Pós-Graduação em Gestão
Estratégica Empresarial
Professor: Idalci Cruvinel dos Reis
FAR – Faculdade Almeida Rodrigues
Rio Verde – GO –2012
Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos
se ampliam em número de valores, há necessidade de buscar
soluções que simplifiquem o processo de cálculo.
Independentemente
das
simplificações
adotadas,
permanecem os conceitos e princípios já adotados.
A situação mais comumente encontrada refere-se a um
conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de mesmo valor,
em períodos sucessivos de tempo, denominado série
uniforme de pagamentos.
Fator de valor atual – FVA
Utilizando-se do conceito de equivalência de capitais, o
valor atual de uma Série Uniforme de Pagamentos será a
soma dos valores atuais de seus termos.
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i
para que se possa retirar o valor R em cada um dos n
períodos subseqüentes.
 (1  i) n  1
1  (1  i)  n 
P  R
ou P  R 

n 
i

(
1

i
)
i




 (1  i ) n  1
P  R  (1  i ) 
n 
 i  (1  i ) 
Antecipado
Postecipado
Ex.:
01) Se uma passagem aérea pode ser adquirida sem entrada,
em 6 prestações iguais de R$ 172,39, qual deve ser o preço à
vista para uma taxa de juros de 5% a.m.?
02) Qual o valor do empréstimo que poderá ser amortizado
em 10 prestações mensais de R$ 200,00, sabendo-se que a
taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês e que os
pagamentos são efetuados mensalmente, com o primeiro no
ato do empréstimo?
03) Um cliente da loja CLIQUE BEM, deseja saber qual o
valor do televisor que produziu 12 parcelas de R$ 110,00,
sabendo que a taxa de juros é de 3,5% ao mês.
04) No caso das parcelas serem pagas com entrada , sendo
a entrada a primeira parcela, o valor do produto financiado
seria o mesmo? Caso seja diferente qual o valor?
Fator de recuperação de capital – FRC
Determinar a quantia R a ser depositada em cada período,
sendo i a taxa de juros por período, para quitar um capital P
(valor principal). Vamos considerar dois casos: fluxo
postecipado e fluxo antecipado.
 i  (1  i) n 
R  P

n
(
1

i
)

1




i  (1  i ) n
R  P

n
(
1

i
)

[(
1

i
)

1
]


Postecipado
Antecipado
Ex.:
01) Um automóvel, no valor de R$ 50.000,00 pode ser
adquirido com uma entrada de 20% e o restante em 30
parcelas mensais iguais. Sendo a taxa de juros de 1,3% a.m.,
qual o valor das prestações?
02) Um empréstimo de R$ 1.621,56 deverá ser pago em 10
prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros do
financiamento é de 5% a.m. e que os pagamentos são
efetuados no início de cada mês, pede-se calcular o valor de
cada prestação.
03) Um novo cliente deseja comprar o veiculo (R$ 50.000,00,
i=1,3%) também em 30 prestações iguais, porém sem
entrada. Tenciona, entretanto, dar um pagamento (balão) de
R$ 20.000,00 no 15o mês. Neste caso o valor de sua
prestação teria de ser recalculado. Qual o valor da prestação
para esse novo cliente?
Fator de formação de capital – FFC
Determinar a quantia R a ser depositado em cada período,
sendo i a taxa de juros por período, para que se obtenha no
final dos períodos, o montante S. Vamos considerar dois
casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.


i
R  S 

n
(
1

i
)

