Sinais e Sistemas Discretos no Tempo
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Introdução
Sinais discretos: Seqüências
Sistemas discretos no tempo
Sistemas lineares discretos no tempo - LTI
Propriedades de sistemas LTI
Equações diferença lineares com coeficiente constante
Representação no domínio da freqüência
Representação de seqüências por transformada de Fourier
Propriedades de simetria transformada de Fourier
Teoremas da transformada de Fourier.
1
2.0 Introdução
• Sinal: algo que contém informações sobre o estado ou
comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz.
• Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo
de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua
independente.
• Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são
representados como uma seqüência de números.
• Sistema de processamento de sinais
– Sistemas contínuos no tempo
– Sistemas discretos no tempo
2
Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempo
b) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s
Sinal discreto no tempo
3
2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências
• Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou
complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como
o clock instantâneo de um processador digital.
• Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única
amostra.
1; n  0
 (n)  
0; n  0
 (n  k )
 (n )
1
1
0 1
1; n  k
ou  (n  k )  
0; n  k
2
3
0 1
2
3
k
k+1
4
Impulso unitário ou sequência unitária
• O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso
unitário ou função delta de Dirac.
• A propriedade da integração da função impulso envolvendo
deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório
de sequências unitárias deslocados.
Propriedade do deslocamento
• Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de
impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um
peso:

x(n)   x(k ) (n  k )
k  
• Outra interpretação usando convolução.
x(n)  x(n) *  (n)
5
• Função degrau unitário
1; n  0
u( n )  
0; n  0
1; n  k
u( n  k )  
0; n  k
ou
u( n  k )
u(n )
1
1
0 1
2
3
4
5
0 1
• Outra interpretação:
u( n  k ) 
 (m)
m  
3
k k+1 k+2 k+3
n

m  
m 0
u ( n) 
n k
2
e
  (m)    (n  k )
 (n)  u(n)  u(n  1)
6
Exponencial
x[n]  A n
Senoidal
x[n]  A cos( o n   )
7
Sistemas Discretos no Tempo
• Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente
como uma transformação ou um operador que mapeia uma
sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência
com valor y[n], isto é:
Classificação:
• Sistemas sem Memória
x[n0 ]  y[n0 ], x[n1 ]  y[n1 ],........
Exemplo:
y[n] = (x[n])2 + 2x[n] ;
y[ n ]  e x [ n ]
y[n]=x[n]-x[n-1] , sistema com memória
8
Sistemas Discretos no Tempo
Sistemas Lineares
Um sistema é linear se ele obedece o teorema da superposição
T {ax1[n]  bx2 [n]}  aT{x1[n]}  bT{x2 [n]}
Exemplo:
n
n
y [ n ]   x[ k ]
n
y1 [ n ]   x1 [ k ]
k  
y2 [ n ]   x2 [ k ]
k  
k  
n
n
n
n
k  
k  
k  
k  
y3 [ n ]   x3 [ k ]   ( ax1 [ k ]  bx1 [ k ])  a  x1 [ k ]  b  x2 [ k ]
9
Sistemas Discretos no tempo
• Sistemas Invariante no Tempo
x( n )  y( n ), então x( n  n0 )  y( n  n0 )
• Exemplo:
n
y [ n ]   x[ k ]
k  
n  n0
y [ n  n0 ]   x [ k ]
k  
n
n
n  n0
k  
k  
k  
y1 [ n ]   x1 [ k ]   x1 [ k  n0 ]   x1 [ k1 ]  y [ n  n0 ]
10
Causalidade
• Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da
sequência de saída para n = no dependem somente dos valores da
sequência de entrada par n  no, ou seja y(n) é uma função de {…,
x(n-2), x(n-1), x(n)} somente.
• Só depende de valores passados
• Exemplos:
n
y [ n ]   x[ k ]
k  
y [ n ]  x[ n ]  x[ n  1 ]
y[n]=x[n]-x[n+1] , não causal
Obs. Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo
uma saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se
11
o sistema é causal.
Estabilidade
• Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input,
bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada
limitada a saída resultante é também limitada.
• Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum
AR, A>0, é verdadeiro que:
x(n)  A para todon ( x é limitado)
Então existe um BR, B>0, tal que:
y(n)  B para todon ( y é limitado) onde
• Exemplo:
y (n)  L[ x(n)].
y[ n ]  e x [ n ]
n
y [ n ]   x[ k ]
k  
12
Sistema instável. Se x[n]=u[n]; saída infinita
Sistemas discretos lineares e invariante no tempo
(LTI)
• Um sistema L é um processo de transformação de sinais.
L
x(n)
y(n)
y(n)=L[x(n)]
• Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que
y(n)  L[ x(n)]
e
w(n)  L[v(n)]
e qualquer constante a, b  R , tem-se:
ay(n)  bw(n)  L[ax(n)  bv(n)]
• Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao
deslocamento) se para todo x(n) tal que y (n)  L[ x(n)],
tem-se, para todo k, que :
y(n  k )  L[ x(n  k )]
13
Resposta ao impulso unitário de um sistema
linear
• A resposta ao impulso unitário de um sistema L é definida por:
h(n)  L[ (n)]
• Se o sistema L é LTI, então
[ n ]
L
h[ n ]
h(n  m)  L[ (n  m)]
A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo
caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os
sistemas LTI contínuos no tempo.
• Resposta ao impulso unitário  Resposta a qualquer entrada
14
Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer
• Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n),
considere:
y[n]=L(x[n]). Mas, x[n], pode ser escrito um somatório de
impulsos, ou seja:

