TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1.
Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.
Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,
Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company
(1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
1
Conteúdo sobre oscilações
Deslocamento, velocidade e aceleração no Movimento
Harmônico Simples - MHS.
Energia no MHS.
Exemplos de MHS: sistema massa mola, pêndulo
matemático, pêndulo físico, pêndulo de torção.
Oscilador Harmônico amortecido.
Oscilação forçadas/ressonância.
Oscilações não lineares
Sistemas complexos
2
Deslocamento
Tempo (t)
Exemplo de um Movimento
Harmônico Simples (MHS)
O movimento é periódico, ou seja se repete com o tempo. O tempo
necessário para uma repetição é chamado período (símbolo T, unidade: s).
O número de repetições por unidade de tempo é chamado frequência
(símbolo f, unidade: Hz). f = 1/T .
O deslocamento da partícula é dado pela equação x(t)= xmcos(ωt+φ).
A fig. (b) é o gráfico de x(t) contra t. xm é chamada amplitude do
movimento. Ela expressa o deslocamento máximo possível do objeto que
oscila. “ω” é chamada frequência angular do oscilador. Ela é determinada
pela equação:
2π
ω = 2π f =
x(t ) = xm cos (ωt + φ )
T
3
Fase e ângulo de fase
A figura mostra duas partículas P e Q com a mesma ω.
Escolhemos t=0 quando P passa pelo eixo x.
Q passa pelo eixo x no momento t=t1 (na figura abaixo t1 = T/8)
Portanto a dependência temporal da coordenada x para P e Q é:
xp = A cos(ωt)
xq = A cos[ω(t-t1)]
O movimento harmônico de Q se diz atrasado respeito de P em t1
O valor negativo de t1 indica que Q está detrás de P
O argumento da função cosseno, ω(t-t1) é chamada de fase.
O deslocamento angular φ =ωt1 é chamado de ângulo de fase.
φ
φ
Vamos utilizar como
definição do movimento
harmônico:
x = A cos[ω(t-t1)]
= A cos(ωt- φ)
4
“φ” é o ângulo de fase do oscilador, é determinado
a partir do deslocamento x(0) e da velocidade v(0)
em t = 0. Na fig. (a) x(t) é desenhado contra t para φ
= 0. x(t) = xm cos ωt.
Velocidade no MHS
dx(t ) d
v(t ) =
= [xm cos(ωt + φ )] = −ωxm sen(ωt + φ )
dt
dt
Aceleração
Velocidade
Deslocamento
x(t ) = xm cos (ωt + φ )
“ωxm” é chamado amplitude da velocidade vm. Ele
expressa o máximo valor possível de v(t).
Na fig. (b) a velocidade v(t) é desenhada contra t
para φ = 0. v(t) = -ωxm sen ωt.
Aceleração no MHS a(t ) =
dv(t ) d
= [− ωxm sen(ωt + φ )] = −ω 2 xm cos(ωt + φ ) = −ω 2 x
dt
dt
“ω2xm” é chamado amplitude da aceleração am. Ele expressa o máximo valor
possível de a(t). Na fig. (c) a aceleração a(t) é desenhada contra t para φ = 0.
a(t) = -ω2xm cos ωt.
5
Exercícios
1. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma
amplitude de 2,20 cm a uma frequência de 6,60 Hz ?
2
am = ω xm = (2π f ) xm = ( 2π ( 6.60 Hz ) ) ( 0.0220 m ) = 37.8 m/s 2 .
2
2
2.Uma partícula com massa igual a 1,00 10-20 kg está oscilando em um
MHS com um período de 1,00 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00
103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo
da partícula.
(a)
(b)
ω = 2π/(1.00 × 10–5 s) = 6.28 × 105 rad/s.
1.00 × 103 m / s
−3
xm =
=
=
1.59
10
×
m.
5
ω 6.28 × 10 rad / s
vm
6
Exercícios
3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por
uma distância de 2,00 mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz.
Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a
intensidade da aceleração máxima da lâmina.
(a)
xm = 1.0 mm
(
)
(b) vm = 2π fxm = 2π (120 Hz ) 1.0 ×10−3 m = 0.75 m/s.
2
2
(c) am = ω xm = ( 2π f ) xm = ( 2π (120 Hz ) ) (1.0 ×10−3 m ) = 5.7 ×102 m/s 2 .
2
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (12) (16) (17)
Perguntas: (1) (2) (3)
7
A lei da força para o MHS
Nos vimos que a aceleração de um objeto sob MHS é: a = -ω2x.
Aplicando a segunda lei de Newton obtemos: F = ma = - mω2x = -(mω2)x
O MHS acontece quando a força é proporcional ao deslocamento da
partícula com sinal contrário. A força pode ser representada por: F = - Cx
onde C é uma constante. Comparando as duas expressões para F obtemos:
mω2 = C e
m
T = 2π
C
Considere o movimento de uma massa m ligada
a uma mola com uma constante de mola k sobre
uma superfície horizontal sem atrito como na
figura.
O módulo da força resultante F sobre m é dada pela lei de Hooke: F = -kx.
Comparando esta equação com a expressão F = -Cx identificamos que
neste caso C = k.
Agora podemos calcular a
frequência angular ω e o período T
ω=
k
m
T = 2π
m
k
8
Exercícios
1. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um MHS
com amplitude 8,5 cm e período de 0,20 s. (a) Qual a intensidade da força
máxima agindo sobre ele (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola,
qual a constante da mola?
(a)
(b)
9
Exercícios
2. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a
a uma mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35,0 cm, o
oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período,
(b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante da mola, (e) a
velocidade máxima, (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce
sobre o bloco.
(a) T = 0,500 s
(b) f = 1/T = 1/(0,500 s) = 2,00 Hz
(c) ω = 2πf = 2π(2,00 Hz) = 12,6 rad/s
(d) k = mω2 = (0,500 kg) (12,6 rad/s)2 = 79,0 N/m
(e) vm = ω xm = (12,6 rad/s)(0,350 m) = 4,40 m/s
(f) Fm = kxm = (79,0 N/m)(0,350 m) = 27,6 N
10
Energia
Energia no MHS A energia mecânica E do MHS é a soma das suas
energia cinética K e potencial U
1 2 1 2
2
Energia potencial U = kx = kxm cos (ωt + φ )
2
2
Energia cinética
K=
1 2
K = mv
2
1
1
mω 2 xm2 sen 2 (ωt + φ ) = kxm2 sen 2 (ωt + φ )
2
2
Energia
Energia mecânica E = U + K
1 2
1 2
2
2
E = kxm sen (ωt + φ ) + cos (ωt + φ ) = kxm
2
2
[
]
Na figura se observa o comportamento da energia cinética K, a energia
potencial U e a energia mecânica E com o tempo.
U e K variam com o tempo entanto E permanece constante. A energia se
transfere de uma forma para a outra mantendo a soma constante.
11
Exercícios
1. A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples
em função da posição x. Qual é a constante elástica?
Inferimos do gráfico que E = 6,0 J = Umax
A amplitude é 12 cm, portanto:
½ k xm2 = 6,0 J
⇒
k = 8,3 ×102 N/m
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (30)
Perguntas: (9) (10)
12