1


RS
Postecipado

1 
i

(1  i)  (1  i) n  1
Antecipado
Ex.:
Um investidor deseja resgatar R$ 1.000.000,00 ao final de
10 anos, de um fundo de renda fixa que remunera o capital
investido a 3% a .m. Determine quanto ele deverá depositar
ao final de cada mês, para obter o montante desejado ao
final dos 40 trimestres.
Um investidor deseja resgatar R$ 1.000.000,00 ao final de
10 anos, de um fundo de renda fixa que remunera o capital
investido a 3% a .m. Determine quanto ele deverá depositar
no início de cada mês, para obter o montante desejado ao
final dos 120 meses.
Determinar o valor dos 4 depósitos trimestrais indicados no
fluxo de caixa a seguir, que permitem que se acumule o
montante de R$ 10.000,00 no final do 4º trimestre, com
uma taxa de 3% a.t..
Fator de acumulação de capital - FAC
Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série
uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i a taxa de juros
por n períodos.
 (1  i ) n  1
S  R

i


Postecipado
 (1  i) n  1
S  R  (1  i)  

i


Antecipado
Ex.:
01) Aplicando-se R$ 200,00 por mês num Fundo de Renda
Fixa a uma taxa mensal de 5%, pede-se calcular o montante
ao final de 10 anos, considerando-se que as aplicações são
feitas no final dos períodos.
02) Aplicando-se R$ 200,00 por mês num fundo de renda fixa
a uma taxa de 5% a.m., pede-se calcular o montante ao final
de 20 semestres, sabendo-se que as aplicações são feitas
sempre no início de cada mês.
03) Um comerciante deseja pegar emprestado R$ 20.000,00 e sabe que
vai pagar este com taxa de 2,5% ao mês, e o banco vai liberar este valor
para ele no dia 21 de junho de 2006, sendo que ele irá pagar mensalmente
até 05 de agosto de 2007, a primeira parcela será no dia 21 de junho de
2006, qual o valor de cada pagamento ao banco pelo empréstimo?
04) Qual é o valor que um cliente de um banco, poderá pegar emprestado,
sendo que tem disponível de seu salário R$ 350,00, para pagar por este
empréstimo, ele tem o salário garantido em contrato por 3,333 anos, taxa
de juros do banco de 3,5% ao mês? O primeiro pagamento do
financiamento será abatido no ato da liberação do empréstimo.
05) Depositando mensalmente R$ 250,00 em um fundo que rende com
taxa de 1,2% ao mês por 1 ano e 5 meses. Quanto será resgatado no final
da aplicação? Considerando o primeiro deposito 30 dias após a abertura
da conta.
Vamos supor que uma empresa invista R$ 250.000,00 na
compra de um equipamento que lhe proporcionará
rendimentos líquidos de R$ 55.712,53 durante os anos
subseqüentes. Um problema importante é saber quanto tempo
a empresa levará para recuperar esse capital investido. Se não
houvesse juros o cálculo seria muito simples. Bastaria dividir o
valor investido pelo rendimento anual líquido e teríamos a
resposta. No caso acima, teríamos:
250.000
 4,48 anos
55.712,53
Na realidade, esse cálculo é incorreto porque desconsidera a
taxa de juros.
No caso anterior se a taxa de juros for de 15% a.a., o tempo de
recuperação de capital será de oito anos. Como chegamos a
essa conclusão? Um dos modos é isolar o n da expressão


i
abaixo:
RP
siga cada passo da dedução :
 i  (1  i) n 
R  P

n
(
1

i
)

1


1  (1  i )  n 






1
R
1
R  P  i


1  (1  i )  n 
n 
1

(
1

i
)
P

i




P  i 1  (1  i )  n
P i

 (1  i )  n  1 
R
R
R  P i
R
 (1  i ) n 
R
R  P i
 R 
 R 
log(1  i ) n  log
  n log(1  i )  log

