Aula de Matemática
Professor  Neilton Satel
25 de outubro de 2011
CONTEÚDO DA AULA:
Geometria analítica
“Ensinar é um exercício de imortalidade. De
alguma forma continuamos a viver naqueles
cujos olhos aprenderam a ver o mundo pela
magia da nossa palavra. O professor, assim, não
morre jamais...”
(Rubem Alves,1999).”
CONHEÇA HIDROLÂNDIA - UIBAÍ
BOA AULA
Apolônio de Pérgamo (262 - 190 a.C.) nasceu em
Pérgamo, na Ásia Menor e viveu em Alexandria nos fins do
século III a.C..Foi contemporâneo de Arquimedes e é
unanimemente considerado como um dos mais originais e
profundos matemáticos de sempre.
A sua obra mais famosa é o Tratado sobre as cónicas (o
primeiro estudo sistemático das cônicas), aí definidas como
secções de um cone de base circular e designadas por
elipse, parábola e hipérbole.
Dos oito livros do tratado, apenas um se perdeu,
representando esta obra, segundo alguns autores, o ponto
máximo alcançado pela matemática grega. É motivo de
admiração a mestria com que Apolônio demonstra centenas
de teoremas, recorrendo aos métodos puramente
geométricos de Euclides.
MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
x
y

 1 ( Multiplicando toda a equação por –2 )
1  2
Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0
Questão 43 página 243
a) Escreva as equações reduzidas das retas que contêm as
diagonais do quadrado ABCD dado no sistema cartesiano ao
lado.
Questão 43 página 243
b) Compare os coeficientes angulares dessas retas.
03. Encontre a equação da reta que passa nos pontos
A=(0,1) e B = (2 ,5).
03. Construir usando o GEOGEBRA, o gráfico da função
f(x) = 2x +1.
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a
função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2
Observe que o coeficiente angular é o
número que multiplica o x na equação
reduzida da reta (no caso 2 ).
COEFICIENTE LINEAR = 1
O coeficiente linear é o número
que fica isolado (termo
independente) na equação
reduzida da reta (no caso 1) 
este é o ponto que o gráfico
intercepta (“corta”) o eixo Oy. O
ponto que “corta” o eixo de x é a
raiz da equação.
Veja o esboço do gráfico dessa
função...
5
1
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a
função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2
Observe que o coeficiente angular é o
número que multiplica o x na equação
reduzida da reta (no caso 2 ).
COEFICIENTE LINEAR = 1
O coeficiente linear é o número
que fica isolado (termo
independente) na equação
reduzida da reta (no caso 1) 
este é o ponto que o gráfico
intercepta (“corta”) o eixo Oy. O
ponto que “corta” o eixo de x é a
raiz da equação.
Veja o esboço do gráfico dessa
função...
5
1
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a
função f(x) = 2 x +1.
COEFICIENTE ANGULAR = 2
Observe que o coeficiente angular é o
número que multiplica o x na equação
reduzida da reta (no caso 2 ).
COEFICIENTE LINEAR = 1
O coeficiente linear é o número
que fica isolado (termo
independente) na equação
reduzida da reta (no caso 1) 
este é o ponto que o gráfico
intercepta (“corta”) o eixo Oy. O
ponto que “corta” o eixo de x é a
raiz da equação.
Veja o esboço do gráfico dessa
função...
5
1
MACKENZIE – SP ) A equação da reta r é:
a) y + 2x – 2 = 0
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
d) y –2x – 2 = 0
e) y – 2x + 2 = 0
x
y

 1 ( Multiplicando toda a equação por –2 )
1  2
Fica:  2x + y = –2  2x + y +2 = 0
EXERCÍCIO 02: Vamos determinar a distância entre
os pontos A(1, -1) e B(4, -5):
EXERCÍCIO 03: Calcule o ponto médio entre os
pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
SOLUÇÃO
DA
QUESTÃO
3 – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
• Vamos calcular a área
do triângulo amarelo
pela diferença entre a
área do retângulo azul
e os outros três
triângulos na cor
verde.
Área do triângulo:
Podemos escrever assim
Área do triângulo:
EXERCÍCIO 04
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3)
e C(1,1)?
Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
2
0
1
2
5
3
1
5
1
A=
2
A = 6/2
2.3 + 0.1 + 1.5 –0.5 – 1.3 – 2.1
A = 3 u. a.
EXERCÍCIO 05 Qual a área do triângulo ABC
de vértices A(-2,-1), B(2,3) e C(4,-1)?
