TRANSFORMADA DE
FOURIER (FT)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Transformada de Fourier

Série de Fourier
 Análise espectral
de sinais periódicos
 Conteúdo espectral
 Freqüências múltiplas de kω (ou
2πkf)
 Como analisar conteúdo espectral
aperiódicos?
para sinais
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Análise desejada
 Avaliação de sistema usando sinais aperiódicos
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Análise atual
 Avaliação de sistema usando sinais periódicos
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Aproximação
 Criar sinal
viável
periódico a partir de trecho a periódico
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Qual
o efeito da aproximação nas séries de Fourier?
 t 
x ( t )  rect   T0 ( t )
w
 t 
x ( t )  rect   (5T0 ) ( t )
w
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Análise de
pulso retangular (w=1)
1
k
X[k ]  sinc 
2
2
1
k
X[k ]  sinc 
10
 10 
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Análise de
pulso retangular (w=1) corrigida
1
k
T0 X[k ]  2 sinc 
2
2
1
k
(5T0 )X[k ]  (5  2) sinc 
10
 10 
Transformada de Fourier

Série de Fourier “no limite”
 Análise do pulso retangular
 T0


 f0
Maior resolução da SF
“Estica” a SF lateralmente + “Amassa” a SF
 Manutenção da “área” da envoltória da SF
 Análise do pulso retangular corrigida
 T0


 f0
Maior resolução da SF
Envoltória da SF inalterada
 Note: abscissa passou de k para (kf0)
Transformada de Fourier

Definição
 Pares de
transformadas para freqüência em radiano

X( j)  FTx ( t )   x ( t )e  jt dt

1 
 jt
x ( t )  FT X( j) 
X
(
j

)
e
d

2  
1
 ou
x(t)  X( j)
FT
Transformada de Fourier

Definição
 Pares de
transformadas para freqüência em Hz

X( j2f )  FTx ( t )   x ( t )e
 j2 ft


x ( t )  FT X( j2f )   X( j2f )e
1

 ou
x(t )  X( j2f )
FT
dt
 j2 ft
df
Transformada de Fourier

Definição
 Ortogonalidade de e-jΩt




e
 jt
d  2( t )


e  jt dt  2()
no espaço e+jΩt  X(jΩ)
 Projeções de X(jΩ) no espaço e-jΩt  x(t)
 Projeções de x(t)
Transformada de Fourier

Análise de alguns resultados
 Efeito de amplificação e deslocamento
 pulso unitário
 x(t) = rect(t)  X(jΩ) = ?
 Sinal
temporal
Transformada de Fourier

Análise de alguns resultados
 Efeito de amplificação e deslocamento
 Sinal
temporal
 pulso unitário
Ω= 2π
F=1
Transformada de Fourier

Análise de alguns resultados
 Efeito de amplificação e deslocamento
 Sinal
 pulso unitário
temporal
Transformada de Fourier

Transformada Generalizada
 Situações de
falha de convergência da integração
 Exemplos:




x(t) = A
x(t) = u(t)
x(t) = sen(2πf0t) ou x(t) = cos(2πf0t)
x(t) = sgn(t)
 Uso de fator de convergência

e-σ|t|, σ  zero
Transformada de Fourier

Transformada Generalizada
 Uso de fator de convergência

e-σ|t|, σ  zero
FT
x ( t )  1
X( j)  2 ()
FT
x ( t )  cos( 0 t ) 
X( j)    (   0 )   (   0 )
FT
x ( t )  sen( 0 t ) 
X( j)  j  (   0 )   (   0 )
2
x ( t )  sgn(t ) 
j
FT
1
x ( t )  u ( t )   () 
j
FT
Transformada de Fourier

Transformada Generalizada
 Existe
freqüência negativa?
 Explique cos(Ω0t)  0.5 {δ(Ω + Ω0) + δ(Ω - Ω0)}
Transformada de Fourier

Computação numérica
 No
Matlab/Octave/Scilab
 X(jkΩ)



= Ta fftshift(fft(x[n], NFFT))
onde x[n] = x(nTa)
x[n] é amostragem de x(t)
Ta = (1/fa) = período de amostragem de x[n]
 Corresponde ao valor da FT

na freqüência kΩ
-NFFT/(2Ta) ≤ f k ≤ +NFFT/(2Ta)
 Em coordenadas discretas: 1 ≤ k ≤ NFFT
Transformada de Fourier

