A Mecânica no Computador
Carlos Eduardo Aguiar
IF - UFRJ
Mecânica de uma Partícula
m
F
F(x,v,t) = m a
t  t0
x  x 0

v  v 0

x( t )  ?

v ( t )  ?
Velocidade e Aceleração Médias
t  t 2  t1
amed
v 2  v1

t 2  t1
v med
x 2  x1

t 2  t1
v 2  v1  amed t
x 2  x1  v med t
Pequenos intervalos de tempo...
Vamos supor que t = t2 - t1 é muito pequeno:
t2 t1  quase nada muda durante t
a2  a1  amed
t 2  t1  
v 2  v1  v med
v 2  v1  a1 t
x 2  x1  v1 t
a1  F( x1, v1, t1 ) / m
Grandes intervalos de tempo...
t
t
t
t
0
1
2
....
v n1  v n  an t
x n1  x n  v n t
t
tn+1 . . .
t
n
an  F( xn , v n , t n ) / m
A Mecânica no Computador
t = t0 , x = x0 , v = v0
repita enquanto (t < tmax)
{
a = f(x,v,t) / m
v = v + a * delta_t
x = x + v * delta_t
t = t + delta_t
escreva t, x, v
}
O Oscilador Harmônico
F(x,v,t) = - k x
Unidades: massa = m
tempo = (m / k)1/2
m=1
k=1
O Oscilador Harmônico
Período independente da amplitude
15,9 oscilações em tmax = 100
período  100/15,9  6,29 (m / k)1/2
O Oscilador Harmônico Amortecido
F(x,v,t) = - k x - b v
b = 0,2
O Oscilador Harmônico Forçado
F(x,v,t) = - k x - b v - F0 sen(w t)
transiente
permanente
freqüência angular = w
b = 0,2
F0 = 1
w = 1,5
O Oscilador Harmônico Forçado
O regime permanente independe da condição inicial
b = 0,2
F0 = 1
w = 1,5
Ressonância
A amplitude do regime permanente depende da
freqüência da força externa
w=1
w = 1,5
b = 0,2
F0 = 1
Ressonância
Amplitude como função da freqüência
0.5 < w < 1.5
b = 0,1
F0 = 1
O Oscilador Anarmônico
F(x,v,t) = - k x - q x3 - b v - F0 sen(w t)
1.1 < w < 1.6
b = 0,1
F0 = 1 q=0,1
O Oscilador Anarmônico
Mais de um regime permanente possível
x0 = 1 v0 = 0
x0 =--2 v0 = 0
b = 0,1
F0 = 1 q=0,1