 R  P i 
 R  P i 
(1  i )  n 
 R 
log

R

P

i


n
log(1  i )
01) Uma empresa investe R$ 250.000,00 na compra de um
equipamento que lhe proporciona rendimentos líquidos de R$
55.712,53 durante os anos subseqüentes. Se a taxa de juros é
de 15% a.a., qual o tempo de recuperação do capital investido?
02) Investem-se R$ 150.000,00 e espera-se fluxos anuais
líquidos de R$ 40.000,00 por 12 anos consecutivos a partir do
final do primeiro ano. Sendo a taxa de financiamento deste
investimento de 5% a.a., em quanto tempo o capital será
recuperado?
03) Certa empresa adquire um conjunto de máquinas por R$
56.500,00 esperando que este conjunto lhe proporcione uma
poupança anual de R$ 9.000,00 em despesas com mão-deobra. Sendo a taxa de juros de 4% a.a., em quanto tempo será
recuperado o capital investido as máquinas?
Entre os métodos mais conhecidos destacam-se o do
valor presente liquido (VPL) e o da taxa interna de
retorno (TIR), largamente utilizados nas análises de
aplicações financeiras e de projetos de investimentos.
Esses métodos consistem basicamente em se
comparar a soma algébrica dos valores presentes de
cada um dos fluxos futuros de caixa (pagamentos ou
recebimentos), com o valor do fluxo de caixa inicial
(recebimento ou pagamento) ocorrido “hoje”, onde
esses valores presentes são calculados de acordo
com o regime de capitalização composta e com base
em dada taxa de juros.
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para
uma mesma data de referência. Neste caso, vamos trazer todos
os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente
Líquido (VPL), dado será:
VPL 
R0
R3
Rn
R1
R2



 ...
1
2
3
(1  i) (1  i) (1  i)
(1  i) n
  1  (1  i )  n 

VPL  entrada  R  
i

 
 1  (1  i )  n 

VPL  R  
i


R = Valor da parcela
Pagamentos diversos
R = Valor da parcela
Pagamentos fixos com entrada
R = Valor da parcela
Pagamentos fixos sem entrada
Estas fórmulas podem ser utilizadas como critério de
escolha de alternativas, como veremos nos exercícios a
seguir.
1) Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente
dois planos para pagamento de um carro:
Plano A: dois pagamentos, um de R$ 1.500,00 no final do
sexto mês e outro de R$ 2.000,00 no final do décimo
segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de R$ 1.106,00 de dois em
dois meses, com início no final do segundo mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m.,
qual o melhor plano de pagamento?
Teremos para o plano A:
Para o plano B, teremos:
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor
presente), concluímos que este plano A é mais atraente do
ponto de vista do consumidor.
2) Um certo equipamento é vendido à vista por R$ 50.000,00
ou a prazo, com entrada de R$ 17.000,00 mais três prestações
mensais iguais a R$ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira
um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o
comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.?
01) Qual é o melhor plano de pagamento, oferecido por uma
concessionária, a um cliente que deseja adquirir um carro
popular? Sendo que a taxa de juros praticada no mercado é de
2,4% ao mês. Faça os cálculos e aponte o melhor plano de
pagamento.
a) Plano 1: entrada R$ 12.000,00 e sete vezes R$ 2.650,00;
b) Plano 2: um pagamento no quarto mês de R$ 19.000,00; e
outro no décimo segundo mês de R$ 9.500,00;
c) Plano 3: entrada R$ 10.000,00 e mais quatro pagamentos
trimestrais de R$ 4.900,00;
d) Plano 4: sem entrada com cinco pagamentos semestrais de
R$ 6.500,00;
e) Plano 5: entrada R$ 10.900,00 mais três pagamentos
bimestrais de R$ 6.800,00.
02) Um produtor deseja adquirir um trator novo, e fez cotação de quanto
pagaria por este trator em uma loja, sendo oferecido ao produtor diferentes
planos de pagamentos, verifique qual é o melhor plano de pagamento, sendo
que a taxa de juro é de 0,8% ao mês.
-Faça os cálculos, e aponte o melhor plano.
a) Plano A: pagamento à vista; R$ 250.000,00.
b) Plano B: entrada R$ 50.000,00 e quatro vezes R$ 60.000,00;
c) Plano C: entrada R$ 50.000,00 e seis vezes R$ 40.000,00;
d) Plano D: entrada R$ 50.000,00 e oito vezes R$ 30.000,00;
e) Plano E: entrada R$ 50.000,00 e doze vezes R$ 20.000,00;
f) Plano F: entrada R$ 70.000,00 e três vezes R$ 70.000,00;
g) Plano G: entrada R$ 70.000,00 e cinco vezes R$ 55.000,00;
h) Plano H: entrada R$ 70.000,00 e sete vezes R$ 32.000,00;
i) Plano I: entrada R$ 70.000,00 e dez vezes R$ 25.000,00
O processo de avaliação de investimentos, com
relação à definição de realizar ou não investimento,
quase sempre é feito com base comparativa.
Nesse sentido, para realizar o investimento, normalmente o
mercado faz uso de rentabilidade do projeto, dimensionada
pela taxa interna de retorno.
Busca-se,portanto, uma indicação da rentabilidade do projeto
em função do comportamento dos recursos obtidos em
relação aos recursos investidos.
No entanto, a rentabilidade do projeto não é
suficiente para definição de investimento.
Assim, além do aspecto de rentabilidade, o aspecto
econômico do projeto deve ser considerado.
Para isso, faz-se uso do método de valor presente líquido. Seu
objetivo é o quantificar o valor presente da renda econômica
ao longo da vida útil do projeto, com base no custo de capital.
Assim, quando a taxa interna de retorno for positiva e maior
que o custo de capital a valor presente líquido será positivo.
O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise
fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente
uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais
diferentes a uma taxa conhecida, deduzir deste o valor
fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou
investimento), ou seja:
n
VPL  
Cj
j
(
1

