1º LISTÃO QUINZENAL DE MATEMÁTICA – MAIO/2011 – 2º ANO
PARTE 1 – SISTEMAS LINEARES
01. (FGV/SP) Resolvendo o sistema abaixo, obtém-se para z o valor:
⎧ x+y+z =0
⎪
⎨ 2x − y − 2z = 1
⎪ 6y + 3z = −12
⎩
a) -3
b) -2
c) 0
d) 2
e) 3
Alternativa: D
⎧3 − 6 = 1
⎪x y 6
e x.y ≠ 0, o valor de 3x –y é
02. (Mack-2007) Se (x,y) é a solução do sistema ⎨
2 3 1
⎪ + =
⎩x y 2
1
2
a)
b) 1
c) 0
d) -2
e) -1
Alternativa: C
03. (UFJF/MG-2006) Resolvendo o sistema de equações lineares:
⎧ 3x − y + 2 z = 7
⎪
⎨2 x − 3 y + z = −1
⎪ x + 2y − z = 2
⎩
encontramos y igual a:
a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 2.
e) 4.
Alternativa: D
⎧2 1 1
⎪ x − y − z = −1
⎪
⎪1 1 1
04. (UFAM/PSC-2009) Determine o valor de x, y e z respectivamente, tais que ⎨ + + = 0
⎪x y z
⎪3 2 1
⎪ − + =4
⎩x y z
9
9
e −
a) −3, −
14
17
9
9
b) −3,
e
14 17
9
9
e
c) 3, −
14 17
9
9
e
14 17
9
9
e) −3,
e −
14
17
d)
−3, −
Alternativa: D
05. (UFMA/PSG II-2004-2006) Se (a, b, c) é solução do sistema de equações
a)
b)
⎧ 2 x − 3 y + z = 18
⎪
⎨ x + y − 2 z = −11 , então:
⎪ x − y + 3 z = 20
⎩
1 1 1 13
+ + =
a b c 15
a + b + c = 10
a 2 + b 2 + c 2 = 36
abc = 15
abc = −30
c)
d)
e)
Alternativa: E
⎡ x⎤
⎡ 2 1 3⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 2 y ⎤
x y z
⋅ ⎢ y⎥ = ⎢
+ + é:
06. (ESPM/SP-2007) Se ⎢
, com x ≠ 0, y ≠ 0 e z ≠ 0 , o valor de
⎥
⎥
y z x
⎣ 0 −1 1⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ x + z ⎦
⎣ ⎦
a) 1
b) –1
c) 3
d) 2
e) –2
Alternativa: B
07. (UERJ/RJ-2007-Fase2) Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar:
xC5 H12 O6 → yCO2 + zC2 H 5 OH
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quantidades de átomos de cada
elemento químico. Esse processo dá origem ao seguinte sistema linear:
⎧6 x = y + 2 z
⎪
⎨ 12 x = 6 z
⎪6 x = 2 y + z
⎩
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros positivos de x, y e z que formam
uma das soluções desse sistema.
Resposta: x = 1, y = 2 e z = 2
⎧3x − 5y = 12
for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por
⎩4x + 7y = 19
08. (FGV/SP) Se o sistema linear ⎨
uma fração cujo denominador vale:
a) 41
b) 179
c) -179
d) 9
e) -9
Alternativa: A
⎧x − 2y − 2z = − 1
⎪
− 2z = 3 é:
09. (Unifesp/SP) A solução do sistema de equações lineares ⎨x
⎪
y − z =1
⎩
a) x = –5, y = –2 e z = –1.
b) x = –5, y = -2 e z = 1.
c) x = –5, y = 2 e z = 1.
d) x = 5, y = 2 e z = –1.
e) x = 5, y = 2 e z = 1.
Alternativa: E
⎧ x + 4z = - 7
⎪
10. (Fuvest/SP) ⎨ x - 3y = - 8
⎪ y + z =1
⎩
Então, x + y + z é igual a
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Alternativa: E
⎧x − y + z = 6
⎪
11. (Mack/SP) O sistema ⎨2x + y − z = − 3 é:
⎪x + 2y − z = − 5
⎩
a) possível e determinado, sendo x y z = - 6
b) possível e determinado, sendo x y z = - 4
c) possível e determinado, sendo x + y + z = 5
d) possível e indeterminado
e) impossível
Alternativa: B
12. (Unicamp/SP) Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
⎧2x + y + z + w = 1
⎪x + 2y + z + w = 2
⎪
⎨
⎪x + y + 2z + w = 3
⎪⎩x + y + z + 2w = 4
Resposta: S = { (–1, 0, 1, 2) }
13. (Fuvest/SP) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão
condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e
laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se
a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo
transportadas.
