2
EXAME ANA LISE DE SINAIS
11/2/00
Use uma folha separada para cada problema
Identique cada folha (numero e nome)
Problema 1
h(t)
x(t)
1
1
-1/2
1/2
0
-1
t
t
1
Considere os sinais x(t) e h(t) representados na gura acima.
1. Calcule e represente gracamente o sinal y(t) = x(t) ? h(t).
Nota 1: Indique e calcule todos os integrais que permitem obter a express~ao analtica de y (t).
Nota 2: Os sinais x e h s~ao pares e portanto a convoluc~ao x ? h tambem e par.
2. Exprima h0 (t) como combinac~ao linear de rect (t ; a), onde a 2 R. Determine e represente, sem calcular integrais,
x ? h0 (t).
3. Suponha que se disp~oe de dois blocos tipo D1 (atraso unitario) e de dois integrador ideais (bloco I ). Os blocos
D1 e I est~
ao ilustrados na gura abaixo.
t
x(t)
x( ) d
x(t)
x(t-1)
I
D1
Verique que h(t ; 1) = rect (t ; 1=2) ? rect (t ; 1=2). Exprima rect (t ; 1=2) em termos do escal~ao unitario u(t)
e use a express~ao obtida para conceber um dispositivo com resposta impulsional h(t ; 1). Desenhe o diagrama
de blocos deste dispositivo (construdo com os blocos D1 e I disponveis) e justique-o.
Sugest~ao: Comece por obter a resposta impulsional do integrador ideal e conceba um circuito com resposta
impulsional rect (t ; 1=2).
Problema 2
A gura abaixo representa os sinais 1 , 2 e 3 todos pertencentes a L2[;1; 1].
1
1
-1
0
t
-1
1
1
t
0
1
t
1. Seja x = at+b, com a; b 2 R e t 2 [;1; 1], uma func~ao linear. Desenhe o graco de w = x(;1)1 +x(0)2 +x(1)3 .
Verique que w = x. Sera que a projecc~ao de qualquer func~ao x 2 L2 [;1; 1] no subespaco gerado por f1 ; 2 ; 3 g
se pode escrever como w = x(;1)1 + x(0)2 + x(1)3 . Justique.
2. Mostre, sem calcular valores, que os sinais (1 ; 1 ) = (3 ; 3 ) = 1=2(2 ; 2 ) e que (1 ; 2 ) = (2 ; 3 ). Determine
a matriz de Grahm
2
3
(1 ; 1 ) (2 ; 1 ) (3 ; 1 )
6
7
G = 4 (1 ; 2 ) (2 ; 2 ) (3 ; 2 ) 5 :
(1 ; 3 ) (2 ; 3 ) (3 ; 3 )
Nota: Para determinar a matriz G so necessita de calcular dois produtos internos.
3. Determine a projecc~ao de x(t) = t + 2, para t 2 [0; 1], no subespaco gerado por f1 ; 2 g.
Problema 3
Considere um SLIT com func~ao de transfer^encia
H (f )
e o sinal periodico de perodo T = 4
(
= rect (4f =3)
= g(t)
jtj < T =2
x(t + T ) = x(t);
em que g(t) e o sinal representado na gura abaixo.
x(t)
g(t)
1
-2
-3/2
1/2
-1/2
3/2
2
t
1. Determine os coecientes xn da serie complexa de Fourier associada a x(t).
Sugest~ao: Verique que x(t) = tri (t + 1=2) + tri (t ; 1=2).
2. Determine a serie complexa de Fourier associada a resposta y(t) do SLIT a entrada x(t).
3. Escreva a serie de Fourier associada a y(t) na forma trignometrica. Esboce o graco de y(t).
4. Para t 2 [0; 4], desenhe o sinal v(t) cujos coecientes de Fourier s~ao dados por
vn
=
h
xn j
n i
n 3
+
[n]) e;j 2 2 :
2
Problema 4
Considere um SLIT causal descrito pela seguinte equac~ao as diferencas:
y [n] + (1=2)y [n
; 1] = x[n] ; 3x[n ; 1]
1. Obtenha a func~ao de transfer^encia H (z ), indique e justique a respectiva ROC e calcule a resposta impulsional
h[n].
2. Para o sinal de entrada x[n] = 2nu[;n ; 1], obtenha Y (z ) = T Z fy[n]g, indique e justique a respectiva ROC e
calcule a resposta y[n].
3. Mostre que a resposta y1 [n] ao sinal de entrada x1 [n] = (7=5)3nu[;n ; 1] coincide com a resposta y[n] calculada
acima, para n 0. Indique a ROC de Y1 (z ) = T Z fy1[n]g.