x(n)   x(k ) (n  k )
k  
Portanto:
 

y [ n ]  Lx[ n ]   L   x[ k ] [ n  k ] 
k 


y [ n ]   x [ k ] L[ n  k ] 
k  

y [ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
Convolução soma
15
Convolução Soma
• Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou
seja:
y[n]  Lx[n]

e então
y [ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser
avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão.
• Exceto para certos sinais simples é difícil encontrar uma forma
fechada para o resultado.
• A operação de convolução é representada por:

y [ n ]  x [ n ] * h[ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
y[n]  x[n] * h[n]  h[n] * x[n]
16
Convolução Soma

y [ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
Como calcular:
1. Rebate-se um dos sinais, isto é, escrevendo x[-n] ou h[-n].
2. Calcula-se y[n] para cada n deslocando-se x[n] sobre
h[n], ou vice-versa.
3
Exemplo: x[n]
1
1
0
1
h[n]
n
2
0
n
1
3
2
1
... -2
-1
0
y[n]=0, n<0
1
1
2
3
k
17
3
x[n] 1
0
2
1
n
1
0
n
1
3
2
1
... -2
-1
0
1
1
2
3
n
y[n] = 0, n < 0;
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
18
3
x[n] 1
0
2
1
1
n
0
n
1
3
2
1
... -2
-1
0
1
1
2
3
n
y[n] = 0, n < 0;
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
19
3
x[n] 1
0
2
1
1
n
0
n
1
3
2
1
... -2
-1
0
1
1
2
3
n
y[n] = 0, n < 0;
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2
20
3
x[n] 1
0
2
1
1
n
0
n
1
3
2
1
... -2
-1
0
1
1
2
3
n
y[n] = 0, n < 0;
y[0] = x[0]h[0] = 1x3= 3
y[1]= x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1x2+1x3 = 5
y[2] = x[1]h[1] = 1x2= 2
y[n] = 2, n > 0;
21
Causalidade e Estabilidade

y [ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
• Teorema - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é
causal e e somente se:
h( n )  0 para n  0.
• Teorema - Um sistema LTI é estável se somente se ele tem uma
resposta impulso unitário h(n) absolutamente somável, ou seja:

 h( n )  
n  
22
Propriedades de Sistemas LTI
• Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela

convolução soma.
y [ n ]   x [ k ] h[ n  k ]
k  
• Comutativa:
y[n]  x[n] * h[n]  h[n] * x[n]
• Distributiva: x[n] * (h1[n]  h2 [n])  x[n] * h1[n]  x[n] * h2 [n]
x[n]
h1[n]
h2 [n]
y[n]
h1[n]
y[n]
x[n]
x[n]
x[n]
h2 [n]
h1[n]
h1[n] * h2 [n]
y[n]
y[n]
Cascade connection of LTI Systems
h2 [n]
x[n]
h1[n]  h2 [n]
y[n]
Parallel connection of LTI Systems
23
Exemplos de Sistemas LTI
• Retardo ideal
h[n]   [n  nd ], nd  0
• Média móveis
1

M2
 M1  n  M 2 ,
1

h[n ] 

[
n

k
]

 M1  M 2  1

M 1  M 2  1 k  M1

0,
otherwise.

