Ensino Superior
Cálculo 1
1- Funções e Limites
Amintas Paiva Afonso
Números e
Funções Reais
Amintas Paiva Afonso
Números e funções reais

Conjunto dos Números Naturais (N)



N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}

Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0}

Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

N  Z (N está contido em Z)
Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q = {a/b | a,b  Z, b  0}

Z  Q (Z está contido em Q)
Números e funções reais

Conjunto dos Números Irracionais ()
É
o conjunto formado por números cuja
representação decimal é não exata e não periódica
 Exemplo:

 = 3,141592653589...
Conjunto dos Números Reais (R)
É
o conjunto formado pela união dos conjuntos dos
números racionais e irracionais
N
Z

Q
R
Números e funções reais

Operações com números racionais
 Adição:
a c ad  bc
 
b d
bd
 Subtração:
a c ad  bc
 
b d
bd
 Multiplicação:
a c ac
 
b d bd
 Divisão:
a
b  a  d  ad
c b c bc
d
Números e funções reais

Reta Real
 Cada
ponto de uma reta real representa um número real
 Numa
reta real os números estão ordenados de maneira
crescente da esquerda para a direita.

Um número a é menor que qualquer número b
colocado a sua direita e maior que qualquer número c
a sua esquerda.
R
-4
-3
-2
-1
c
0
1
2
a
3
4
5
b
Números e funções reais


Conceito de função
 Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é
uma lei ou regra de correspondência que relaciona a
cada elemento de de A um único elemento de B.
Notação:
 f: A  B
 y = f(x)
Números e funções reais

Plano Cartesiano
 O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais
 Eixo x é o eixo das abscissas
 Eixo y é o eixo das ordenadas
 A origem do sistema é o ponto O
 As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1
 Par ordenado (x1 , y1)
y
y1
O
P(x1, y1)
x1
x
Números e funções reais

Domínio
É

o conjunto de valores assumidos por x.
Imagem
É
o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de
correspondência para os elementos do domínio.

Gráfico
É
a representação geométrica dos pares x e y no plano
cartesiano.
Retas

Coeficiente angular da reta R:
Y
R
variaçãovert ical
m
variaçãohorizont al
y
y2  y1
m

x
x2  x1
y2
y  y2  y1
y1

Obs.:
 Retas horizontais: m = 0
 Retas verticais: Não têm m
P2 ( x2 , y2 )
P1 ( x1 , y1 )
x  x2  x1
x1
x2
X
Retas

Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular
 A equação
abaixo é a equação na forma ponto
– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem
coeficiente angular m.
y  y1  mx  x1 
ou
y  m( x  x1 )  y1
Retas

Exemplo 1
 Escreva
uma equação para a reta que passa pelo ponto
P(2, 3) com coeficiente angular -3/2.

x1 = 2

y1 = 3

m = -3/2
y  y1  m x  x1 
3
y  3   x  2
2
3
y 3   x3
2
3
y   x6
2
Retas

Exemplo 2
 Escreva uma equação para a reta que passa pelos
pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). Cálculo do coeficiente angular
 x1 = -2
y  y1
m 2
x2  x1
 y1 = -1
4  (1) 4  1 5
 x2 = 3
m

 1
3  (2) 3  2 5
 y2 = 4
Cálculo da equaçãoda reta
 m = ?
y  y1  mx  x1 
y  (1)  1x  (2) 
y 1  x  2
y  x 1
Retas

Equação reduzida da reta:
y  m x b
R
( x, y )
Y
m
- coeficiente angular
 b - coeficiente linear
(0,b)

Equação geral da reta:
Ax  By  C
b
X
Ae
B diferentes de zero.
Aplicações

Muitas variáveis importantes são relacionadas por
equações lineares, como por exemplo, a relação entre as
escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.
9
F  C  32
5
m
ou
b
5
C  ( F  32)
9
Funções e Gráficos

Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos
valores de outra variável
A
temperatura de ebulição da água depende da altitude
(o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta)
O
rendimento anual de suas economias depende da taxa
de juros oferecida pelo banco

Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A
um único elemento de outro conjunto B é chamada de
função.
OBS:
A é o domínio
B é a imagem (contra-domínio)
A
B
Funções e Gráficos

