Distâncias
Ponto a Ponto:
Sejam P1  x1 , y1 , z1  e P2  x2 , y2 , z2  pontos do
espaço, então a distância entre eles é o módulo
do vetor P1 P2 .
Em coordenadas cartesianas temos:
d  P1 , P2   P1 P2 
 x2  x1 
2
  y2  y1    z2  z1 
2
2
Distâncias
Ponto a Reta:
Sejam P1  x1 , y1 , z1  e
r : P  P0  tv um ponto
do espaço e uma reta, sendo P0  x0 , y0 , z0  e
v   a, b, c  , então os vetores P1 P0 e v
determinam um paralelogramo cuja altura e a
distância entre o ponto e a reta dados.
P1
r
d
P0
v
Sabemos que a área do paralelogramo é dado
por:
A v d
Então:
e
d  P1 , r  
A  v x PP
1 0
v x PP
1 0
v
Distância entre retas
Retas Concorrentes: a distância é nula.
Retas Paralelas: a distância entre elas é a
distância entre um ponto qualquer de uma das
retas à outra (distância de ponto a reta).
Retas Reversas: a distância entre elas será
dada pela altura do paralelepípedo formado
entre os vetores diretores das retas e o vetor
que une dois pontos, um de cada reta.
Distância entre Retas Reversas
r
P2
s
d v
P1
Assim temos:
u
u , v , PP

1
2


d  r, s  
u xv
Exercícios
Determinar as distâncias, sendo dados:

Os pontos A(7,3,4) e B(1,0,6)

O ponto A(2,0,7) e a reta

As retas
 y  2 x  3
r:
, xR
 z  2x

As retas
y 1


r : 4  z
 2 x

 2
x y2
r: 
 z 3
2
2
 x  1  2t

s :  y  1  4t , t  R
 z  3  4t

 x3

s :  y  2t  1, t  R
 z  3t
