Espaços Vetoriais
Em álgebra temos várias estruturas
diferentes, por exemplo:
 Grupos
 Anéis
 Corpos
 Espaços

Vetoriais
Este é o objeto principal do nosso trabalho
nesta parte da disciplina (Álgebra Linear).
Espaços Vetoriais
Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre
um corpo ao conjunto V   , tal que:
1) Existe uma
propriedades:
adição
com
as
seguintes
 : VV  V
 u, v   u  v
A1) Associativa:
u, v, w  V , u   v  w  u  v   w
A2) Comutativa:
u, v  V , u  v  v  u
A3) Elemento Neutro:
0  V  u  V , u  0  0  u  u
A4) Elemento Oposto: u  V  u   V u   u    u   u  0
Espaços Vetoriais
2) Existe uma Multiplicação por Escalar: : R  V  V
 ,v    v
com as seguintes propriedades:
M1)  ,   R ,v  V     v     v
M2)  ,   R ,u  V      u  u   u
M3)   R , u, v  V   u  v   u   v
M4) 1 R  v  V  1 v   v
Notação:
V , ,
Espaços Vetoriais
Observações:
1.
Os elementos do conjunto dos reais são
chamados ESCALARES.
2.
Os elementos do Espaço Vetorial
chamados VETORES.
3.
Nesta disciplina estaremos sempre
trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.
são
Exemplos de Espaços Vetoriais
1.
2.
3.
O conjunto de vetores do plano.
A reta real.
O espaço vetorial C`, ,  , sendo as
operações definidas da seguinte forma:
Adição:
 a  bi   c  di    a  c   b  d  i  , a, b, c, d R
Multiplicação por Escalar:
  a  bi   a  bi,   R, a  bi  C
Exemplos de Espaços Vetoriais
4.
O conjunto das n-uplas reais, com as
operações de adição e multiplicação por
escalar usuais.
R n   x1 , x2 ,..., xn  x1 , x2 ,..., xn  R , ,
5.
O conjunto das matrizes com as operações de
adição e multiplicação por escalar usuais das
matrizes.
M mn  R  , ,
Exemplos de Espaços Vetoriais
6.
O conjunto dos polinômios de grau  n
n

i
Pn  R    ai x ai  R  
 i 0

 an x n  an 1 x n 1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
ai  R
Contra-Exemplos
1.
Considere o conjunto dos números reais e as
operações abaixo definidas:
 : RR  R
 a, b   a  b
e
: R R  R
 , a     a  0
Observe que a operação não satisfaz
propriedade (M4), pois x  0, 1  x  0  x
a
Contra-Exemplos
Considere o conjunto dos pares ordenados do plano
cartesiano e as operações abaixo definidas:
e
: R  R2  R2 2 2
 : R2  R2  R2
2.
  a , b  ,  c, d     a  c, b  d 
 ,  a, b      a, b    a, b 
Observe que a operação
propriedade (M2), pois
não
satisfaz
a
     a, b      a, b   a   a, b
 a   a,2b

 
  a   a, b  b  
 a, b    a, b
Exercícios
1.
Verifique se o conjunto abaixo, com as
operações definidas é um espaço vetorial:
 : R2  R2  R2
 x , y  ,  x , y    x
1
1
2
2
: R  R2  R2
1
 x2 , 0 
2 2
 ,  x , y      x , y    x , y 
1
1
1
1
1
1
Exercícios
2.
Sejam
U e V dois espaços vetoriais reais. Mostre
que U  V   u , v  u  U e v  V é um espaço
vetorial em relação às operações:
u1, v1   u2 , v2   u1  u2 , v1  v2 
e
 u1, v1   u1,v1 