Propriedades
 Linearidade
FT
x ( t ) 
X ( j )
FT
y( t ) 
Y ( j )
z( t )  ax( t )  by ( t )  Z( j)  aX( j)  bY ( j)
FT
Transformada de Fourier

Propriedades
 Deslocamento tempo
FT
x ( t ) 
X( j)
y( t )  x ( t  t 0 )  Y( j)  X( j) e
FT
 Deslocamento em
 jt 0
freqüência
x ( t )  X( j)
FT
FT
y( t )  x ( t ) e  j0 t 
Y( j)  X( j(  0 ))
Transformada de Fourier

Propriedades
 Deslocamento
no tempo
 Alteração linear da fase de
todas as componentes
espectrais do sinal
 Deslocamento em
 Usada em

freqüência
modulação para sistemas de comunicação
Rádio AM
Transformada de Fourier

Propriedades
 Escala no tempo
x ( t )  X( j)
FT
y( t )  x (at)  Y( j)  1 a  X( j  a )
FT
 Escala em
freqüência
FT
x ( t ) 
X ( j )
FT
y( t )  1 a  x(t a ) 
Y( j)  X( j(a))
Transformada de Fourier

Propriedades
 Escala
no tempo e em freqüência
 Compressão em um domínio gera expansão
no outro
Transformada de Fourier

Propriedades
 Escala
no tempo e em freqüência
 Princípio de incerteza

Conceito de localidade de energia
Transformada de Fourier

Propriedades
 Conjugado
FT
x ( t ) 
X( j)


y( t )  x ( t )  Y( j)  X ( j)
 Qual
FT
o efeito para x(t) ∈ R?
Transformada de Fourier

Propriedades
 Conjugado
 Exemplos
Transformada de Fourier

Propriedades
 Modulação
FT
x ( t ) 
X ( j )
FT
y( t ) 
Y ( j )
FT
z( t )  x ( t )  y( t ) 
Z( j)  Y( j)  X( j)
 Convolução
z(t)  x(t)  y(t)  Z( j)  Y( j)  X( j)
FT
Transformada de Fourier

Propriedades
 Modulação e
Convolução
 Dualidade
 Sistemas


Convolução no tempo  resposta ao impulso
Modulação em freqüência  resposta em freqüência
Transformada de Fourier

Propriedades
 Diferenciação
FT
x ( t ) 
X( j)
dx ( t ) FT
y( t ) 
 Y( j)  j  X( j)
dt
 Integração
X ( j )

Y
(
j

)

 X(0)()

t

j
FT
y( t )   x ()d 


X( j2f ) 1
Y( j2f ) 
 X(0)( j2f )

j2f
2
Transformada de Fourier

Propriedades
 Integração
 Como conseqüência da definição da
FT

X(0)   x ( t )dt


x (0)   X( j)d

1 

X ( j2f )df

2  
Transformada de Fourier

Propriedades
 Dualidade
FT
x ( t ) 
X ( j )
FT
y( t )  X( jt ) 
Y( j)  2x ()
FT
y( t )  X( jt ) 
Y( j)  2x ()
 Útil em cálculos
Transformada de Fourier

Propriedades
 Dualidade
FT
rect(t) 
sinc( 2)
FT
sinc(t) 
rect( 2)
Transformada de Fourier

Propriedades
 Sinais periódicos
 Naturalmente não são absolutamente integráveis
 São decompostos em séries de Fourier
x(t ) 

 j( ka ) t
X
[
k
]
e


k  

 j( k 2 f a ) t
X
[
k
]
e

k  

FS
x ( t ) 
X( j)  2  X[k ] δ(  ka )
k  
FS
x ( t ) 
X( j2f ) 

 X[k] δ(f  kf )
k  
a
Transformada de Fourier

Propriedades
 Teorema de
Parseval
x(t)  X( j)
FT




x ( t ) dt   X(f ) df
2
2

1 
2

X( j) d

2  
 Lembre-se:
energia total de x(t) pode ser calculada em
qualquer domínio
Transformada de Fourier

Propriedades
 Teorema de
Parseval
 Densidade espectral de energia/potência


Densidade de energia/potência espectral
Power Spectral Density (PSD)
 |X(f)|2 ou
|X(jΩ)|2