• Acumulador
1, n  0
h[n]   [k ]  
 u[n]
0
,
n

0
k  

n
• Forward Difference
h[n]   [n  1]   [n].
• Backward Difference
h[n]   [n]   [n  1].
24
Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes
• Um sistema LTI discreto pode ser caracterizado por uma equação
diferença linear com coeficientes constantes
• Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação
diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de
sistemas contínuos.
• Exemplo - Equação diferença genérica:
K
M
k 0
m 0
 b(k ) y(n  k )   a(m) x(n  m).
que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como
uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante
25
de tempo.
Equação Diferença: Exemplo
• Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se
1
1
y (n  1)  y (n  2)  x (n )
2
8
Representação gráfica
y (n) 
x(n)
+ 
- -
y (n )
Unit
delay
y(n  1)
1/2
Unit
delay
A Digital Filter
1/8
y(n  2)
• Dado um sistema descrito por uma equação diferença, a saída do
sistema pode ser encontrada pela solução da equação no domínio do
tempo ou da transformada Z.
26
Exemplo
• Considere a seguinte equação diferença:
y(n)  9 y(n  2)  x(n)
• Encontre
y (n )
para
n  0,...,
– a condição inicial:
dada:
y(1)  y(2)  0
– entrada: x(n)  n2  n
• Solução numérica:
y (0)  x (0)  9 y ( 2)  0
y (1)  x (1)  9 y ( 1)  2
y (2)  x (2)  9 y (0)  6
y (3)  x (3)  9 y (1)  20
• Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).
27
Transformada de Fourier de Sinais Contínuos
Define-se a transformada de Fourier de um sinal contínuo x(t)
e a sua inversa pelas integrais:

X (  )   x( t )e jt dt

1 
jt
x( t ) 
X
(

)
e
d

2  
A transformada de Fourier X (  ) representa o conteúdo de
frequência do sinal x(t). Em geral é complexo.
Notação:
x( t )  X (  )
28
Transformada de Fourier
Algumas propriedades importantes:
1. Linearidade:
ax1( t )  bx2 ( t )  aX1(  )  bX2 (  )
2. Deslocamento no tempo:
x( t  t0 )  G(  )e jt0
3. Deslocamento na frequência: x( t )e j0t  G(   0 )
4. Convolução no tempo
5. Produto no tempo:
x1( t )* x2 ( t )  X 1(  ) X 2 (  )
1
x1 ( t )x2 ( t ) 
X 1(  )* X 2 (  )
2
29
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier da convolução de entre os dois sinais
x1(t) e x2(t).

x1( t )* x2 ( t )   x1(  )x2 ( t   )d integral de convolução

 
  jt
F [ x1( t )* x2 ( t )]     x1(  )x2 ( t   )de dtd
 

Fazendo
t   
t  
dt  d
 
  j(   )
F [ x1( t )* x2 ( t )]     x1(  )x2 (  )de
dd
   


F [ x1( t )* x2 ( t )]   x1( t )e

 j 

d  x2 (  )e  j d  X 1(  ) X 2 (  )

x1( t )* x2 ( t )  X 1(  ) X 2 (  )
30
Exemplo de alguns pares de transformada
1. ( t )  1
2. 1  2 (  )
3. cos( 0 t )  (   0 )  (   0 )
4. cos( 0 t )   j(   0 )  (   0 )
t
T
AT sen( T / 2 )
5. Arect( )  ATsa(
)
T
2
( T / 2 )

1 
2 k
6.  ( t  kT ) 
)
 (  
T k  
T
k  
31
Amostragem Periódica
Um método típico de obter um sinal discreto é através da amostragem
de um sinal contínuo no tempo, isto é:
x(n)  xc (nTs )
32
Teorema da Amostragem
• Teorema da Amostragem descreve precisamente quanta informação é
retida quando uma função é amostrada ou, se uma função de banda
limitada pode ser exatamente reconstruída a partir de suas amostras.
• Demonstração: Suponha que xc (t )  X c () é um sinal de banda
limitada no intervalo de frequência  c , c  ou X ()  0 for   c
X ()

 c
0
c
Então x(t) pode ser exatamente reconstruída das amostras eqüidistantes
x(n)  xc (nTs )  xc (2n / s )
s  2c
onde Ts  2 / s é a amostra periódica, f s  1 / Ts é a frequência de
amostragem (amostras/segundo), s  2 / Ts é para radianos/seg.
33
Representação Matemática da Amostragem
s(t )
xc (t )
s(t ) 
xs (t )
Conversão de trem
de impulsos para
seqüência discreta
x(n)  xc (nT )

