O que são e como se descrevem as
ondas
 Características fundamentais das ondas
 Energia é propagada a grandes distâncias
 Perturbação propaga-se através do meio sem que
globalmente o meio sofra globalmente um deslocamento
permanente.
 O meio é o local onde se propaga a onda O meio pode
ser material ou não.
 A onda representa uma perturbação que se repete no
tempo no mesmo local e se repete no espaço no
mesmo instante
x  x0
t  t0
 Portanto, uma onda corresponde a uma perturbação que é
uma função (x,t) tal que
 (x,t)=(x+λ,t)
 (x,t)=(x,t+T)
 Por outro lado, a onda propaga-se com uma velocidade v no
meio. Isso significa que se a perturbação tem um o mesmo
valor em todos os pontos (x,t) tais que x=vt.
 Consideremos um ponto X da onda num dado instante
para a origem. Um ponto x=X+vt é tal que
(X)=(x-vt). A forma mais geral de uma onda propagandose com velocidade constante v sem mudança de forma é,
portanto, (x-vt).
Propriedades das ondas
 Propriedades das ondas:
 (x-vt)=(x+λ-vt)
 (x-vt)=[x-v(t+T)]

(x-vt+λ)= (x-vt-vT)
λ=vT
 A frequência é uma propriedade da fonte.
 A velocidade de propagação é uma propriedade do meio.
 O comprimento de onda depende do meio e do
observador.
Exemplos de ondas
 (x-vt)=(x-vt)
Exemplos de ondas
 (x-vt)=a.cos m(x-vt)=a.cos m[(x-vt)+λ] mλ=2π
 (x-vt)=a.cos m(x-vt)=a.cos (2π/λ) [x-v(t+T)]
(2π/λ)vT=2π T= λ/v
 O número de ondas passando por segundo por um
dado observador é a frequência. O número de ondas
por unidade de distância designa-se por número de
ondas
 Qual é a equação que rege uma onda?
 Caso de uma onda harmónica: é um fenómeno
oscilatório
  a cos(kx  t )
 2
 2
 2 1  2
2
2
 k  ;
    2  2 2  0
2
2
x
t
x
c t
c

; argumento dimensiona l : k   L1 ;    T 1
k
[c]  LT 1  c é uma velocidade  velocidade de propagação!
A equação das ondas
 Ondas longitudinais num tubo
dx+d
P
P
dx
 0 dx   dx  d      0
1

  
  0 1   se
0

x
 x 
1
x

 2
   ( x, t ); a massa de fluido move - se de d com velocidade
e aceleração 2
t
t
dF
 2
 2
 2
Ora, dP 
mas dm   0 dV  dF  dm 2   0 Sdx 2  dP   0 dx 2
S
t
t
t
A equação das ondas
 Ondas longitudinais num tubo
dx+d
P
P
dx
A pressão depende da densidade :  dp  
dp 
dx
d x

 2
mas da relação entre  e  0 temos
  0 2
x
x
1  2  2
dp


0
com
c

c 2 t 2 x 2
d
2
 2 ( x  ct )
 2 ( x  ct )
2   ( x  ct )
c

2
2
t
x 2
 ct 
Velocidade do som no ar
 Módulo de elasticidade dp  kd / 
p
c
; p  K  c 


k

Para o ar : p  1 atm  1013HPa  1.013105 Nm  2
massa mole de ar

 1.29 kg m 3
22.4
  1.4
c
p

 332 m s1
Corda vibrante
y
b
a
Tensão na extremidade da corda :
Tb
x
Ta
T (b, t ) cos b (t )  T (a, t ) cos a (t )  0 
 não há movimento segundo x
T (b, t ) sin  b (t )  T (a, t ) sin  a (t )  Fy 
T (b, t ) cos b (t )  T (a, t ) cos a (t )  T (t )
 y
y 
T [ tan b (t )  tan a (t )]  Fy  T 

Fy
 


 


x b x a 

y
y

 
  dx  2 y
x
b
x
a
2 y 1 2 y
T

com
c

x 2 c 2 t 2

2 y
dx
x 2
t 2
Polarização
 Quando uma onda plana transversal é tal que a
perturbação ocorre numa direcção bem definida a
onda diz-se polarizada.
Af  Ai cos
Sobreposição de ondas
 A equação das ondas é linear:   a11  a22 é solução
se as duas ondas forem solução
 Exemplo: duas ondas harmónicas:
1  A sin(kx  t )
1  A sin(kx  t   )

