Funções Próprias e Resposta em
Frequência dos SLITs
 Um SLIT transforma um sinal sinusoidal num sinal
sinusoidal
 Um SLIT transforma uma exponencial complexa numa
exponencial complexa
x[n]  e j n  y[n] 
   h[k ].e
H e j 

k  

j ( n  k )
j .n
h
[
k
]
.
e

e

k  
 j .k


 j .k
h
[
k
]
.
e

k  
 e
j
j n
 e 
 
y[n]  H e
y[n]  H e
j
j  .n  H e j
III-1
Respostas em Frequência
 Resposta em frequência de um atraso
y[n]  x[n  nd ]  H (e j )  e j nd
H (e
j
H (e j )   nd
) 1
Frequência
discreta
 Resposta de um SLIT a uma sinusóide
x[n]  A cos(0 n   )
  cos( n     )
y[n]  A H e
j
0
  H e j 
III-2
Respostas em Frequência
 Filtro passa
baixo ideal
 Filtro de
média móvel
 
Periodicidade da resposta
Amplitude
Fase
1
He 
M1 M 2 1
sin[ ( M 1  M 2  1) / 2]  j ( M 2 M 1) / 2
e
sin  / 2
j
III-3
Resposta a Sinusóides Aplicadas
Abruptamente
 Resposta transitória e resposta forçada
x[n]  e
j n
u[n]
x[n]  e j n  e j nu[n 1]
 
y[n]  H e j .e j
Resposta
forçada
Tende para zero desde que o
sistema seja estável 
existência da função de
resposta em frequência
 
 j k   j n
   h[k ].e
.e
 k n1

y[n]  ySS [n]  yT [n]
Resposta
transitória
III-4
Transformada de Fourier
 Útil na Interpretação da resposta em frequência
X e   X e .e  
 Transformada de Fourier inversa

X e j   X R e j  j.X I e j 
1
j
j n


x[n] 
X
e
.
e
d
Representação de um sinal

2 
por uma soma de sinusóides
j
de amplitude infinitesimal
(Integral)
Período 2
 Transformada de Fourier
   x[n].e
X e j 

 j n
n  
Espectro do sinal
jX e j 
j

 Condições suficiente
para a existência
 x[n]  
n  

ou
 x[n]
n  
2

III-5
Transformada de Fourier
 As exponenciais complexas representam uma
base ortogonal completa duma grande classe
de funções (as com transformada de Fourier).

j n1
j n 2
.
e
.
e
d  0, n1  n2

.............

 As exponenciais são funções próprias dos SLITs.
 e
y[n]  H e
j
j .n
III-6
Filtro passa baixo ideal
 A resposta ao impulso corresponde a
um sistema não causal, que não é
absolutamente somável, apesar de ter
energia finita.
O valor máximo da diferença
entre as duas funções não
tende para zero, apesar da
energia da função diferença
tender.
1,    c
H(e )  
0, cc
j
sin(c .n)  j n
H(e )  
e
n
n  
j

Fenómeno de
Gibs
III-7
Simetrias da Transformada de
Fourier
sequência
transformada
x * [ n]
X * ( e  j )
x * [  n]
Re[ x[ n]]
j. Im[x[ n]]
xe [ n ]
X * ( e j )
X e ( e j )
X O ( e j )
X R ( e j )
xO [n]
j . X I ( e j )
 

Sequência
real
transformada
x[n] X (e j )  X * (e  j )
p. imaginária
simétrica
Parte real é par

X e e j  X *e e j X O e j    X O* e j 
 
X O e j 
  

1
X e j  X * e  j 
2

 
X e e j 
  

1
X e j   X * e  j
2

III-8
Propriedades da Transformada de
Fourier
 Linearidade
 Deslocação no tempo
F
a1.x1[n]  a2 .x2[n] 
a1.X1 (e j )  a2 .X 2 (e j )
F
x[n  d ] 
e j d .X (e j )
 Inversão no tempo
F
real
x[n] 
X1 (e j ) x

 X1* (e j )
 Derivada na frequência
dX (e j )
n.x[n]  j
d
 Relação de Parseval

1
E   x[n] 
2
n  
2


F
2
X (e j ) d

 Modulação ou janela
y[n]  x[ n].w[ n] 
Y ( e j ) 
1
2

j
j (  )
X
(
e
).
W
(
e
)d


 Convolução no tempo
y[n] 

 x[k ].h[n  k ]  x[n] * h[n] 
k  
Y (e j )  X (e j ) H (e j )
III-9
Transformada de alguns sinais
sequência
 [ n]
 [n  d ]
1
transformada
1
e  j d

 2 . (  2 k )
k  
a u[n], a  1
u
u[n]
(n  1)a nu[n], a  1
1
1  a.e  j

1
   . (  2 k )
 j
1 e
k  
1
1  a.e 
 j 2
sequência
sin[ c n]
n
1, 0  n  M
x[n]  
 0, cc
e
transformada
 1,    c
X (e )  
0,  c    
sin[ ( M  1) / 2]  jM / 2
e
sin[ / 2]
j

 2 . (  
j 0 n
k  
cos[ 0 n   ]
0
 2 k )
[ .e j  (   0  2 k ) 

  .e
k  
 j
 

 2 
Nota: 2  ( )   
 (   0  2 k )]
III-10