Universidade Federal Rural
do Semiarido - UFERSA
Movimento Periódico
Jusciane da Costa e Silva
Mossoró, Março de 2010
Sumário
 Movimento
 Movimento Harmônico Simples (MHS)
 Velocidade e Aceleração MHS
 Energia MHS
 Movimento Circular
MOVIMENTO
A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.
MOVIMENTO
Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um
ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação.
 Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em
sentidos opostos.
 Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
 Consideremos o sistema massa mola:
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
A força restauradora é função apenas da deformação


F  F (x)
Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as
ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:
Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos
 dF 
F ( x )  x

 dx 0

MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
Sendo que
dF
 k
dx
Portanto

F ( x)  kx
Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora.
A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei
de Hooke.
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:
Chegando a
..
ou
x  x  0
esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda
ordem, linear e homogênea, onde se define  como sendo a
freqüência angular, que é uma função da massa e da constante
elástica.
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:
Combinando tais propriedades, podemos dizer que
x(t )  C1 x1 (t )  C2 x2 (t )
onde C1 e C2 são constantes.
Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.
Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que,
sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma
função exponencial é deste tipo.
x(t )  et
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
logo
derivando, encontramos que
   i
logo a solução geral da equação diferencial geral fica
x(t )  C1eit  C2eit
Lembrando que
eit  cos(t )  isen(t )
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.
x(t )  Asen( ) cos(t )  iA cos( )sen(t )
fazendo
C1  C2  Asen
C1  C2  A cos
Portanto a solução para o sistema massa mola e
conseqüentemente do MHS são:
x(t )  Asen(t   )
x(t )  A cos(t   )
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
Onde A é a amplitude de oscilação e  e  são constantes de fase
ou ângulos de fase que diferem o movimento.
Termo oscilatório


fase
Amplitude



y ( x, t )  Am sen(kx  t   )

const . fase
Deslocamen to
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do
corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|.
CICLO – é uma oscilação completa.
 PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é
sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s).
 FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação
temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s.
x(t )  Asen(t   )
Função periódica de 0t de período 2p.
  2p T
MOVIMENTO HARMÔNICO
SIMPLES – (MHS)
 FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela
sempre positiva e no SI é o HERTZ.
1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1
1 
f  
T 2p
f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.
Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da
freqüência
  2pf
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
MHS
A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é:
dx(t ) d
v(t ) 
 A cos(t   )
dt
dt
v(t )   Asen(t   )
a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE
(Vm). A velocidade da partícula oscila de A até – A.
A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é:
dv(t ) d
a(t ) 
  Asen(t   )
dt
dt
a(t )   A 2 cos(t   )   2 x(t )
a grandeza 2A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO
(am). A velocidade da partícula oscila de 2A até – 2A.
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
MHS
VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
MHS
Quando estendemos uma mola e
soltamos o bloco, ele ganha
velocidade à medida que se move
para posição de equilíbrio, sua
aceleração é positiva.
 Substituindo a aceleração na 2
lei de Newton.
F  ma  m( 2 x)  kx
que é a lei de Hooke, para k = m2.
ENERGIA NO MHS
 Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia
cinética dada por
2
K
K
K
K
1 2 1  dx 
m v  m 
2
2  dt 
1
m A2 2 sen 2 (t   )
2
1
2 k
m A sen 2 (t   )
2
m
1 2 2
kA sen (t   )
2
 Que é a energia cinética do meu sistema.
ENERGIA NO MHS
 A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário
para movimentar a partícula a uma distância x.
dW   Fdx  kxdx
 integrando
1
2
dW  kx  U
2
 substituindo x(t)
1
U  kA 2 sen 2 (t   )
2
 Que é a energia potencial do meu sistema.
ENERGIA NO MHS
 A energia total do oscilador harmônico será
E  K U
1
E  m 2 A2 sen 2 (t   )  cos2 (t   )
2
1
E  m 2 A2  const
2


 E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto
o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.
ENERGIA NO MHS
 Energias num MHS
Exemplo OHS
Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um
movimento harmônico simples, em torno desta posição (para
deslocamentos pequenos).
 Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores nãoharmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais
proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende
da amplitude (A).
Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples:
Pêndulo Simples
 Pêndulo Físico
Pêndulo de torção
PÊNDULO SIMPLES
 Consideremos um pêndulo simples,
como sendo um corpo de massa m
suspensa por um fio ou haste de
comprimento l e massa desprezível.
 A força restauradora é a componente
tangencial da força resultante:
F  mgsen
 para pequenos deslocamentos
sen   
logo
mg
F   mg   
x
L
A força restauradora é proporcional a
coordenada para pequenos deslocamentos e
k = mg/L.
PÊNDULO SIMPLES
 A freqüência angular () de um pêndulo simples com
amplitude pequena será
k
m g/ L



m
m
g
L
 A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

1 g
f 

2p 2p L
2p 1
L
T
  2p

f
g
PÊNDULO FÍSICO
 O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de
volume finito.
 z  (mg)(hsen )
 Para pequenas oscilações, o movimento
é aproximadamente harmônico simples.
 z  (mgh)
 A equação do movimento
d 2
 (m gh)  I z  I 2
dt
d 2
m gh
2







2
dt
I

z
 I z
PÊNDULO FÍSICO
 A freqüência angular () de um pêndulo físico com amplitude
pequena será
m gh

I
 A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

1 m gh
f 

2p 2p
I
2p 1
I
T
  2p

f
m gh
PÊNDULO TORÇÃO
MHS ANGULAR
 Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR.
O
movimento
circular
é
caracterizado pelo raio A da
circunferência,
e
possui
uma
velocidade angular 0.
 Em t = 0, a fase inicial  = 0. Com o
movimento no sentido anti-horário, o
ângulo será:
  0t  
x(t )
COS  
A
  0t  
MHS ANGULAR
 O deslocamento no movimento circular é
x(t )  ACOS(0t   )
 conhecendo o deslocamento, podemos encontrar