2 jw   B 1  jw   1  3 jw
A  B   2 A  B  jw  1  3 jw
A B 1
B  1 A
2A  B  3
2A 1 A  3
como
1  w
x(at )  X  
a a
 t 1  2t 
h(t )   2e  e  u (t )
2


A  2; B  1
E a resposta a um degrau ?
1 t  0
x(t )  
0 t  0
  t 1  2t 
h(t )   2e  e  u (t )
2



t

0
y (t )   h( s) x(t  s)ds   h( s)ds
Como era de esperar uma vez que o degrau
corresponde ao integral de um impulso. Aplicando o
integral da entrada obtemos o integral da saída, uma
vez que o sistema é linear.
Exemplo simetria

Cálculo de integrais
que não se saberia
calcular
x(t )  e  t u (t )
1
X ( w) 
1  jw 
se
1
x (t ) 
1  jt 
X ( w)  2 e wu (  w)

1
 jwt
w
e
dt

2

e
u (  w)
 1  jt 
Mais exemplos de simetria

Produto de sinais
 x  y  (t )
x(t ) y (t )
X ( w)Y ( w)
2  X  Y  (w)
DTFT
DTFT : SinaisDiscretos  SinaisContínuosPeriódicos 2
InvDTFT : SinaisContínuosPeriódicos 2  SinaisDiscretos
n  x ( n)
w  X ( w)

w  R, X ( w)   x(n)e  jwn

1
t  N , x(n) 
2
2

0
X ( w)e jwn dw
Exemplo
1
x(n)
0
X ( w) 

 x ( n)e
n 
 jwn
3
 e
n 0
 jwn
 jw 4
1 e

 jw
1 e
Módulo
1
x(n)
 jw8
1 e
X ( w) 
 jw
1 e
0
|X(w)|
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
w
2
4
A DTFT tem periodicidade 2pi
6
DTFT e Série de Fourier
X (w ) 

 x(n )e
 jwn
n 
X (w  2 ) 

 x(n )e
 j ( w  2 ) n
 X (w )
n 
A DTFT é portanto periódica. Se é periódica
pode ser representada por uma série de Fourier:
x (t ) 

Xe
k 
X (w ) 
jkw 0t
k

 e
k 
k
jkw 0w


 e
k 
jkw
k
 k  x ( k )
Por isso, se calcularmos os coeficientes da série
de Fourier da DTFT e recuperarmos esse sinal
pela serie de Fourier obtemos o sinal que deu origem
à DTFT a menos de uma inversão no tempo.
DFT
DFT : SinaisDiscretosPeriódicos
 SinaisDiscretosPeriódicos 2
InvDFT : SinaisDiscretosPeriódicos 2  SinaisDiscretos
p 1
n, X n'   x(k )e  jnw0 k
k 0
1 p 1 '  jkw0 n
n, x(n)   X k e
p k 0
Exemplo
1
x(n) periódico8
0
p
X ( w) 


n 
3
x(n)e  jwn   e  jwn
n 0
1  e jw 4

1  e jw