Nomenclatura (Leonhard Euler)
 y é igual a f de x
y  f (x)
Variável independente (domínio)
Variável dependente (contra-domínio ou imagem)
Y (imagem)
X (domínio)
Funções
Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois
subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que
associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do
conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou
seja, f é uma função real de uma variável real
e denotamos por:
•
•
•
•
x é chamada de variável independente.
y é chamada de variável dependente.
A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).
B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).
Seja f: A → B uma função.
 Domínio da função f é o conjunto A definido por:
A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ}
A
Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto
do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por:
𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}
A = 𝔻(f)
f
B = C𝔻(f)
𝕀m(f)
x
y=f(x)
Funções e Gráficos

Domínios e imagens
 Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o
domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto,
considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores
de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y –
domínio natural.
 Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos
dizê-lo.
 Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números
reais. Se queremos somente valores positivos de x
devemos escrever y = x2, x > 0.
 Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável
real a valores reais são intervalos ou combinações de
intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos
e finitos ou infinitos.
Funções e Gráficos

As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de
fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores.

Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os
que não contêm são abertos.

Aberto AB


B
A ≤ x ≤ B ou [A, B]
x
A
B
Fechado em A e aberto em B


A
Fechado AB


A < x < B ou (A, B)
x
A ≤ x < B ou [A, B)
Aberto em A e fechado em B

A < x ≤ B ou (A, B]
x
A
B
x
A
B
Funções e Gráficos

Exemplos de domínios e imagens
Função Domínio(x) Imagem(y)
1) y  2 x ( , ) ou R ( , ) ou R
2)
y  x2
( , ) ou R
[0, ) ou R
3)
y
[0, ) ou R
[0, ) ou R
x
A
função 1 fornece um valor real de y para qualquer
número real de x, então o domínio é (-, )
A
função 2 fornece um valor real de y somente quando x
é positivo ou zero, então o domínio é [0, )
Gráfico de uma função
Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu
gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é:
Gr(f) = {(x,y)  ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x)  𝕀m(f)} ou
Gr(f) = {(x,f(x))  ℝ/ x  𝔻(f) }
y=f(x)
y2
𝕀m(f)=[y1 , y2]
(x,y)
y
y1
x1
x
x2
𝔻(f)={x∊ℝ/x1  x  x2}=[x1 , x2]
Zeros e sinais de uma função
y
]-∞,x1]  y<0
[x1,x2]  y>0
y=f(x)
[x2,x3]  y<0
[x3,+∞[  y>0
x1
▁
+
+
x2
Zeros ou raízes da função são os pontos de
interseção do gráfico da função com o eixo Ox,
ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.
▁
x3
x
Os sinais da função: Acima do
eixo Ox ela é positiva e abaixo
é negativa.
Números e funções reais

Tipos de funções
 Função linear
 Ex.: y = x + 1;
 Função linear afim
 Ex.: y = 2x;
 Função quadrática
 Ex.: y = x2 – 2x – 3;
 Função exponencial
 Ex.: y = 2x;
 Função logarítmica
Ex.: y = log2x;
 Funções trigonométricas
 Ex.: y = senx

