Filtragem de Imagens
CONCI, A. AZEVEDO, E. e LETA, F. “Computação Gráfica. Teoria e Prática”, Vol 2 – Cap. 5
Filtragem no Domínio Espacial (rev.)
Filtragem no Domínio de Frequência
Objetivo dos Filtros
Melhorar a qualidade das imagens através da:
• Ampliação do seu contraste;
• Eliminação de padrões periódicos ou aleatórios;
• Melhoria no seu foco e acentuação de características.
Classificação
• Domínio ou espaço em que atuam: da freqüência ou
espacial.
• Tipo de freqüência: passa ou elimina baixas
freqüências; passa ou elimina altas freqüências; e
passa ou elimina faixas de freqüências.
• Linearidade: lineares ou inversíveis ou não lineares.
• Tipo de aplicação: suavização; contraste;
adaptativos; globais; janelados; ou, locais.
Filtragem no Domínio Espacial
(revisão)
•
•
•
•
Filtros (Máscaras) Lineares e Não Lineares
Filtros Passa Baixa – Filtros de Suavização
Filtros Passa-Alta ou de Acentuação
Filtro alto reforço
Filtragem no Domínio Espacial
(revisão)
Os métodos de filtragem que trabalham no domínio espacial
operam diretamente sobre os pixels, normalmente utilizando
operações de convolução com máscaras.
O uso de máscaras nas imagens no domínio espacial é
usualmente chamado de filtragem espacial e as máscaras são
chamadas de filtros espaciais.
Filtragem no Domínio de
Frequência
• Filtragem Passa Baixa
• Filtragem Passa Alta
• Outros filtros no domínio de freqüência
Filtragem no Domínio de
Frequência
1- A imagem é transformada do domínio espacial para o da
freqüência (transformada de Fourier).
2- Operações de filtragem são realizadas nessa imagem.
3- Realiza-se o processo inverso, onde a imagem no domínio
da freqüência é transformada para o domínio espacial.
Esquema de processamento no domínio da freqüência usando a transformada de imagens
A Transformada de Fourier
A transformada de Fourier de uma
função é uma função complexa:
F (u)  R(u)  jI (u)
A Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier é uma operação que
transforma uma função definida no domínio espacial em uma outra
função definida no domínio frequencial
 
F (u, v) 
  f ( x, y) exp j 2 (ux  vy)dxdy

 
f ( x, y) 
  F (u, v) exp j 2 (ux  vy)dudv

Transformada Discreta de Fourier
Discrete Fourier Transform (DFT)
Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em
processamento digital de sinais, é preciso ter valores xk discretos.
Para isso existe a versão da transformada para funções discretas.
Um algoritmo eficiente para o cálculo das Transformadas de Fourier é o algoritmo
FFT (Fast Fourier transform), cuja complexidade é O(n log2 n) contra O(n2)
necessários para o mesmo cálculo com a DFT.
Complexidade dos Algoritmos
• Computando diretamente a DFT:
2
– Uma DFT de N pontos requer N multiplicações de
ponto flutuante por ponto de saída
2
– Uma vez que existem N pontos de saída, a
4
complexidade computacional da DFT é O(N )
– N = 256 => N4= 4x109 => tAthlonXP+ ~ 24s
– N = 15Mpixels => N2 = 2x1014 => t ~ 15 dias!!!
(`~167Mflops)
• Computando com a FFT
– Complexidade = NlogN => N = 15Mpix => t ~ 1,5s
Espectro de Frequências
• exemplo : g(t) = sin(2f t) + (1/3)sin(2(3f) t)
=
+
Perfil de um sinal com 3 frequências
Espectro de Frequências do sinal ao lado
8
15
10
6
5
Amplitude
Amplitude da onda A
20
0
-5
-10
4
2
-15
-20
0
90
180
270
0
0.00
360
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
8
20
15
6
10
5
Amplitude
Amplitude da onda B
0.01
0
-5
4
2
-10
-15
0
0.00
-20
0
90
180
270
360
8
15
6
10
5
Amplitude
Amplitude da onda C
20
0
-5
4
2
-10
-15
0
0.00
-20
90
180
270
360
20
8
15
10
6
5
Amplitude
Amplitude de A + B + C
0
0
-5
-10
4
2
-15
-20
0
90
180
Ângulo
270
360
0
0.00
Frequência (Hz)
Espectro de Frequências
TF
TIF
Transformada de Fourier (TF) & Transformada Inversa de Fourier (TIF).
Imagem Baboon e seu espectro de Fourier.
Imagem Brick e seu espectro de Fourier.
Processamento de imagens
no domínio de Fourier
1- A imagem f(x,y) é transformada para o domínio de
Fourier (transformada discreta).
2- A imagem no domínio de Fourier é representada
por F(u,v) e é convoluída com o filtro H(u,v).
3- Ao produto F(u,v) H(u,v) é aplicada a inversa da
transformada de Fourier para retornar ao domínio
espacial, onde se tem a imagem processada g(x,y).
Filtragem Passa Baixa
(suavização)
• Os detalhes da imagem que geram altas
freqüências. (ex: bordas, lados e outras transições
abruptas de nível de cinza).
• Utilizando um filtro passa baixa obtém-se uma
imagem menos nítida ou suavizada.
• Tem-se uma perda de detalhes que são os
componentes de altas freqüências.
Filtro passa baixa ideal:
H(u,v) = 1 se u2 + v2 < r2
H(u,v) = 0 se u2 + v2  r2
Resultado da filtragem passa baixa
Filtragem Passa Alta
(aguçamento/realçe)
Na filtragem passa alta, os componentes de alta freqüência da
transformada de Fourier não são alterados, enquanto os de
baixa freqüência são removidos.
Isto faz com que os detalhes finos da imagem sejam
enfatizados.
Filtro passa alta ideal:
H(u,v) = 0 se u2 + v2 < r2
H(u,v) = 1 se u2 + v2  r2
Resultado da filtragem passa alta.
Filtros Passa Baixa
Filtros de Suavização
Objetivo:
• Suavizar a imagem pela redução das variações nos de
níveis de cinza que dão à aparência de “serrilhado” nos
patamares de intensidade.
• Atenuar as altas freqüências, que correspondem às
transições abruptas.
• Minimizar ruídos.
Filtros Passa-Alta
ou de Acentuação
• Atenuam ou eliminam as baixas freqüências, realçando as
altas freqüências.
• Usados para realçar os detalhes na imagem (intensificação
ou “sharpening”).
• Destacam características como bordas, linhas, curvas e
manchas.
• Tornam mais nítidas as transições entre regiões diferentes
(como os contornos), realçando o contraste.
Filtros passa-banda ou
elimina faixa
Filtros passa-baixa, passa-alta e passa-faixa em freqüência (acima) e no espaço
(abaixo).