i
)
j 1
 C0  VPL 
de
de
ou
do
do
C3
Cn
C1
C2



...

 C0
1
2
3
n
(1  i) (1  i) (1  i)
(1  i)
Em que Cj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem “j”, sendo j =
1, 2, 3, ........, n Co representa o fluxo inicial e “i”a taxa de juros da operação
financeira ou a taxa de retorno do projeto de investimentos.
Essa técnica, criada inicialmente para análise de projetos de investimentos,
foi bastante difundida numa época em que os instrumentos disponíveis para
cálculos eram extremamente precários.
Assim, um empresário, ao analisar a conveniência da compra de um
equipamento, fixava a taxa mínima de retorno desejada, e com base
nesta, calculava o valor presente das receitas líquidas estimadas
para os próximos meses ou anos, que seriam geradas pela utilização
do novo equipamento;
Se o valor presente das receitas, deduzido o valor de compra
do equipamento, resultasse em um valor positivo, o empresário
faria o investimento, visto que, neste caso, a taxa de retorno
seria seguramente maior que a taxa mínima de retorno fixada;
se a diferença fosse negativa, o equipamento não seria
adquirido.
Ex. Uma empresa transportadora está analisando a
conveniência da compra de uma caminhão no valor de R$ 103
milhões. Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização
desse veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas
líquidas estimadas em R$ 30, R$ 35; R$ 32, R$ 28 e R$ 20
milhões respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º ano
se esperava vender esse caminhão por R$ 17 milhões,
verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno,
fixadas em 15% e 18% ao ano.
37
30
0
103
35
32
28
Observação: Fluxo no 5º ano = preço de venda do caminhão +
receita do ano = 17+20 = 37.
a) Solução para taxa de retorno de 15% ao ano
b) Solução para taxa de retorno de 18% ao ano
Praticando:
01) Um empréstimo de R$ 22.000,00 será liquidado em três
prestações mensais e sucessivas de R$ 12.000,00, R$
5.000,00 e R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de
7% a.m., calcular o valor presente líquido.
02) Um veículo novo está sendo vendido por R$ 4.000,00 de
entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de
R$ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é
de 5,5% a.m., determinar até que preço interessa comprar o
veículo a vista.
03) Um veículo é financiado em 18 prestações mensais, iguais
e sucessivas de R$ 325.000,00 e mais 3 prestações
semestrais (prestação-reforço ou prestação-balão) de R$
775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00. Calcular o valor
financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira foi
de R$ 8,7% a.m.
04) Um apartamento foi colocado a venda pelo valor de R$ 3
milhões à vista, ou em dois anos de prazo com R$ 800.000,00
de entrada mais 12 prestações mensais de R$ 180.000,00 e
mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja
interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo
até mesmo à vista, qual seria a decisão, se tivesse também a
opção de aplicar seus recursos em fundo de renda fixa, ou em
caderneta de poupança a uma taxa de 6% a.m.? Verifique
também a sua decisão para a taxa de 8% e 10% a.m.
Amortização é um processo de extinção de uma
dívida através de pagamentos periódicos, que são
realizados em função de um planejamento, de modo
que cada prestação corresponde à soma do
reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do
saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos,
sendo que:
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!
Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no
final.
Sistema de Pagamentos variáveis: Vários pagamentos
diferenciados.
Sistema Americano: Pagamento
calculados período a período.
no
final
com
juros
Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da
dívida é constante e igual em cada período.
Sistema Price ou Francês ou SAF (PRICE): Os pagamentos
(prestações) são iguais.
Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são