  
  1  2  Asin(kx  t )  A sin(kx  t   )  2 A cos  sin  kx  t  
2
2 
em fase:   0    2 A sin kx  t 
em oposição de fase:       0
Sobreposição de ondas
 Exemplo: duas ondas harmónicas, uma transmitida,
outra reflectida:
1  A sin(kx  t )
1  A sin(kx  t )
  1  2  2 A cost sin kx
A onda apresenta 0 em kx  0,  ,2 ,...
Onda estacionária : não há vibraçãonos nodos kx  0,  ,2 ,...
Batimentos
1  A sin(k1 x  1t )
1  A sin(k 2 x  2t )
  2   k1  k 2
  2 
 k1  k 2
x 1
t  sin 
x 1
t
2
2
 2
  2

Se k1  k 2  k e 1  2  ; k1  k 2  2k e 1  2  2
  1  2  2 A cos
  2 A cosk .x  .t sin(kx  t )
onda com velocidade c   / k organizada em grupos com velocidade de grupo

dc
dc
u
u ck
 c
k
dk
d
Um meio em que
dc
 0 diz - se dispersivo
d
Relações de dispersão
O princípio de Huygens
 Fonte emissora pontual
 Zonas que num dado t têm
=const. desigam-se por
frentes de onda
 Todos os pontos numa frente
de onda estão em fase
 As linhas perpendiculares às
frentes de onda chamam-se
raios.
 Cada frente de onda é a fonte
de novas ondas (Princípio de
Huygens).
Reflexão
B
 A  kxA  t  A'  k x A  AA'  t '

B  kxB  t B '  k xB  BB'  t '

AA'  BB'

A
A’
B’
sin i  sin r
A' AB  BB' A ou incidência reflexão
Refracção (Lei de Snell)
 A frequência é uma característica do emissor e não do
meio
 2



k

T

1


  kx  t    x  t    
x  t    x  t    x  t 
 2





c



 T

Para A' e B' estarem em f ase
t AA'
AA'
AA' BB'
AA' cr
sin r cr
 t BB' 


  AB' 

BB' sin i ci
cr
ci
BB' ci
AB'
i
B
B’
A
r
A’
Refracção (Lei de Snell)
c
sin r ci ni


c nr
sin i
cr
i
c
n  índice de refracção
c'
B
B’
A
r
A’
Mas nr  1  incidência refracção decom posição espectral
Quando refracção
Reflexão total!

2
temos sin r  1  sin i 
nr
ni
Usos da reflexão total
bending light to do your will
Reflexão, refracção e polarização
 Luz entre dois meios implica
reflexão e refracção. Para um
certo ângulo B a luz com uma
certa polarização não pode ser
reflectida. Esse ângulo é o
ângulo de Brewster.
 A luz é transmitida no meio
sem reflexão.
Reflexão, refracção e polarização

 
i  r   ni sin i  nr sin   i 
2
2 
 nr
ni sin i  nr cosi   B  i  arctan
 ni



Interferência
Interferência
r2  r1  x  r1  r2  d sin 
m áxim o: em fase
D
d
d sin   m m  N
y
mD
sin    ymax 
D
d
Para n fendas os efeito é maior: rede de
difracção

Interferência
Por cada fenda há um aumento /N
 2

D

,...,  ,...,
N N
2 N
As contribuições das diversas fendas anulam - se 2 a 2
Nd sin   Nm (máx)
Nd sin      Nm   (min)

,
d
Nd cos  Nd sin 
Nd cos     

+Δ
Nd cos

Todas se anulam
excepto a 1ª e a última
que têm uma diferença
de comprimento de
onda de λ

É sempre possível separar duas
franjas?
 Poder de resolução: Qual a diferença de comprimentos
de onda mínima que pode ser detectada por uma rede
de difracção?
 Critério de Rayleigh: As duas riscas são separáveis se o
máximo de uma fica pelo menos à distância (angular)
correspondente ao mínimo da outra
Intensidade

λ
λ+Δ λ
(radianos)
É sempre possível separar duas
franjas?
Condição de mínimo para o pico de  : Nd sin   m N  
Condição de máximo para o pico de    : Nd sin   m N   


1


Nm
Intensidade

λ
λ+Δ λ
(radianos)
Difracção
 Uma abertura de largura a pode ser encarada como
uma rede com um número infinito de fendas.
 Cada ponto da metade superior tem o seu
correspondente na metade inferior

a/2
Podemos continuar a dividir a
abertura em 4, 6,8, … partes. As
condições de máximo e
mínimo são
2m  1
 m  1,2,...
2
a sin   m m  1,2,...
a sin   
largura do máximo central:
sin  

a
Difracção de Bragg
Interferómetros
 As diferenças de fase podem ser usadas para medir
distâncias com grande precisão porque pequeníssimas
distâncias se convertem em distâncias angulares mais
facilmente mensuráveis. Precisão depende do tamanho
do caminho óptico
 Primeiro exemplo: Interferómetro de Michelson
Interferómetros
 Interferómetro de Michelson:
l’
l

d
d
2d
 d



sin 2    2d cos
cos  cos cos

2d cos  m m  0,1,2,...
l  l' 
Interferómetros
 Interferómetro de Fabry-Perot