Cálculos Financeiros
Prof. Afonso Chebib
1
Séries de Pagamento
2
Séries de Pagamento
 Séries de pagamentos é uma sucessão de entradas e saídas de
caixa (FC1, FC2,…, FCn) com vencimentos sucessivos v1, v2,…,
v3.
 Nas séries de pagamentos os juros e a amortização do saldo
devedor (devolução do capital) são parcelados.

3
Séries de Pagamento Uniformes
VP
n = número de pagamentos periódicos
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
Prestações ou pagamentos mensais iguais (PMT)
 “Séries uniformes - séries em que os pagamentos ou recebimentos
são iguais, uniformes ao longo de intervalos regulares de tempo”
4S
Séries de Pagamento Uniformes
 Divisão:
– Séries postecipadas
• Pagamento no final de cada período
0
1
2
3
4
5
n
– Séries antecipadas
• Pagamento no início de cada período
0
1
2
3
4
5
n
5
Séries de Pagamento Uniformes
 Divisão:
– Séries diferidas
• Carência = prazo que separa o início da operação do
período de pagamento da primeira parcela
0
c
c+1
c+2
c+3
c+4
c+n
carência
– Séries diferidas postecipadas
• Há carência e o primeiro pagamento ocorre no final do
préiodo
0
c
c+1
c+2
c+3
c+4
c+n
carência
6
Séries de Pagamento Uniformes
 Importante!
– A diferença de prazo entre dois termos consecutivos é sempre
constante
– O número de termos é finito (quando o número de termos é
infinito trata-se de rendas perpétuas que não será tratado neste
tópico)
– Os cálculos são baseados no sistema de capitalização
composta (juros compostos)
7
Valor presente de Série Uniforme Postecipada
0
1
2
3
...
n
PV  VP ( PMT1 )  VP ( PMT2 )  VP ( PMT3 )  ...  VP ( PMTn )
PV 
PMT
PMT
PMT
PMT



...

(1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) 3
(1  i ) n
 1
1
1
1 

PV  PMT * 



...

1
2
3
n 
(1  i ) 
 (1  i ) (1  i ) (1  i )
 (1  i ) n  1 

PV  PMT * 
n
 (1  i ) .i 
 (1  i ) n  1 

FV  PMT * 
i


8
Valor presente de Série Uniforme Antecipada
 Cada um dos termos é aplicado em um período a mais do que na
série de termos postecipados
 (1  i ) n  1 

PV  PMT (1  i )
n
 (1  i ) .i 
 (1  i ) n  1 

FV  PMT (1  i )
i


9
@#@**!!!:#%
10
HP 12C
É possível obter o valor de qualquer uma das variáveis
(PV, PMT, i, n), dado os valores das outras três
11
Exercícios – Série Uniformes
 Séries Postecipadas
1. Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em 4 pagamentos
mensais e iguais de $550, vencendo o primeiro um mês após
a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5 a.m., qual
o seu preço à vista? 1.950,27
2. Um automóvel é vendido à vista por R$ 30.000,00 mas pode
ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais,
vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se
que a taxa de juros do financiamento é de 2%a.m., obtenha o
valor de cada prestação. 2.836,79
12
Exercícios – Série Uniformes
 Séries Postecipadas
3. Uma calculadora (HP 12C) é vendida por R$160 à vista ou a
prazo em 4 prestações mensais iguais de R$ 45,49, cada
uma, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a
taxa de financiamento? 5,3507%
4. Um investidor aplica mensalmente $2.000,00 em um fundo de
investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros
compostos de 2% a.m.. Se o investidor fizer sete aplicações,
qual o montante no instante do último depósito? 14.868,57
13
Exercícios – Série Uniformes
 Séries Antecipadas (BEGIN no visor!) (g 7)
5. Uma compra no valor de R$ 50.000 foi financiada em 12
prestações mensais antecipadas. Considerando juros efetivos
de 8% a.m., calcular o valor das prestações. 6.143,29
6. Uma pessoa deve pagar por um financiamento seis
prestações mensais antecipadas de R$13.000 cada uma.
Calcular o valor do total financiamento, sendo que a taxa de
juros cobrada é de 15% a.m.
56.578,02
14
Fluxos não uniformes
 Fluxos não uniformes podem ser calculados com HP-12C
utilizando-se as seguintes teclas:
g
PV
CF0 – Fluxo de caixa na data 0
CFj – Fluxos de caixa intermediários
g
FV
Nj – número de vezes que o fluxo j se repete (omitir caso seja 1)
f
FV
IRR – calcula a taxa interna de retorno do fluxo de caixa.
Exemplo: Calcular a taxa de juros so seguinte fluxo de caixa:
Valor do financiamento (ou valor a vista) R$12.000
1ºPagto: 30 dias – R$4000
1ºPagto: 60 dias – R$4000
1ºPagto: 90 dias – R$1000
1ºPagto: 150 dias – R$5000
Note que não há pagamento na data 120 dias
g
PMT
15
Fluxos não uniformes
 Resolução na HP
12000
CHS
g
PV
4000
g
PMT
2
g
1000
g
0
g
5000
g
f
– Fluxo na data 0 (deve ter o valor inverso do resto dos fluxos)
–
PMT –
PMT –
PMT –
–
FV
FV
R$4000 aparece duas vezes (30 e 60 dias)
R$1000 na data 90 dias
0 na data 120 (nao esquecer!)
R$5000 na data 150 dias
Calcula a taxa interna de retorno – 5,7030% ao mês
 Resolução no Excel
-12000
4000
4000
1000
0
5000
• =TIR(fluxo de caixa)
16
Fluxos não uniformes