as médias dos sistemas SAC e Price.
Sistema Alemão: Os juros são pagos antecipadamente com
prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que
corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortizações, cada pagamento é a
soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto
é:
Pagamento = Amortização + Juros
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento
hipotético de R$ 300.000,00 que será pago ao final de 5
meses à taxa mensal de 4%.
Na seqüência, será essencial o uso de tabelas consolidadas
com os dados de cada problema e com informações
essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as
análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está
indicada abaixo, com os elementos indicados:
n
Sistema de Amortização
Amortização do
Juros
Pagamento
Saldo devedor
0
Saldo
devedor
300.000,00
1
2
3
4
5
Totais
0
300.000,00
O devedor paga o Montante = Capital + Juros
compostos da dívida em um único pagamento ao
final de n = 5 períodos. O Montante pode ser
calculado pela fórmula:
S  P  (1  i)
n
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em
bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
Sistema de Pagamento Único
Saldo
devedor
300.000,00
n
Juros
Amortização do
Saldo devedor
Pagamento
0
0
0
0
1
12.000,00
312.000,00
2
12.480,00
324.480,00
3
12.979,20
337.459,20
4
13.498,37
350.957,57
5
14.038,30
300.000,00
364.995,87
Totais 64.995,87
300.000,00
364.995,87
0
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo
com a sua condição e de acordo com a combinação realizada
inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos
sempre ao final de cada período.
Uso comum: Cartões de crédito.
Combinação: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:
• No final do 1o. mês: R$ 30.000,00 + juros
• No final do 2o. mês: R$ 45.000,00 + juros
• No final do 3o. mês: R$ 60.000,00 + juros
• No final do 4o. mês: R$ 75.000,00 + juros
• No final do 5o. mês: R$ 90.000,00 + juros
Sistema de Pagamentos Variáveis
Amortização do
Pagamento
Saldo devedor
Saldo
devedor
n
Juros
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
30.000,00
42.000,00
270.000,00
2
10.800,00
45.000,00
55.800,00
225.000,00
3
9.000,00
60.000,00
69.000,00
165.000,00
4
6.600,00
75.000,00
81.600,00
90.000,00
5
3.600,00
90.000,00
93.600,00
0
Totais
42.000,00
300.000,00
342.000,00
O devedor paga o Principal em um único pagamento
no final e no final de cada período, realiza o
pagamento dos juros do Saldo devedor do período.
No final dos 5 períodos, o devedor paga também os
juros do 5o período.
Sistema Americano
n
Juros
0
0
1
Amortização do
Pagamento
Saldo devedor
0
Saldo
devedor
0
300.000,00
12.000,00
12.000,00
300.000,00
2
12.000,00
12.000,00
300.000,00
3
12.000,00
12.000,00
300.000,00
4
12.000,00
12.000,00
300.000,00
5
12.000,00
300.000,00
312.000,00
0
Totais 60.000,00
300.000,00
360.000,00
O devedor paga o Principal em n = 5 pagamentos
sendo que as amortizações são sempre constantes e
iguais.
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação
Saldo Devedor
Amortizaçã o 
Período
Definição das Variáveis em Qualquer Período
Valor do pagamento:
Valor dos juros do período
Valor da amortização
Valor do saldo devedor:
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Amortização do
Pagamento
Saldo devedor
Saldo
devedor
n
Juros
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
60.000,00
72.000,00
240.000,00
2
9.600,00
60.000,00
69.600,00
180.000,00
3
7.200,00
60.000,00
67.200,00
120.000,00
4
4.800,00
60.000,00
64.800,00
60.000,00
5
2.400,00
60.000,00
62.400,00
0
Totais
36.000,00
300.000,00
336.000,00
O sistema Price ou SAF (Richard Price), também chamado
Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou
este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um
financiamento onde todos os pagamentos são iguais.
Todas as prestações (pagamentos) são iguais.
Uso comum:
Financiamentos em geral de bens de consumo.
 i  (1  i) n 
R  P

