Espaços Vetoriais
(conjuntos com propriedades comuns)
Bibliografia
1. “Álgebra Linear com Aplicações”
ANTON, Howard e RORRES, Chis.
Oitava edição, Porto Alegre, Editora Bookman, 2001.
2. “Álgebra Linear”
STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo
Segunda edição, SP, Editora Makron Books, 1987.
Espaços Vetoriais
Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas
operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:
 u , v V ,
  ,
uv  V
 u V ,
 u V
O conjunto V com essas duas operações é chamado Espaço Vetorial
Real (ou espaço vetorial sobre  ) se forem verificados os seguintes
axiomas:
Em relação à adição:
A1 ) (u  v)  w  u  (v  w),
A2 ) u  v  v  u
u, v, w  V
u , v  V
A3 )  0  V ,  u  V | u  0  u
" existe elem ento neutro"
A4 ) u  V ,  (u )  V , | u  (u )  0 " existe elem ento sim etrico"
Em relação à multiplicação por escalar:
M 1 ) ( ) u   (  u )
M 2 ) (   ) u   u   u
M 3 )  (u  v)   u   v
M4) 1u  u
5) Verificar se o conjunto
V  { ( x, x 2 ) | x   }
Com as operações definidas por:
(x1,x12) + (x2,x22) = (x1+x2,(x1 +x2)2 )
α . (x,x2) = (αx, α2x2)
é um espaço vetorial sobre
Qual o elemento neutro ?
Qual o elemento simétrico ?
.
V  { ( x, y) | x, y  0 }
6) Verificar se o conjunto
Com as operações definidas por:
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1.x2, y1 . y2)
α . (x,y) = (xα, yα)
é um espaço vetorial sobre
.
Qual o elemento neutro ?
Qual o elemento simétrico ?
7) Verificar se o conjunto
V  { (a, b) | a, b   }  2
Com as operações definidas por:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
α . (a,b) = (αa, b)
é um espaço vetorial sobre
.
Os axiomas Mi se verificam ?
Até aqui estudamos os Conjuntos. E os subconjuntos ?
São Subespaços ?