Resposta:
2000 maçãs, 3000 pêras e 5000 laranjas.
14. (FUVEST-2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas,
gastando R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5
cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o
de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
Resposta: O preço de um hambúrguer é R$4,00, o de um suco de laranja é R$2,50 e o de uma cocada é
R$3,50.
15. (Unicamp/SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará.
Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-dopará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser
de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das
outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Resposta:
a)
b) amendoim: 250
castanha de caju: 125
castanha-do-pará: 125
16. (PUC/PR-2006) Dado o sistema:
⎧ x+ y−z =0
⎪
⎨2 x + 5 y − 4 z = 0
⎪5 x + 2 y − 3 z = 0
⎩
afirma-se que esse sistema:
I. É sempre possível.
II. Só admite para a solução x = 0, y = 0 e z = 0.
III. Admite outras soluções diferentes de x = 0, y = 0 e z = 0.
IV. Nem sempre é possível.
É ou são verdadeiras:
a) I e III.
b) II e IV.
c) III e IV.
d) somente IV.
e) I e II.
Alternativa: E
17. (Vunesp/SP) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas,
entre sócios e não-sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso.
Sabendo-se que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, o número de sócios
presentes ao show é:
a) 80.
b) 100.
c) 120.
d) 140.
e) 160.
Alternativa: C
18. (Unicamp/SP) Um copo cheio de água pesa 385g; com
a) Qual é o peso do copo vazio?
3
da água?
b) Qual é o peso do copo com
5
Respostas:
2
da água pesa 310g. Pergunta-se:
3
a) 160g
b) 295g
19. (CPCAR) Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou desse
caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de
notas de R$ 10,00 é igual a
a) 16
b) 25
c) 24
d) 21
Alternativa: D
20. (Unicamp/SP)
a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o gráfico da função y = ax2 + bx + c passe pelos pontos (1, 10), (-2,
-8) e (3, 12).
b) Faça o gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais.
Respostas:
a) a = -1, b = 5 e c = 6
b) O gráfico da função y = -x2 + 5x + 6 é uma parábola que corta o eixo x nos pontos x = -1
e x = 6, cujo vértice é o ponto (2,5 ; 12,25) e que corta o eixo y no ponto (0, 6).
21. (Fatec/SP) Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga de certo material, obteve os seguintes dados:
Peso (em
N)
0
6
18
Deformação (no ponto
médio, em mm)
0
9
45
O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser dada em função do peso x por uma expressão do tipo D(x) =
ax2 + bx + c. Usando os dados da tabela, ele escreve um sistema de equações lineares e determina os valores dos
coeficentes a, b, c. O valor de a é
a) 9
b) 3
1
3
1
d)
12
1
e)
36
c)
Alternativa: D
22. (PUC/SP) Se x e y são números reais tais que log82x = y + 1 e log39y = x - 9, então x - y é igual a:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15
Alternativa: E
23. (FUVEST/SP) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um
ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter
R$11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com
juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de
Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?
a) R$20.000,00
b) R$22.000,00
c) R$24.000,00
d) R$26.000,00
e) R$28.000,00
Alternativa: A
24. (Mack/SP) Quando meu irmão tinha a idade que tenho hoje, eu tinha
1
da idade que ele tem hoje. Quando eu
4
tiver a idade que meu irmão tem hoje, as nossas idades somarão 95 anos. Hoje, a soma de nossas idades, em
anos, é
a) 53
b) 58
c) 60
d) 65
e) 75
Alternativa: D
25. (UFPB/PSS-2009) Em um determinado moinho, são usados dois tipos de grão de café, que são misturados
e moídos para se obter o café em pó, vendido aos consumidores em três embalagens diferentes (A, B e C). Os
percentuais dos tipos de grão presentes no café moído estão indicados, por embalagem, na tabela a seguir.