n
(
1

i
)

1


R = Valor da prestação no sistema Price.
Definição das Variáveis em Qualquer Período
Valor dos juros do período
Valor da amortização
Valor do saldo devedor:
Sistema Price (ou Sistema Francês)
n
Juros
Amortização do
Saldo devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
55.388,13
67.388,13
244.611,87
2
9.784,47
57.603,66
67.388,13
187.008,21
3
7.480,32
59.907,81
67.388,13
127.100,40
4
5.084,01
62.304,12
67.388,13
64.796,28
5
2.591,85
64.796,28
67.388,13
0
Totais
36.940,65
300.000,00
336.940,65
Pagamento
Saldo devedor
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das
prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de
Amortização Constante (SAC).
Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.
Pagamento Pr ice  Pagamento SAC
Pagamento Misto 
2
n
PSAC
PPrice
PSAM
1
72.000,00
67.388,13
69.694,06
2
69.600,00
67.388,13
68.494,07
3
67.200,00
67.388,13
67.294,07
4
64.800,00
67.388,13
66.094,07
5
62.400,00
67.388,13
64.894,07
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Amortização do
Saldo
n
Juros
Pagamento
Saldo devedor
devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
57.694,06
69.694,06
242.305,94
2
9.692,24
58.801,83
68.494,07
183.504,11
3
7.340,16
59.953,91
67.294,07
123.550,20
4
4.942,01
61.152,06
66.094,17
62.398,14
5
2.495,93
62.398,14
64.894,07
0
Totais 36.470,34
300.000,00
336.470,94
Gráfico: Prestações X Amortizações
16000
Prestações
Amortizações
VALOR DAS PRESTAÇÕES
14000
PRICE
12000
10000
SAM
8000
6000
4000
SAC
2000
-20
0
20
40
60
80
100
120
NÚMERO DE ORDEM DA PRESTAÇÃO
140
160
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros
são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o
primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no
momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor
de cada pagamento R e os valores das amortizações Ak,
k=1,2,3,...,n.
Uso comum: Alguns financiamentos.
Fórmulas necessárias: Para k = 1,2,...,n.
R = Valor da Prestação; P = Capital inicial
A1 = Amortização do Primeiro mês
Ak = Amortização para k períodos
R = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80
A1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96
A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13
A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13
A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97
A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80
Sistema Alemão
Amortização do
Pagamento
Saldo devedor
Saldo
devedor
n
Juros
0
12.000,00
0
12.000,00
300.000,00
1
9.791,84
55.203,96
64.995,80
244.796,04
2
7.491,68
57.504,13
64.995,80
187.291,91
3
5.095,67
59.900,13
64.995,80
127.391,78
4
2.599,83
62.395,97
64.995,80
64.995,80
64.995,80
64.995,80
0
300.000,00
336.979,02
5
Totais 36.979,02
01) Uma casa vai ser financiada para ser paga em 4 parcelas
sendo a taxa de juros ao período de 3,5%, sendo o valor
dessa casa R$ 30.000,00. Faça o que se pede: (É
importante a presença de todos os cálculos e esquemas
para chegar à resposta final)
a) Qual o valor do terceiro pagamento no sistema de
amortização Price?
b) Qual o valor dos juros pagos no quarto mês do sistema de
amortização constante?
c) Represente uma tabela de amortização para o sistema
misto;
d) Represente uma tabela de amortização para o sistema
variável, sendo que os valores das amortizações são de R$
4.000,00; 6.000,00; 8.500,00; 11.500,00 para este último.