Função do 1º Grau
Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :
R
( x, y )
Y
y  ax  b
(0,b)
b
Onde:
X
 a
= taxa de variação da função;
 b
= ponto onde a reta toca o Eixo Y;
Propriedades da Reta
 É definida por um polinômio de 1o grau;
 Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em
apenas um ponto;
 O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o
crescimento ou decrescimento da função:
 a < 0  função decrescente;
 a > 0  função crescente;
Propriedades da Reta
-
Se a < 0, a função decresce.
Se a > 0, a função cresce.
Só tocam o eixo X uma vez.
Raízes da Função de 1º Grau
As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é
justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau)
cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.
y  0  ax  b  0  ax  b  x   b
a
Função Afim
y = ax + b
∀a≠0 e bℝ
 Função do 1º grau
a  coeficiente angular  a = tgθ
b  coeficiente linear
a>0  reta crescente
a<0  reta decrescente
b
θ
b
θ
Função Linear
y = ax + b
a>0  reta crescente
θ
y = ax
a<0  reta decrescente
θ
Exercícios
Até 40h  3,00 por hora
Acima de 40h  + 50% (4,50 por hora)
Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h)
Sendo x o número total de horas,
S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5
S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60
Exercícios
Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro
Para um valor de 19,00
F(x) = 4,60 + 0,96.x
19 = 4,6 + 0,96.x
14,4 = 0,96.x
15 = x
Exercícios
X – preço de tabela
À vista: (30% de desc) = 0,7.x
Cartão de crédito: 1,1.x
Logo 0,7.x = 7000
x = 10.000
E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000
Exercícios
Exercícios
Função de 2º Grau
Uma função de 2º grau, também chamada de função
QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda
função real do tipo:
y  ax  bx  c
2
Desde que a ≠ 0;
Propriedades da Parábola
 É definida por um polinômio de 2o grau;
 Pode possuir:
 Duas raízes reais e distintas;
 Duas raízes reais e iguais;
 Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).
 O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da
função:
 a < 0  concavidade para baixo;
 a > 0  concavidade para cima;
Propriedades da Parábola
Se a < 0, a concavidade é para baixo.
Se a > 0, a concavidade é para cima.
Podem ter três tipos de raízes.
Raízes da Função de 2º Grau
Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a
equação:
ax  bx  c  0
2
Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:
b 
2
x
, com   b  4ac
2a
Função Quadrática  Função do 2º grau
a>0  concavidade para cima
a<0  concavidade para baixo
Função Quadrática
>0
x1
=0
x2
 <0
x1 = x2
Propriedades das Funções
-4
-1
-2
-3
Propriedades das Funções
-1
f(x+a) com a>0
deslocamento para a
esquerda
1
f(x-a) com a>0
deslocamento para a
direita
Propriedades das Funções
Propriedades das Funções
2
2
-2
f(x) e –f(x) são
simétricas em
relação ao eixo Ox
-4
f(x) e f(-x) são
simétricas em
relação ao eixo Oy
4
Função Polinomial
3 raízes reais
diferentes
2 raízes reais
iguais e 1
diferente
2 raízes complexas e
1 real
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Racional
São função do tipo
mesma variável.
Exemplo: Dada a função
, onde g(x) e h(x) são polinômios na
, determine o domínio, a imagem e
esboce o gráfico das seguintes funções:
1
-1
-1
1
-1
Função Logarítmica
1
1
Função Exponencial
1
1
1
Função definida por Sentença Aberta
1
0
-1
2
Função Modular
1/4
1/2
Círculo Trigonométrico
e os eixos das funções trigonométricas
Cotangente
+
0
Seno e
Cossecante
Tangente
Cosseno e
Secante
Funções sen(x) e cossec(x)
θ
Seno e
Cossecante
0
y
Função Seno
1
-2
-3/2
-
-/2

0
3/2
/2
3
x
3
x
2 5/2
-1
y
1
-2
-/2
-3/2
-
3/2
0
/2
-1

2
5/2
Funções cos(x) e sec(x)
θ
0
cosseno e
secante
Função Cosseno
y
1
-2
-
-3/2
-/2 0
/2

2
3/2
3
x
3
x
5/2
-1
y
Função Secante
1
-2
-
-3/2
-/2

0
/2
-1
3/2
2
5/2
Funções tg(x) e cotg(x)
Eixo da
cotangente
θ
0
Eixo da
tangente
Função Tangente
y
-
-/2
Função cotangente
-
-3/2
0

/2
3/2
2
x
5/2
y
-/2
0
/2

3/2
2
x
Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x)
y
f(x)=sen(x)
1
-2
-3/2
-
-/2

0
/2
3/2
3
2 5/2
-1
/2
f -1(x)=arcsen(x)
-1
1
-/2
x
y
f(x)=cos(x)
1
-2
-3/2
-
-/2 0

/2
2
3/2
3
5/2
-1

f -1(x)=arccos(x)
/2
-1
1
x
f(x)=tg(x)
y
-
-/2
0
/2
/2
-/2

3/2
2
x
5/2
f-1 (x)=arctg(x)
Funções Hiperbólicas
Das funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está
sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. .
y
P(x,y)
1
θ
x
Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está
sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1.
y
P(x,y)=(coshθ,senhθ)
θ
x
 Seno hiperbólico
Definições:
 Cosseno hiperbólico
1
Outras funções hiperbólicas
Tangente hiperbólica
1
Cotangente hiperbólica
1
-1
tgh(x)
-1
cotgh(x)
Secante hiperbólica
Cossecante hiperbólica
1
sech(x)
cosech(x)