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 05
-2
2
4
-2
-1
3
-1
-1
1
A=
-2.3 + 2.(-1) +4. (-1). –2.(-1) –
2 4.3 – (-2).(-1)
A = 24/2
A = 12 u. a.
Resp: S = 12 u.a. (12 unidades de área)
RETAS
Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:
Tomando três pontos numa reta não-paralela aos eixos
DESENVOLVENDO, VEM:
COMO:
ENTÃO:
EQUAÇÃO GERAL DA RETA:
Ax + By + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta
se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
Y = ax + b
Onde a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da
reta
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:
y = ax + b onde,
a = coeficiente angular da reta
b = coeficiente linear da reta (ponto de
intersecção com o eixo Oy.
O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a
tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )
 Coeficiente angular =
3
 Coeficiente angular
=2
 Coeficiente angular =
1
 Em todas as retas o coeficiente
linear ( ponto de intersecção com
o eixo das ordenadas - eixo de y )
é zero b = 0.
EXERCÍCIO 06
Vamos encotrar a equação geral da reta r que
passa por A(1, 3) e B(2, 4).
RESOLUÇÃO:
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
X
1
2
X
Y
3
4
Y
3x + 1.4 + 2.y – 1.y – 2.3 – 4x = 0
–x + y –2 = 0
Ou x – y + 2 = 0
EXERCÍCIO 07
Determine equação da reta que passa
pelos pontos A e B na figura abaixo.
Resolução questão 07
Utilize a equação da reta (geometria analítica) dados pelos
pontos: (3,5) e (6,0).
X Y
-3 -4
-1 2
X Y
– 4x – 6 – y + 3y – 4 –2x = 0
– 6x + 2y – 10 = 0
E finalmente a equação GERAL da Reta:
3x – y + 5 = 0
Ou 
Y = 3x + 5
Ou a equação REDUZIDA da Reta:
EXERCÍCIO 08
PONTO DE INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS
Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta
resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas.
Nestas condições , pode-se calcular as coordenadas do ponto de
interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.
Solução:
Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);
substituindo na equação da reta s vem:
6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \
44 = 22y \ y = 2;
substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.
Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).
EXERCÍCIO 09
( Faap – SP ) Na prática de um cooper, um corredor se desloca
do ponto A ( -3, - 2) até o ponto C ( 5, 4) em linha reta, tendo um
repouso num ponto B. As possíveis coordenadas deste ponto B
são:
a)
b)
c)
d)
e)
B ( 2, 7)
B ( 4, 3)
B ( 3, 5)
B ( 2, 2)
B (1 ,1)
DICA: encontre a equação da reta
X
Y
-2x – 3.4 + 5y - (-3)y- 5(-2) - 4x = 0
-3
-2
-6x + 8 y –2 = 0
5
4
Y = (6x + 2) / 8
X
Y
Y = (3x + 1) / 4
Ponto P [ x, (3x +1) /4 ]
EQUAÇÃO GERAL DA RETA:
Ax + By + C = 0
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta
se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta
Para refletir página 12
Verifique que aa´ + bb´ = 0 e
mr. ms = - 1 (retas perpendiculares)
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra a)
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra a)
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra b)
Para refletir página 12
Verifique que aa´ + bb´ = 0
e m1 . m2 = - 1 (retas
perpendiculares)
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra c)
Para refletir página 12
Verifique que aa´ + bb´ = 0
e m1 . m2 = - 1 (retas
perpendiculares)
Conferindo na calculadora:
Com isto o ângulo obtido será 29,74º
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra d)
Para refletir página 12
Verifique que aa´ + b
e m1 . m2 = - 1 (ret
perpendiculares)
Para Construir página 20
16. Dadas as equações de r e s, determine , um dos ângulos
formados por elas: letra d)
02. (FGV-SP) A reta perpendicular à reta r: 2x – y = 5, e
passando pelo ponto P(1, 2), intercepta o eixo das abscissas
no ponto:
03. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é
A = (-2,4). A equação da reta s é:
a) x + 2y = 6
b) y + 2x = 6
c) y + 2x = 0
d) 2y - x = -10
e) x - 2y + 10 = 0
04. (FGV-RJ) No plano cartesiano, a reta r é definida
por r = {(t + 6; 3t + 1) | t R}, e a reta s tem equação 2x –
y = 7. A abscissa do ponto de interseção dessas retas é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 15
e) 16
Resposta A