Dias
Mês
Ap
Mensais
Outros
Total
IRR (ou TIR)
0
0
90000
30
1
-12000 -15000
78000 -15000
1,08%
Exemplo: Um apartamento é vendido nas seguintes condições: R$12.0000 a vista,
R$15.000 em 30 dias, 3 pagamentos semestrais de R$10.000 vencendo o primeiro
em 210 dias, 18 pagamentos mensais de R$ 2.300 sendo o primeiro em 60 dias.
Sendo o valor a vista desse imóvel R$90.000, calcule a taxa do financiamento.
Importante desenhar os fluxos!! No Excel fica um pouco menos trabalhoso de fazer.
60
2
90
3
120
4
150
5
180
6
210
7
240
8
270
9
300
10
330
11
360
12
390
13
420
14
450
15
480
16
510
17
540
18
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-2300
-10000
-12300
-2300
-2300
-2300
-10000
-12300
-2300
-2300
-2300
-2300
570
19
-2300
-10000
-2300 -12300
17
Amortização de empréstimos
 Dívida = principal + juros
 Amortização:
– devolução do principal emprestado
 Parcelas ou prestações:
– pagamento periódico composto de pagamento dos juros
devidos e amortização do principal
 Os juros correspondem ao custo do empréstimo não pago
18
Amortização de empréstimos
 O saldo devedor é formado pela saldo anterior, mais os juros
menos a prestação
Saldo
devedor no
instante
anterior (t-1)
(SDt-1)
Juros (Jt)
Saldo
Devedor
(SDt)
Pagamento
efetivado no
instante t (Rt)
SDt = SDt-1 + Jt - Rt
19
Amortização de empréstimos
 Planilha
Período
(t)
Saldo devedor
(SDt = SDt -1 – At)
Amortização
(At = Rt – Jt)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt)
0
1
2
3
TOTAL
20
Exemplo 1
 Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro
prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros
pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as
amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000
A2 = 10.000 A3 = 15.000 A4 = 20.000
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
TOTAL
21
Exemplo 1
 Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro
prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros
pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as
amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = 5.000
A2 = 10.000 A3 = 15.000 A4 = 20.000
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
50000
1
45000
5000
2500
7500
2
35000
10000
2250
12250
3
20000
15000
1750
16750
4
0
20000
1000
21000
TOTAL
57500
 Para conferir calcular a TIR no Excel do fluxo de caixa desse
empréstimo, ou trazer todas as prestações a valor presente a 5%as
22
Exemplo 2
 Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro
prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros
pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as
amortizações semestrais, são iguais
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
TOTAL
23
Exemplo 3
 Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser devolvido em quatro
prestações semestrais e à taxa de juros de 5% a.s., com juros
pagas semestralmente. Obter a planilha, sabendo-se que as
amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = A2 =
A3 = 0 e A4 = 50.000
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
TOTAL
24
Sistema de amortização constante (SAC)
 As parcelas de amortizações são iguais entre si.
– A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo
número de períodos pagamentos.
 As Prestações são decrescentes, já que os juros
dominuem a cada prestação
Prestação
Juros
Amortização
Períodos
25
Sistema de amortização constante (SAC)
 Exercício 1
– Elaborar a planilha de amortização para o seguinte pagamento
• Valor do financiamento = $ 200.000
• Reembolso (pagamento) em 4 meses pelo sistema SAC
• Taxa de juros efetiva: 10% a.m.
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
TOTAL
26
Sistema de amortização constante (SAC)
 Exercício 2
– Um empréstimo de $200.000, contratado a juros efetivos de
10% a.m., será paga em três prestações mensais antecipadas
com carência de três meses. Construir a planilha de
amortizações
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t)
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i x SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
5
TOTAL
27
Sistema Francês (Sistema PRICE)
 As prestações são iguais e consecutivas
 Os juros são decrescentes e o as amortizações
formam uma sequencia crescente
 Valor das prestações calculado igual as casos de séries uniformes
Prestação
Amortização
Juros
Períodos
28
Sistema Francês (Sistema PRICE)
 Exercício 3
– Um empréstimo de $200.000 será pago pela Tebla Price em
quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de
10% a.m., construir a planilha de amortização.
Período Saldo devedor Amortização
(t)
0
Juros
(SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i – SDt-1)
Prestação
(Rt)
1
2
3
4
29
Sistema Francês (Sistema PRICE)
 Exercício 4
– Resolva o exercício anterior, com um período de carência de
três meses em que serão pagos os juros devidos, construir a
planilha de amortização considerando prestações antecipadas.
Período Saldo devedor Amortização
Juros
Prestação
(t) (SDt = SDt -1 – At) (At = Rt – Jt) (Jt = i – SDt-1)
(Rt)
0
1
2
3
4
5
6
30