  (t  nT )
n  
Trem de impulsos

xs (t )  xc (t ) s (t )  xc (t )   (t  nT )
n  

xs (t )   xc (nT ) (t  nT )
n  
(modulação)
(propriedade do deslocamento)
2 
S ( j ) 
  (  k s ) onde  s  2 / T é a taxa de amostragem.
T k 
1
1 
X s ( j) 
X c ( j) * S ( j)   X c  j (  ks ) 
2
T k 
1 
   2k  
j
X
(
e
)

X



c  j
j
jT
T k    T
T 
X s ( j)  X (e )
 X (e ).
 T
34
Espectro de xc(t)
Trem de impulso
no domínio da frequência
Espectro do sinal
amostrado, quando
s  2 / T  2 N
Espectro do sinal
amostrado, quando
s  2 / T  2  N
35
Reconstrução exata de um sinal contínuo a partir de
suas amostras usando um filtro passa-baixa.
36
O efeito da aliasing na amostragem de uma função coseno
Aliasing : sobreposição de espectros
xc (t )  cos(o )
37
Exemplo: Amostragem do sinal contínuo xc (t )  cos(4000t )
com período de amostragem T = 1/6000 e taxa de amostragem
s  2 / T  12000
38
Transformada de Fourier de Sequência
• Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n)
é dada por:
X (e j ) 

 jn
x
(
n
)
e

n  
contanto que x(n) seja absolutamente somável:

 x(n)  .
n  
• A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente
para a existência da FT.
• Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função
X (e j )
é dada por:
1 
j
jn
x( n ) 
X
(
e
)
e
d.


2
• Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser
interpretada em termos da representação em série de Fourier.
39
2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier
• Sinais: A transformada de Fourier X (e j ) de um sinal x(n)
descreve o conteúdo de frequência do sinal.
j
– Para cada frequência 0 , o espectro de amplitude X ( e )
descreve a importância daquela frequência contida no sinal.
0
– Para cada frequência 0 , o Espectro de fase X (e j0 )
descreve a localização (deslocamento relativo) daquela
componente de frequência do sinal.
• Sistemas: A resposta em frequência H (e j ) de um sistema linear
descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas
– Uma componente de frequência da entrada 0 é amplificada ou
atenuada por um fator H (e j ) .
0
– Uma componente de frequência da entrada 0 é defasada por
40
uma quantidade H (e j ).
0
Exemplo: Filtro Passa-Baixa
H ( e j 0 )
Espectro de Amplitude
de um filtro passa-baixa
ou sistema passa-baixa
 2

0 c

2
• O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é H ( e j 0 ) é composto
principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma
dada frequência de corte c . Frequências mais altas ocorrem com baixa
amplitude.
• Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima
deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas.
• As frequências mais altas se aproximam de   (2k  1) .
41
2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma
entrada senoidal
• Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), H (e jé)
uma função senoidal
x(n)  A0 cos(0n   ) ( A0  0)
1 j (0n  )
 e  j (0n  )
Mas cos( 0n   )  e
2
A0 j (0n  )
E então:
j 0
 j (  0 n  )
 j 0

y (n) 

e
2
Como h(n) é real, H (e


H (e
 j0
)e
H (e
)

)  H * (e j0 ,) então



*
A0 j (0n  )
e
H (e j0 )  e j (0n  ) H (e j0 )
2
 A0 Re e j (0n ) H (e j0 )
y (n) 

 A ReH (e )cos( n   )  A ImH (e )sin( n   )
j0
0
j0
0
0
 A0 H (e j0 ) cos[ 0n    H (e j0 )]
0
42
2.7.5 Analise da resposta senoidal
• A resposta a uma função senoidal com frequência 0 não é
afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho
(atenuação ou amplificação) H ( e j ) e a fase por deslocamento
0
H (e j0 )
• Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier
j

j
j
H (e )  H (e ) H (e )
*

1/ 2
Espectro de Fase
j

H
(
e
)
j
1
I
H (e )  tan 
j 
H
(
e
)
 R

j
j
 H (e )  H (e )
2
R
2
I

1/ 2
H R (e j )  ReH (e j )
onde,
H I (e j )  ImH (e j )
• A transformada de Fourier pode ser expressa na forma:
H (e
j0
)  H (e
j0
)e
jH ( e j 0 )
43
2.7.6 Exemplo: Função impulso
• Função impulso: x(n)  A (n)
x(n )

