Isomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais e uma transformação linear de
entre eles. Dizemos que a transformação
linear é um isomorfismo entre eles se é
uma transformação bijetora (isto é,
injetora e sobrejetora).
Notação:
U  V~
Automorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo
entre espaços vetoriais reais é um
automorfismo se os espaços são
iguais, ou seja, T é um isomorfismo de
um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua
transformação inversa é também um
isomorfismo.
Resultados Importantes
Proposição: Dados dois
espaços
vetoriais reais de mesma dimensão,
então a transformação linear dada a
seguir é um isomorfismo entre eles.
 n
 n
T   iui    i vi , ui U e vi V bases
 i 1
 i 1
Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de
dimensão finita são isomorfos se e
somente se
dim  U   dim  V 
Exercícios: Transformações Lineares II
Operações com
Transformações Lineares
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais, definimos o conjunto das transformações lineares entre eles por:
L  U, V   T : U  V T e´ transf. linear
Observação: Se os espaços vetoriais reais
são iguais então
L  U   T : U  U T e´ operador linear
Operações com
Transformações Lineares
Adição: Dados dois elementos do
conjunto das transformações lineares
entre espaços vetoriais reais, definimos:
F  G : U  V dada por
F  G  u   F  u   G  u  , u  U
Propriedades da Adição

 F , G, H  L  U, V  ,
P1) Associativa 

 F  G   H  F   G  H 

F , G  L  U, V  ,

P2) Comutativa 

 F  G    G  F 
Propriedades da Adição
0  L  U , V 

P3) Elemento Neutro F  L  U , V  ,
F  0  0  F  F

F  L  U , V  ,

P4) Elemento Oposto    F   L  U , V 

F   F   0
Operações com
Transformações Lineares
Multiplicação por escalar:
Denominamos de produto escalar de
uma transformação linear à seguinte
função:
F : U  V
dada por
 F  u     F  u   , u  U e   R
Propriedades da
Multiplicação por escalar

  ,   R, F  L  U, V  ,
P1) 

  F      F 

  ,   R, F  L  U, V  ,
P2) 

    F   F   F

  R, F , G  L  U, V  ,

P3) 

  F  G    F   G

 F  L  U, V  , 1  R
P4) 

1.F  F
Novo Espaço Vetorial
Das considerações anteriores temos um
novo espaço vetorial real, com as
operações de adição e multiplicação
por escalar como definidas:
L  U, V   T : U  V T e´ transf. linear
F  G u   F u   G u  , u U
 F  u     F  u   , u  U e   R
Operações com
Transformações Lineares
Composição: Dados dois elementos do
conjunto dos operadores lineares,
definimos a composição como sendo:
F G : U  U dada por
F G  u   F  G  u   , u  U
Propriedades da Composição

 F , G, H  L  U  ,
P1) Associativa 

 F G  H  F  G H 
F , G, H  L  U  ,

P2) Distributiva  F  G  H    F G    F H 

 F  G  H   F H    G H 
Propriedades da Composição
P3) Elemento Neutro
 Id  L  U  , Id  u   u

F  L  U  ,
 F Id  Id F  F

Obs: Em geral, a composição não é
comutativa.
Operações com
Transformações Lineares
Potenciação: definimos a Potenciação
por recorrência do seguinte modo:
 F 0  I (operador identidade )
 1
F  F
 2
F  F F
......

 F n  F n 1 F

Operadores Especiais
Operador Idempotente:
F F e F 0
2
Operador Nilpotente:
n  N tal que F  0
n
Matriz de uma
Transformação Linear
Dados dois espaços vetoriais reais e uma
transformação linear entre eles temos:
T  u1   11v1  12 v2  ...  1 p v p

T  u2    21v1   22 v2  ...   2 p v p

......................
T  u    v   v  ...   v
n
n1 1
n2 2
np p

B  u1, u2 ,..., un   U
Bases
G  v1 , v2 ,..., v p   V
Assim
T B ,G
 11  21

 22
12


 ...
...

 1 p  2 p
...  n1 

...  n 2 
... ... 

...  np 
É dita Matriz da Transformação Linear T
em relação às bases B e G
Isomorfismo Especial
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais, com dimensões n e m.
Existe um isomorfismo tal que:
F : L  U, V   Mmxn  R
T
B  u1, u2 ,..., un   U

Bases
T B,G
G  v1 , v2 ,..., v p   V