Embalagens
A
B
C
Tipos de grãos
I
40%
60%
30%
II
60%
40%
70%
O preço por kg do café da embalagem A é R$ 4,80 e o da embalagem B, R$ 5,20. Nesse contexto, sabendo-se que
o preço do café, em cada embalagem, é proporcional aos respectivos percentuais dos tipos de grão da mistura, é
correto afirmar que o preço por kg do café da embalagem C é:
a) R$ 5,80
b) R$ 6,40
c) R$ 4,60
d) R$ 4,20
e) R$ 5,60
Alternativa: C
26. (Mauá/SP) Para que valores de K o sistema abaixo é possível e determinado?
⎧kx + 3y = 2
⎨
⎩2x − y = 0
Resposta: para qualquer valor de k diferente de -6. (k ≠ -6)
⎧ x+y=5
⎪
27. (IBMEC/SP) Considere o sistema linear ⎨ x − y = −3
⎪kx + ky = 20
⎩
Para que o sistema seja possível devemos ter:
a) k = 4
b) k = 3
c) k = 2
d) k = 1
e) k = 0
Alternativa: A
⎧x + (c + 1)y = 0
, onde c ≠ 0, admite uma solução (x, y) com x = 1. Então, o valor de c
⎩cx + y = −1
28. (Fuvest/SP) O sistema ⎨
é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
Alternativa: B
⎧ax + 3y = 2
é possível e determinado:
⎩ 2x − y = 0
29. (UEL/PR) O sistema ⎨
a) para qualquer valor de a
b) somente para a = 0
c) somente para a = 6
d) se a ≠ 0
e) se a ≠ -6
Alternativa: E
30. (UFPB/PB) Determinar o valor de k para que o sistema linear abaixo não tenha solução:
⎧ x + 2y + 2z = 1
⎪
⎨ x + y + 6z = 1
⎪5x + 2y + kz = 0
⎩
Resposta: k = 42
31. (Fuvest/SP) Seja o sistema
⎧x + 2y - z = 0
⎪
⎨x - my - 3z = 0
⎪x + 3y + mz = m
⎩
a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução.
b) Resolva o sistema, supondo m = 0.
Resposta:
a) m ≠ -3
b) S = {(3α, -α, α)}
32. (FGV/SP-2007) A condição necessária e suficiente para que a representação gráfica no plano cartesiano das
equações do sistema linear
⎧( m + 1) x − y = 2
nas incógnitas x e y seja um par de retas paralelas coincidentes
⎨
⎩ 3 x + 3 y = 2n
(SPI) é:
a) m ≠ −2
b)
c)
d)
e n ≠ −3
m ≠ −2 e n = −3
m = −2
m = −2 e n ≠ −3
m = −2 e n = −3
e)
Alternativa: E
⎧ x − 2 y + kz = 0
⎪
33. (PUC/PR-2007) O valor real de k , para que o sistema linear ⎨3 x − ky + 2 z = 0 admita soluções diferentes de
⎪ kx + y + z = 0
⎩
x = y = z = 0 é:
a) -2
b) 0
c) -1
d) 2
e) 1
Alternativa: A
34. (Mack/SP) Um supermercado vende três marcas diferentes A, B e C de sabão em pó, embalados em caixas de
1kg. O preço da marca A é igual à metade da soma dos preços das marcas B e C. Se uma cliente paga R$14,00
pela compra de dois pacotes do sabão A, mais um pacote do sabão B e mais um do sabão C, o preço que ela
pagaria por três pacotes do sabão A seria:
a) R$12,00
b) R$10,50
c) R$13,40
d) R$11,50
e) R$13,00
Alternativa: B
PARTE 2 – GEOMETRIA ANALÍTICA – RETAS 1
35. (Gama Filho-1997) A abscissa do ponto comum às retas x + 2y - 9 = 0 e y + 3x = 2 é:
a) -1
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
Alternativa: A
⎧9x − 3x − 7 = 0
, então a + b é igual a:
⎩3x + 6x − 14 = 0
36. (FAZU-2001) Se P(a, b) é o ponto de intersecção das retas ⎨
a) 3
1
b)
3
1
c)
4
5
d)
3
11
e)
3
Alternativa: A
37. (UNIFESP-2006) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x - y - 2 = 0 e
triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
5
3
8
3
10
3
20
3
1
x + y = 3 , a área do
2
Alternativa: D
38. (UFRS) Sabe-se que a reta r, de equação ax + by = 0, é paralela à reta t, de equação 3x – 6y + 4 = 0, Então, a/b
vale:
a) –2
1
b) 2
1
c)
2
d) 1
e) 2
Alternativa: B
39. (Vunesp) Ache os coeficientes angulares das retas r e s da figura e verifique se elas são perpendiculares.