X (e j )  A  (n)e  jn
A
n  
n
-3 -2 -1
0 1
2
 Ae j 0  A
  [ ,  ].
3
X ( e j )
A

44
2.7.6 Exemplo: Função “Comb”
• Função “Comb”:
j
X (e )  A
N 1
e
n   N 1
 A;
x(n)  
 0;
 jn
n  N 1
else
cos[ ( N  1)]  cos(N )
A
1  cos( )
  [ ,  ].
x(n ) A
X ( e j )
A
n

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
45
2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular
• Pulso triangular:
 A[1  n /( N  1)];
x(n)  
0;

n  N 1
else
N 1
N 1
1

 jn 
X (e j )  A  e jn 
n
e


N

1
n   N 1
n N 1

N 1
Noteque
 ne
 jn
n 1
x(n ) A
d N 1  jn
 j
e .

d n1
X ( e j )
n
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
46

2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral
• Exponencial unilateral:

X (e )   a e
j
n  jn
n 0
a  n ;
x(n)  
 0;
n0
else
a

a-e  j
    ,  .
x(n )
1
X ( e j )
n
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(a=2)
47

2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral
x(n)  a
• Exponencial bilateral:
j
X (e ) 

a
n
e
 jn
n  
x(n )
n
(a  1)
a 1
 2
a -2a cos( )  1
2
    ,  .
1
X ( e j )
n
3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(a=2)
48
2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier
• Definições:
conjugado - sequência simétrica: xe (n)  xe* (n)
conjugado - sequência antisimétrica : xo (n)   xo* (n)
– Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência
conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada
antisimétrica (x(n) real e ímpar): x(n)  x (n)  x (n)


0
1
x ( n )  x* ( n )  xe* ( n )
2
1
xo ( n )  x ( n )  x * ( n )   xo* ( n )
2
xe ( n ) 
onde,


e
• Similarmente, a transformada de Fourier X (e j ) pode ser expressa
como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas.
X (e j )  X e (e j )  X o (e j )
Onde,




1
X (e j )  X * ( e  j )  X e* ( e  j )
2
1
X o (e j )  X ( e j )  X * (e  j )   X o* ( e  j )
2
X e ( e j ) 
49
2.8.2 Propriedades de Simetria da Transformada
de Fourier
Sequência x(n)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
x* (n )
x* ( n )
Rex(n)
Imx(n)
xe (n )
xo (n )
Any real x(n)
Any real x(n)
Any real x(n)
Any real x(n)
Any real x(n)
xe (n) (real x(n))
xo (n) (real x(n))
Transformada de Fourier X (e j )
X * (e j )
X * (e j )
X e (e j )
X o (e j )


X R (e j )  Re X (e j )
jX I (e j )  j Im X (e j )
X (e jj )  X * (e jj )


X R (e )  X R (e )
X I (e j )   X I (e j )
X ( e j )  X ( e  j )
X (e j )  X I (e j )
X R (e j )
jX I (e j )
50
2.9 Teoremas da Transformada de Fourier
Fourier Transform X (e j ) andY (e j )
Sequence x(n) and y(n)
1.
2.
3.
4.
5.
ax(n)  by(n) (Linearity)
x(n  nd ) (nd an integer,timeshifting)
e j0n x(n) (frequencyshifting)
x(n) (timereversal)
nx(n) (differentiationin frequency)
aX (e j )  bX (e j )
e jnd X (e j )
X (e j ( 0 ) )
X (e j )
dX ( e j )
j
d
on theorem) X (e j )Y (e j )
6. x(n) * y(n) (convoluti
1 
j
j (  )
X
(
e
)
Y
(
e
)d
7. x(n) y (n) (windowing theorem)


2
Parseval’s Theorem

8.

n  

1
x(n) 
2
2



1
x
(
n
)
y
(
n
)

9. 
2
n  
*
2
X (e j ) d



2
( X (e j ) is called theenergy density spectrum.)
X (e j )Y * (e j )d
51
Exercício: Prova do Teorema de Parseval

Proof:

n  


1
x(n) 
2
2

  X (e

j
2
) d
*

 1 

j
jn
x
(
n
)

x
(
n
)
x
(
n
)

x
(
n
)
X
(
e
)
e
d









 2

n  
n 
n 

1 
j
 jn
  x(n)
X
*
(
e
)
e
d



2
n  
2
*
1

2
 
 jn 
X
*
(
e
)
x
(
n
)
e

d

 n


j
1 
j
j

X
*
(
e
)
X
(
e
)d



2
1 
j 2

X ( e ) d



2
52