02) Foi realizado um empréstimo no valor R$ 300.000,00 para
ser pago em 7 parcelas, com taxa de 2,5% ao período.
Responda:
a) Qual o valor do saldo devedor no final do quarto mês do
sistema de pagamento único?
b) Qual o valor do juro pago no quarto mês do sistema de
pagamento americano?
c) Qual o valor do pagamento no sexto mês no sistema de
amortização misto?
03) Foi realizado um empréstimo no valor R$ 30.000,00 para
ser pago em 6 parcelas, com taxa de 1,5% ao período. Calcule
e represente uma tabela para o que se pede:
a) Sistema de amortização único;
b) Sistema de amortização Americano;
c) Sistema de amortização Constante;
d) Sistema de amortização Price (francês);
e) Sistema de amortização Misto;
f) sistema de amortização Variáveis sendo os pagamentos de
R$ 1.000,00; 1.500,00; 3.000,00; 4.500,00; 8.000,00;
12.000,00.
04) Faça uma gráfico comparativo entre os sistemas de
amortizações: Price, SAC e Misto.
16000
Prestações
Amortizações
VALOR DAS PRESTAÇÕES
14000
PRICE
12000
10000
SAM
8000
6000
4000
SAC
2000
-20
0
20
40
60
80
100
120
NÚMERO DE ORDEM DA PRESTAÇÃO
140
160
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS
1. Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser paga em 6 parcelas iguais
de R$ 97,00, se a loja cobra uma taxa de juros de 5,7% a.m.?
2. Na mesma loja, qual o valor das parcelas mensais de um aparelho de som que à
vista custa R$ 750 a ser saldado em 10 parcelas iguais?
3. A assinatura da Revista Veja custa R$ 206 à vista ou em 4 pagamentos de R$
54. Que taxa de juros a Editora Abril está considerando na assinatura da revista se:
a) o 1º. pagamento é feito um mês após a compra
b) o 1º. pagamento é feito no ato da assinatura
4. Admita que na assinatura da revista no dia 25/04 o carnê de pagamentos
apresentasse as datas de 25/04, 20/05, 15/06 e 10/07 para vencimento das
parcelas. Neste caso qual seria a taxa de juros mensal?
5. As revendedoras FIAT anunciam a venda de carros OK com 60% de entrada e
os restantes 40% em 10 parcelas mensais iguais sem juros e sem correção
monetária. Uma fábrica concorrente ofereceu um desconto no preço à vista para
combater a promoção da FIAT. De quanto deve ser o desconto? Admita uma taxa
de juros de 2,5% a.m.
6. Um proprietário de uma garagem no centro de São Paulo recebe de aluguel R$
120 mensalmente. Disposto a vender a garagem, que preço você recomendaria
para pagamento à vista? Considere uma taxa de juros de 1% a.m.
7. Um investidor comprou um lote de ações por R$ 1.000 há 12 meses atrás.
Recebeu R$ 60 de dividendos nos 7 primeiros meses e R$ 30 nos 5 meses
restantes, quando então vendeu-as por R$ 860. Que taxa de retorno obteve esse
investidor?
8. Caso desejasse um retorno de 8% a.m., por quanto deveria vender o lote?
9. Para facilitar o cálculo de prestações é comum a utilização dos chamados
coeficientes de financiamento. Admitindo que uma concessionária de veículos
financie suas vendas com duas taxas de juros: 2% a.m. (carros novos) e 3,5% a.m.
(carros usados), prepare uma tabela de financiamento para a concessionária.
PRAZO
NOVOS
6 meses
0,1785
USADOS
12 meses
24 meses
10. Uma determinada loja resolveu anunciar vendas em 5 vezes “sem juros”(1+4),
elevando o preço originalmente à vista. Como deseja uma taxa de juros de 6,5%
a.m., que acréscimo deverá aplicar sobre o verdadeiro valor à vista? (Para facilitar a
solução admita um valor original à vista de R$ 10.000).