Respostas: m1 =
2
8
, m2 = − , Logo: Não são perpendiculares.
3
5
40. (UFSCar-2001) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação ax + 2y - 2 = 0. Sabendo que P = (1, -1) é um
ponto de r, determine:
a) o valor de a;
b) o coeficiente angular de r.
Respostas:
a) a = 4
b) m = -2
41. (IBMEC-2005) Para que os pontos do plano cartesiano de coordenadas (1: 1), (a: 2) e (2: b) estejam sobre uma
mesma reta é necessário e suficiente que
a) ab = a – b.
b) ab = a + b.
c) ab = b – a.
d) ab = a2 – b2.
e) ab = a2 + b2.
Alternativa: B
42. (Fuvest-1982) Dados os pontos A (2, 3) e B (8, 5):
a) Achar a equação da reta AB.
b) Achar a equação da mediatriz do segmento AB.
Respostas:
a) x - 3y + 7 = 0
b) 3x + y - 19 = 0
43. (UFPI) A reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1) e intercepta os eixos coordenados nos pontos P e Q. O valor
numérico da distância entre P e Q é:
a)
5
2
b)
5
5
5 5
2
25
d)
5
c)
e)
5 5
4
Alternativa: C
44. (UFPB/PB) Determine as coordenadas do ponto P , representado no gráfico abaixo:
45. (UFMA/MA) A soma dos coeficientes linear e angular da reta que passa pelos pontos A (0, K) e B(K, 0), sendo
K ≠ 0 , vale:
a) K – 1
b) – K – 1
c) K + 1
d) K
e)
1
+1
K
46. (UFMA/MA) Calcule a área do triângulo formado pela reta
x y
− =1
6 8
e os eixos coordenados.
Sugestão: descubra os pontos de intersecção da reta com os eixos coordenados e com a origem forme um
triângulo.
47. (ITA/SP) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A(2,1) e
B(3,-2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que suas
coordenadas são:
1
a) ⎛⎜ − , 0 ⎞⎟ e ( 5, 0 )
b)
c)
d)
e)
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ − ,0⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ − ,0⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ − ,0⎟
⎝ 5 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ − ,0⎟
⎝ 3 ⎠
e ( 4, 0 )
e ( 4, 0 )
e ( 3, 0 )
e ( 5, 0 )
Resp.: C
48. (UFMG/2004) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das
abscissas de A e B é:
5
8
8
b) 5
5
c) 8
8
d)
5
a)
49. (UNIFEI/MG) Deseja-se encontrar o “correio central” e uma padaria a partir do mapa de uma cidade.
Para isto, devem-se seguir as instruções abaixo:
“Em um cruzamento, a rua “A” encontra-se com a rua “B”, onde existe um semáforo, no ponto (2,7). Caminhe pela
rua “B” em linha reta até encontrar uma praça no cruzamento desta com a rua “C” em (12,-3). Caminhando pela rua
“C” em linha reta, você encontrará um museu em (-3,-3) e, mais adiante, uma padaria, onde a rua “C” corta a rua
“A”. Na rua “A” existe um cinema em (-5,0) e, à distância de
encontra-se o correio. Cada rua é uma única reta.”
Quais as coordenadas do correio e da padaria?
50 metros, em linha reta e em direção ao semáforo
8
Semáforo
6
Correio
4
Rua A (y = x + 5)
y
2
Cinema
Rua B (y = -x + 9)
0
-10
-8
-6
-4
Museu
-2
0
2
-2
4
6
8
Rua C (y = -3)
-4
x
Padaria
⎛
⎝
50. Os pontos (2,−3), (4,3) e ⎜ 5,
k⎞
⎟ estão numa mesma reta. Determine o valor de k.
2⎠
10
12
Praça
14